立足基本事實(shí) 展開數(shù)學(xué)推理
——以特級(jí)教師朱國(guó)榮《三角形的三邊關(guān)系》一課為例

文|黃 建

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的頒布，其中一些變化的內(nèi)容引起了教師們的關(guān)注。如：強(qiáng)調(diào)基于基本事實(shí)形成數(shù)學(xué)意識(shí)，關(guān)注尺規(guī)作圖等。在小學(xué)階段，基本事實(shí)主要有：兩點(diǎn)間線段最短、等量的等量相等、等式的基本性質(zhì)。哪些內(nèi)容的教學(xué)要基于基本事實(shí)？如何開展基于基本事實(shí)的教學(xué)呢？前不久有幸聆聽了特級(jí)教師朱國(guó)榮《三角形的三邊關(guān)系》一課，深受啟發(fā)。

片斷一：創(chuàng)設(shè)生活情境，明確基本事實(shí)

1.創(chuàng)設(shè)情境，解決問題

師：圖1中的直線l 表示一條河，點(diǎn)A、B 表示兩個(gè)村莊。在何處架橋才能使A 村到B 村的路程最短？

圖1

生：可以在點(diǎn)A、B 上畫條線，與河的交點(diǎn)就是橋。

師：你們同意嗎？

2.質(zhì)疑反思，感悟關(guān)系

師：難道在點(diǎn)C 上架橋（如圖2），路程就不是最短嗎？

圖2

生：這和跑步比賽一樣，從C走就相當(dāng)于走了彎路，距離更長(zhǎng)。

師：如果從A 開始到C 還要拐個(gè)彎到B，那么這兩條加起來(lái)就會(huì)比AB 要長(zhǎng)，可以用算式表示：AC+CB＞AB。這就是我們剛才得出的結(jié)論，兩點(diǎn)之間線段最短。

3.多維例證，得出基本事實(shí)

師：小明家到學(xué)校有三條路可走（見圖3），如果他沒有特殊情況，會(huì)走哪一條路？

圖3

生：第②條路。它是直線段，是最近的。

師：兩點(diǎn)間線段最短這個(gè)道理小狗也知道。如果在小狗面前放一根骨頭，小狗會(huì)怎么跑過去？

生：小狗肯定是直的過去。

師：這樣的道理我們可以給它一個(gè)名稱，叫作基本事實(shí)。有了基本事實(shí)有什么用？今天我們借助基本事實(shí)來(lái)研究三角形三條邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系。

【賞析：此片斷聚焦基本事實(shí)的建立。主要有三個(gè)亮點(diǎn)：1.在背景方面，從生活中解決問題入手，感悟基本事實(shí)來(lái)源于生活；2.在內(nèi)涵層面，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本事實(shí)進(jìn)行質(zhì)疑與反思，借助算式對(duì)基本事實(shí)進(jìn)行解釋；3.在例證方面，與生活中的其他例子進(jìn)行溝通聯(lián)系，進(jìn)一步體會(huì)基本事實(shí)與生活的密切聯(lián)系。】

片斷二：立足基本事實(shí)，理清三邊規(guī)律

1.任務(wù)驅(qū)動(dòng)

（1）畫：請(qǐng)?jiān)诎准埳袭嬕粋€(gè)任意大小的三角形，建議畫的大一點(diǎn)。

（2）標(biāo)：用a、b、c 分別表示三條邊的長(zhǎng)度（標(biāo)在每條邊的中間）。

（3）探：聯(lián)系“兩點(diǎn)間線段最短”這一基本事實(shí)，研究三條邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系。

2.四人小組合作

3.全班交流

（1）將三條邊的長(zhǎng)短進(jìn)行比較

生：三角形有三條邊，而且這三條邊都是線段。它們中總有一條邊是最長(zhǎng)的，有一條邊是最短的。其中a 最長(zhǎng)。

生：我畫的是b 最長(zhǎng)。

生：我畫的三角形的三條邊一樣長(zhǎng)。

師：看來(lái)不是所有人的發(fā)現(xiàn)都一樣。那它能否成為一個(gè)規(guī)律？

生：不能。

（2）關(guān)注三邊長(zhǎng)度關(guān)系

生：最短的和中間長(zhǎng)的加起來(lái)一定大于最長(zhǎng)的。

生：不同意，我畫的三角形三條邊一樣長(zhǎng)，沒有最短的。

生：你雖然沒有最長(zhǎng)、最短的邊，但是三條邊也有這樣的規(guī)律。

師：它們之間有什么關(guān)系？

生：a+b＞c。

師：不管a、b、c 中有長(zhǎng)有短，還是三條邊一樣長(zhǎng)，一定是大于嗎？

生：如果三條邊一樣長(zhǎng)，都是1，1+1=2 肯定比1 大。

生：我們知道兩點(diǎn)間線段最短，c 看成一條線段，那么a+b 就不是線段，一定大于c。

師：他已經(jīng)在聯(lián)系基本事實(shí)了，你們聽懂了嗎？可以結(jié)合圖進(jìn)一步理解（如圖4）。你能結(jié)合圖說(shuō)說(shuō)為什么不用量就知道a+b＞c 嗎？

