從“淺層默會”到“深度建構”：優化小數初步認識的思考與實踐

文|盛文雅

一、巧用默會，具物建構

創設現實情境，引入帶具體單位的小數，啟用并深化學生具體實物層次的認知儲備，為操作說明做好鋪墊。

1.啟默會：借量識數

課伊始，大家一起閱讀一篇學生自己寫的數學日記：

我和爸爸一起去買菜。我記了賬：爸爸買了15 個雞蛋共30.8元，還買了一根甘蔗。這根甘蔗好長，賣甘蔗的說大約有2.4 米長，我的身高大約1.47 米，高出我好多啊。這根甘蔗打完電子秤后是12.85 元。我們一共花了0.5 小時買完了菜。

觀察日記中的數，并分類，從表征形式上，知道小數是帶有小數點的，接著嘗試認讀小數。通過圈一圈錢幣，了解用整數30 元不夠付，用31 元來付，錢又多出來，用小數30.8 元支付剛好。借助米尺認識2.4 米，通過比劃長短，發現用整數表示有不夠準確的困難，可以用小數表示。

總結起來，學生對小數的發生有了初步的印象：隨著計量的精確，產生了用小數表征的需要，不足1 的那部分，可以用小數點后面的數來表示。

2.調經驗：橋式架構

要更深入地認識小數，則必須借助操作，架構起小數與分數之間的橋梁。

以研究0.8 元為主任務，學習流程設計見圖1。

圖1

【情節回放】

圈30.8 元的幣值時，學生發現比30 元多0.8 元。

師：你能用框一框的方式來說明一下0.8 元為什么比1 元小，它和1 元又有怎樣的關系呢？

學生嘗試用10 個格子框住角幣（見圖2），表示1 元就是10個1 角，8 角占了其中的8 格（不足1 元）。

圖2

師：剛才這位同學的操作過程就是我們以前學的什么知識？

這一過程是通過實物操作并演示來達成的，學生感知到0.8=之后用相同的學習流程，又分析了2.4 米表示的意義，明確了0.4 米=米=4 分米的道理，展開實物操作的過程，并步步配以準確的數學表達，克服學生原認知中模糊的地方，落實小數與分數、小數與整數的關系，建構小數的意義。

二、多元表征，操作建構

概念的掌握需經歷一個從具體到表象再到抽象的過程。通過改變單位，進行多元表征，便于學生進行對比，概括出本質屬性。

1.借直觀：形中悟數

運用面積模型、線段模型、集合模型等直觀手段解釋小數的意義，并在“形”的對比中，抽象出共同屬性，即小數單位與“1”之間的關系。

【情節回放】

（1）獨立探究0.4。

師：如果把0.4 米改成0.4 千克，你打算如何表示它的大?。空埻瑢W們說一說、畫一畫、寫一寫。

（2）集體反饋交流。

4 位同學展示了自己的作品（見圖3）并分別作出了說明。

圖3

師：這4 位同學說的和0.4 米有共同的地方嗎？

生：它們都是把一樣物品平均分成10 份，其中的4 份表示0.4，也就是

2.集數軸：串式感序

在數軸上表示小數，進一步抽象小數的意義，使小數及其表征融入到整個有理數的系統中。

設計了把已學過的小數“請”到數軸上的教學環節，把實物和圖形中表示過的一位小數，進一步表征到數軸上，之后，又數出了其他一些小數，逐步形成圖4。為小數排序：數軸的上面是小數，下面是對應的分數，便于學生觀察發現：一位小數都可以表示為分母是10 的分數；從1 份數到9份，即從0.1 數到0.9；關聯小數的符號書寫意義：不足“1”的部分，是把“1”進行十等分后的再計量，小數點后的數據就是計量結果的記錄；感悟小數和整數計數的共同之處，結合對是幾的思考，建立起整數、分數與小數的關聯，為揭示小數也是十進制數做好鋪墊。

圖4

三、遷移實踐，抽象建構

小數初步認識到一定程度時，可以借助概念的正、負遷移，去偽存真，完善小數模型。

1.巧遷移：鏈式完善

教學中，布置任務：嘗試找“我”的具體身高1.47 米（圖5）。學生在充分討論之后反饋，在數軸上標出了1.47，并嘗試說明其意義。

圖5

利用已經習得的一位小數的認知經驗，創造性地理解1.47 米的意義，正遷移體會小數點后第二位上的數表示0.1 再十等分后計數的結果。（兩位小數的意義雖不是本節課學習要求，但可以拓展）

還可以利用負遷移，辨析、厘清一些非本質屬性，強化概念模型。由于前面學習的小數數量之間的進率都是10 或100，如0.8元=8 角，0.4 米=4 分米，部分學生容易形成錯誤的概括：零點幾加大單位等于去掉零和小數點后的數加小單位。當遇到“0.5 時是多少時間”時，錯誤認知（0.5 時=5分）與默會認知（0.5 時是30 分鐘）產生沖突，沖突引發爭論。矛盾的解決需要學生聯系所學的小數模型去解釋，這樣小數的意義更加明晰。

2.微主題：深度建構

本文中的“深度建構”指向兩個方面：一是知識內部建立聯結，即把小數和分數關聯起來；二是數學和生活建立聯結，用學到的數學知識去解決生活中的實際問題，提升學生學以致用的能力。

課后開展了微主題學習“制作身高尺”。

【情節回放】

（1）布置小組任務（見下表）。

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（2）學習成果及分享。

下面選取了部分小組的制作方案：

圖6：為了方便讀，我們組按每5 厘米記一個小數。大家都是1米多，記錄身高時，小數點前是1米，小數點后的兩位就是比1 米多的幾厘米。

圖6

圖7：我們發現三年級學生身高大致在1.3 米到1.6 米之間，于是我們先找到紙條的0.3 米與0.6米，再在兩個刻度之間用厘米進行細致刻畫。

圖7

圖8：我們組都較矮，就將1米對折找到0.5 米，然后從1.5 米往下用厘米刻畫了20 厘米即0.2米范圍的刻度，剛好夠量。

圖8

從呈現結果來看，學生對小數都已有了較深刻的認識：不僅會在紙條上表征小數，也會以小數來計量身高，還會從量的角度進行大小比較，進行加減運算。

【課后反思】

小數的初步認識是小數意義學習的初始課，把重點放在小數應用的直觀感受，小數意義的操作感知，以及概念模型的初步抽象上，可以優化教學、提升學生學習收獲。

發揮學生在具體實物水平的認知基礎，結合真實情境，理解小數不同數位的計量意義，展開合理的估計與判斷，體會用小數刻畫生活現象的簡潔與精確。

在操作說明水平上做實做細，從實物模型到數學直觀模型的演示，再到實踐應用，梳理出小數和分數的關系，得出研究小數的方法。

基于豐富的小數表象，設計任務，進行正、負遷移，并在此基礎上進行初步的抽象和概括，進階數學思維，進而進行實踐應用，發展數學素養。