立足內核本質 設計“關鍵問題” 促進素養提升
——《加法交換律和乘法交換律》教學設計

文|王 江

之前在加法意義和加法驗算的學習中，學生對于加法“可交換”已經有了很多感性的認識，乘法亦是如此。一節內容簡單、學生經驗豐富的數學課，如果依然從常規教學思路“提出猜想——舉例驗證——得出結構——應用規律”出發，總感覺沒有觸碰到概念的本質內核，學生的思維沒有進階，甚至，可以說這樣的教學思路停滯在了十年前。

教學中，可以嘗試提出更具思維含量和挑戰性的“關鍵問題”，給予學生一定的小工具支持，使學生從不同層面、多種角度表征加法交換律，從而幫助學生從字面上的“可交換”，逐步邁向利用多層次的對話深化學生對“可交換”的本質理解，即：在交換律中，“序”的改變并不影響最終結果。過程中，結構關聯的視角、“猜想—驗證”的數學學習方法和經驗的再積累，都為學生未來的學習賦能。

【教學過程】

一、呈現“關鍵問題”，引發獨立思考

師：老師帶來了一個有趣的語文作品，叫“顛倒歌”。知道這首作品顛倒前的順序嗎？多快樂的一首顛倒歌！語文學科里，這么一顛倒、一交換，文字立馬有了更大的魅力。數學里的交換會不會也有別樣的精彩呢？今天我們就來學習數學里的交換。

師：說起交換，在咱們的數學學習里不止一兩次了，讓我們一起來看一看。一年級數的分與合、一年級一圖兩式、二年級的驗算（課件呈現教材圖）……這些學習的經歷，讓小明產生了一個大膽的猜想：“任意兩個數相加，交換它們的位置，和不變?！蹦阌X得小明的猜想正確嗎？

師：不著急下結論，為了方便同學們驗證這個猜想，王老師給每個小組準備了四個學習材料，我們來認真地看一看。材料1 舉例子，材料2 面積圖，材料3 集合圖，材料4 紅色木條、藍色木條。（材料2、3、4 課件均有交換位置的動畫）

師：我們來看小組合作要求。

1.選一選：組長組織，每人選擇一個學習材料。2.想一想：先獨立思考，如有需要，可以動筆簡要記錄。3.說一說：在小組里認真有序交流。

師：特別提醒第二點，想一想很重要，有思考才有高質量的小組交流，所以，老師建議分好學習材料，靜靜獨立思考，再在小組里好好交流一下！

【設計意圖：教師通過“關鍵問題”喚醒了學生對于兩個加數“可交換”的經驗，本質上這是一種聯系的視角。此外，教師放手讓學生借助四個學習材料展開探究活動，教師精心設置的這四個學習材料分別對應數、形、指向“離散量”的集合圈圓片圖以及指向“連續量”的小棒長度圖。通俗講，圓片圖是“離散”的，它更多指向“整數”，而小棒圖是“連續”的，它指向“任何數”?？梢灶A見的是，不同層次的學習材料將會成為后續生生、師生對話的重要資源?！?/p>