圖4

生：可以看成從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的連線，c 是線段，a+b 不是直線段。

師：你們畫的三角形也有這個(gè)規(guī)律嗎？與同桌說(shuō)一說(shuō)為什么會(huì)有這個(gè)規(guī)律。還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)除了a+b＞c，還有a+c＞b，b+c＞a。

（3）歸納得出三角形的三邊關(guān)系

師：通過剛才的研究，我們發(fā)現(xiàn)不管什么樣的三角形，三條邊的長(zhǎng)度之間有什么關(guān)系？

生：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

師：我們是根據(jù)這個(gè)基本事實(shí)（兩點(diǎn)間線段最短）得到了這樣的規(guī)律：三角形任意兩邊之和大于第三邊。

【賞析：本環(huán)節(jié)以推理任務(wù)進(jìn)行驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從形到數(shù)，再?gòu)臄?shù)的角度分析、對(duì)比、歸納得出三邊關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生從獨(dú)立的三邊長(zhǎng)短關(guān)系走向關(guān)聯(lián)的三邊關(guān)系。主要有以下做法：首先，明確不是所有發(fā)現(xiàn)都符合的不能成為規(guī)律。接著，引導(dǎo)學(xué)生突破邊的特征，立足一般例子得到其中的一組關(guān)系。學(xué)生通過舉例、聯(lián)系基本事實(shí)說(shuō)明其中的道理。最后，從一組關(guān)系類比到三組關(guān)系，從一個(gè)圖形遷移到多個(gè)圖形，體會(huì)三角形三邊關(guān)系的一般性。學(xué)生經(jīng)歷了根據(jù)基本事實(shí)得到規(guī)律的過程，體會(huì)到數(shù)學(xué)推理的角度與方法。】

片斷三：結(jié)合尺規(guī)作圖，優(yōu)化判斷方法

1.利用三邊關(guān)系，判斷是否可以圍成三角形

師：知道了這個(gè)規(guī)律有什么用？請(qǐng)你判斷，圖5中哪組能夠圍成三角形？

圖5

判斷下面每組中三條線段能否圍成三角形？（單位：cm）

（1）理解“任意”

生：我覺得第一組不能圍成三角形。因?yàn)? 厘米那么長(zhǎng)，2 厘米那么短。如果2 厘米、5 厘米在兩邊，8 厘米在最下面，肯定圍不成。

生：我不同意。8+5=13，13 大于2，它肯定能圍成三角形。

生：是的！還可以說(shuō)8+2＞5。

師：他們找到了兩組關(guān)系，為什么你們還是說(shuō)這三條邊不能圍成三角形呢？

生：因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊是8，剩下兩邊之和等于7，怎么圍都不可能把這三邊弄在一起。2+5=7，7＜8。

師：現(xiàn)在是一個(gè)小于兩個(gè)大于，你們覺得能不能圍成三角形？

生：因?yàn)閯偛耪f(shuō)要任意兩條邊大于第三邊。這里的任意就是說(shuō)這三個(gè)算式都要滿足。

（2）優(yōu)化方法

生：第二組也不可以，因?yàn)?+3=8，所以三條邊不能圍成三角形。

師：他覺得一組是等于，其他的兩個(gè)算式就不用寫了，有道理嗎？

生：因?yàn)橐唤M算式不符合要求，就不滿足“任意”。

生：我覺得第三組可以圍成。因?yàn)?+4＞8，5+8＞4，4+8＞5。

生：我覺得只要寫一個(gè)算式就好了：5+4＞8。

師：為什么只要寫一個(gè)算式？

生：因?yàn)檫B最短的兩條邊的和都大于第三條邊了，如果是一條最長(zhǎng)的邊加另一條邊，一定大于中等的或者最短的邊。

師：經(jīng)過研究，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：在判斷的時(shí)候，只要看較短的兩邊之和是否大于第三邊。

2.畫三角形，由數(shù)構(gòu)形

（1）初次嘗試，直尺畫圖，討論難點(diǎn)