二、交流反思，讓思維相互碰撞

1.嘗試舉例，初步驗證

生：我選擇舉例子的方法。

師：舉例驗證是個很棒的路徑。但我們能不能通過這幾個例子就下結論？

生：還需要舉出更多例子，如25+13=38，13+25=38；100+200=300，200+100=300，所以我覺得是對的。

師：第二位同學的舉例和第一位同學比，你更喜歡誰的？

生：我喜歡第二位同學的，因為他舉例的時候能夠考慮到不同的類別。

師：其他小組還有沒有不同類的例子？

（學生匯報略）

師：老師特別關心的是有沒有同學舉出了反例？

師：看來舉例子的時候，不僅要考慮不同類別，還要考慮反例的問題。

師：你能把這兩個等式合并成一道算式嗎？

（學生舉例，留下一組等式）

師：有沒有同學擔心萬一第1000 個例子是反例呢？沒關系，我們繼續借助其他學習材料來交流。

2.多維驗證，深化理解

生：我選擇了面積圖。我覺得長方形在前、在后的順序不重要，合起來結果都是整個大長方形的面積。

生：我選擇了集合圖。我也覺得紅色在前、在后的順序不重要，我們都是在算這兩個部分的總和。

生：我選擇了紅、藍小棒圖。我覺得藍小棒在前、在后都無所謂，反正都是在算紅、藍小棒的長度和。

師：數學學習到這里是不夠的，真正厲害的同學還能從四個學習材料中找到共同的地方，你能找到嗎？

生：兩個部分，它們交換位置再合起來，結果是不變的。

師：學習到這里，想問大家，小明的猜想正確嗎？（正確）現在你還有前面例子舉不完的擔心嗎？有沒有同學知道，這個猜想的另外一個專屬名字？（加法交換律）

師：剛才同學們寫了這么多算式，有沒有同學能夠用一道算式把它們都表示出來？（學生回答略）我們通常用a+b=b+a 來表示。

【設計意圖：學生借助教師給予的學習材料，能夠從不同層面、多種角度嘗試驗證加法交換律，從而實現深度理解。在這過程中力求實現四個層次的對話：1.能用面積圖、集合圖、小棒圖驗證、解釋加法交換律；2.感悟不論是整數、分數還是小數，都滿足加法交換律；3.用沒有具體數據的例子也能說明，因為是“合并”，與誰前誰后位置的改變沒有關系；4.感受字母表示的代表性和一般性?！?/p>

3.整體建構，深化認知

師：回顧一下，我們根據一個猜想，用不同的方法進行了驗證，最后得到了這個結論。學習不要止步于此，你還有沒有新的猜想？

生：有沒有減法交換律、除法交換律和乘法交換律呢？

師：要為大家點贊。每人至少選擇一個你感興趣的猜想展開驗證，獨立思考，也可以簡單記錄下。

生：我覺得沒有減法交換律。10-7=3，7-10 卻不夠了。

生：我反對，5-5=5-5，8-8=8-8，所以我覺得有。

師：剛才我們討論加法交換律的時候，你們允許反例的出現嗎？那怎么現在就允許了呢？

生：我覺得減法沒有交換律，只要找到一個反例，就可以推翻它了。

師：對！驗證結論過程中，只要舉出一個不符合結論的例子——反例，就可以說這個結論不成立。

生：除法也沒有交換律。12÷2=6，2÷12 肯定小于1 了。

生：我覺得乘法有交換律。我舉了很多例子，都是成立的。

師：大家有沒有舉出一個反例？

（學生搖頭）

師：同學們，計算小方塊的總數（如下圖），你怎么列式？

師：橫著看，幾個幾？豎著看呢？3 乘5、5 乘3，它本質上算的都是這里方塊的個數，只是觀察的視角不同。所以，乘法交換律這個猜想是正確的！

師：實際上，乘法交換律也早就陪著我們學習了（如下圖）。

師：同學們，今天我們一起學習了交換律。我們發現：通過交換，它可以改變兩個部分的順序，可是兩部分的總量是不變的。在今天的學習中，我們發現，順序并不影響結果。（完成板書，如下圖）

【設計意圖：本節課沒有滿足于加法交換律的學習，而是在此基礎上，拋出了第二個“關鍵問題”：乘法、減法、除法有交換律嗎？引導學生猜想、舉例驗證，積累“猜想—驗證”的數學學習方法和經驗，學會用舉反例的方法否定錯誤的猜想，數學理性思維表現得淋漓盡致。此外，方塊計數的圖片，學生可以從乘法的意義理解，也可以從面積模型、幾何直觀的角度理解，有助于學生將它推廣到更一般的情形：ab=ba，課堂里沒有完全“點破”，但“意圖”已經蘊含其中。板書的設計，也向內核本質更近了一步，即：交換兩個部分，“序”改變了，但“序”的改變并不影響結果的改變，真正做到了讓簡單的知識不簡單，學習力悄然提升?！?/p>

三、拓展延伸，拓展思維邊界

下面的算式中，你覺得哪些可以填到橫線上？

25+47=______

A.74+25 B.47+25

C.24+48 D.27+45

生：我覺得B 就是我們今天學習的交換律。

生：我覺得還可以選C。25 挪走一個給47，總數是不變的。

師：不算就能看出來，真厲害！這是加法的另一個規律。

生：我覺得也可以選擇D。47移過去2 個給25，總數也不變。

生：我覺得不用計算，D 就是十位沒動，個位進行了對調。

師：那這是交換律嗎？確實不是，這個算式有一點復雜，它里面藏著交換律，但是等大家到了下學期，你會發現這里面還藏著新的加法運算律。

【設計意圖：本節課沒有呈現枯燥的、機械式的練習題，只留了一道題，通過這樣的練習，實現“減負增效”，學生也在過程中明白除了“交換律”，還有其他的“運算律”。】

四、全課總結，回顧課堂學習歷程

師：同學們，讓我們回顧一下整節課。今天我們從已有的學習活動中，善于觀察、形成猜想，然后，借助多元材料、小心驗證，接著，變化條件、豐富猜想，最后，我們還進行了鞏固練習、深化認知。希望未來的學習，同學們也能夠和今天這樣提出更多的猜想，不斷尋找答案。