師：這個(gè)三角形到底長(zhǎng)什么樣？請(qǐng)同學(xué)們把它畫下來(lái)。

（學(xué)生操作，發(fā)現(xiàn)不容易畫出三角形）

師：你遇到了什么困難？

生：我發(fā)現(xiàn)畫了第二條邊后，連接第三條邊的時(shí)候不一定是我們想要的長(zhǎng)度。

師：看來(lái)畫一條8 厘米的線段、再畫一條5 厘米的線段是很容易的。但是一下子湊準(zhǔn)4 厘米很不容易。那有什么辦法呢？

生：可以把第二條邊的角度換一下。只要多畫幾次，就可以找到。

（2）工具迭代，突破難點(diǎn)，再次嘗試

師：同學(xué)們，光有這把尺還不行，要有一個(gè)新工具——圓規(guī)來(lái)幫助我們畫三角形。（播放視頻）

3.應(yīng)用工具，以形解數(shù)

師：剛才我們發(fā)現(xiàn)前面兩組不能圍成三角形。那用圓規(guī)畫畫看，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

【賞析：有基本事實(shí)與規(guī)律后，本環(huán)節(jié)重在應(yīng)用。從以下三個(gè)層次展開：層次一，利用規(guī)律判斷三條線段是否可以圍成三角形，理解“任意”即“所有”之后，在判斷中優(yōu)化方法，通過推理明確方法的可行性。層次二，尺規(guī)作圖，體會(huì)三角形三邊關(guān)系的本質(zhì)就是兩點(diǎn)間的距離：即找到一個(gè)交點(diǎn)，使得它到兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別是5 厘米、4 厘米。層次三，應(yīng)用工具，反思規(guī)律。進(jìn)一步明確當(dāng)不符合任意兩邊大于第三邊時(shí)，即找不到交點(diǎn)或者交點(diǎn)在線段上，從而不能圍成三角形。本環(huán)節(jié)從數(shù)的計(jì)算出發(fā)，結(jié)合形理解計(jì)算的原理，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的互譯。同時(shí)，構(gòu)建了基本事實(shí)—規(guī)律—方法的完整推理過程。】

【全文賞析】

聚焦推理，朱老師在課堂中非常關(guān)注以下三點(diǎn)。

一、立足生活，構(gòu)建推理“前提”

數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展始于對(duì)生活現(xiàn)象的觀察、推理，但又不停留于此，需要進(jìn)一步通過分析、抽象、概括去解釋生活現(xiàn)象的本質(zhì)。朱老師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)生活問題“在何處架橋才能使A 村到B 村的路程最短”進(jìn)行分析，通過正例、反例感悟幾條線段之間的長(zhǎng)短關(guān)系。有了關(guān)系的感悟，再次在多個(gè)情境中進(jìn)行驗(yàn)證，逐漸抽象出本質(zhì)關(guān)系。最后，概括得出基本事實(shí)——兩點(diǎn)間線段最短，為推理奠定基礎(chǔ)。朱老師不是將多個(gè)生活例子進(jìn)行簡(jiǎn)單的疊加，而是精選材料并且合理利用材料。

二、基于操作，把握推理“結(jié)構(gòu)”

推理，不僅反映前提與結(jié)論在內(nèi)容上的關(guān)聯(lián)，還體現(xiàn)在前提與結(jié)論于形式結(jié)構(gòu)上的一致性。學(xué)生推理時(shí)，最大的困難在于把一組或者幾組關(guān)系判斷當(dāng)作推理。

課堂中，學(xué)生的推理經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段。前結(jié)構(gòu)推理：即在一個(gè)三角形中，將各條邊的長(zhǎng)度進(jìn)行比較，無(wú)法確定規(guī)律。單點(diǎn)結(jié)構(gòu)推理：建立三條邊之間的關(guān)系，但是關(guān)系不太穩(wěn)固，如：只能說(shuō)明在等腰三角形中存在兩邊之和大于第三邊。多點(diǎn)結(jié)構(gòu)推理：建立穩(wěn)固的三邊關(guān)系，如：能突破三角形的類型限制，推廣到一般情況。

我們也感受到三個(gè)階段之間的跨度大，大部分學(xué)生無(wú)所適從。是否可以進(jìn)一步細(xì)化材料，如在任務(wù)二中，將“畫”改為“選”。材料一：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行測(cè)量，從量的角度發(fā)現(xiàn)三邊關(guān)系；材料二：體會(huì)線段的任意性以及推理方法多樣性；材料三：自主創(chuàng)造。此環(huán)節(jié)，拉長(zhǎng)推理時(shí)間，逐漸把握推理結(jié)構(gòu)。

三、多維應(yīng)用，優(yōu)化推理“結(jié)論”

結(jié)論的“再推理”。一方面體現(xiàn)在從一般關(guān)系出發(fā)，推理得出特殊關(guān)系“較短的兩邊之和大于第三邊”。另一方面，借助尺規(guī)作圖讓結(jié)論“可視化”，結(jié)合圖形進(jìn)一步理解結(jié)論，提升推理意識(shí)的同時(shí)，發(fā)展幾何直觀。