立足數學文化 培養科學精神

王偉

［摘 要］課堂教學是培養學生科學精神、提升學生核心素養的主要途徑。“實數”是初中數學對數系的第二次擴充，數系的擴充蘊含著豐富的文化元素，有著厚重的文化積淀。在溯源過程中，學生感受到數系的擴充在數學發展中的重要作用，體驗知識的發生、發展，從而培育數學科學精神，提升核心素養，彰顯數學文化的育人價值。

［關鍵詞］數學文化；科學精神；實數

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）05-0007-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出：“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。”“實數”作為初中代數的核心概念之一，是學生后續學習方程、函數等內容的基礎。教師在教學中應讓學生感受到數系的擴充在數學發展中的重要作用，幫助學生了解數學知識的發生、發展過程，體驗數學家的思考過程，領悟數學思想方法，體會數學家的創新精神，形成“數學式”的理性思維，養成嚴謹求真、實事求是、鍥而不舍的科學精神，自覺接受數學文化的熏陶，感受數學的無窮魅力。本文以人教版數學教材七年級下冊第六章第3節“實數”的教學為例，談談在數學教學中如何引導學生感悟數學文化，培養科學精神，提升核心素養。

一、內容和內容解析

（一）內容

無理數與實數的概念；實數和數軸上的點的一一對應關系。

（二）內容解析

“實數”一課在學生學習了有理數、平方根、立方根的基礎上引進無理數的概念，并將數的范圍從有理數擴充到實數。本節課既是二次根式、一元二次方程、銳角三角函數等后續知識學習的基礎，又是高中階段學習函數、不等式等知識的基礎。

學生通過本章前兩節的學習，已經掌握了正有理數的算術平方根與無限不循環小數的關系意義，即絕大多數的正有理數的算術平方根屬于無限不循環小數。對此，教師可首先整合有限小數、無限不循環小數，再與有理數進行對比，探討有理數與無理數的關系；同時在無理數的基礎上引入實數，進而擴充數的范圍，即有理數→實數；然后采用類比法，將有理數表示為數軸上的點，并指出實數與數軸上的每個點的一一對應關系。基于以上分析，本節課的教學重點是讓學生了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點的一一對應關系。

二、目標和目標解析

（一）目標

（1）了解無理數和實數的概念。

（2）知道實數與數軸上的點具有一一對應關系，初步體會數形結合、分類、逐步逼近、轉化、由特殊到一般等數學思想。

（二）目標解析

達成目標（1）的標志是學生會從一些數中辨析出哪些是有理數、哪些是無理數，并能自己舉例說明。

達成目標（2）的標志是學生能在數軸上找到[π]、[2]這樣的無理數對應的點；知道實數和數軸上的點的一一對應關系。

三、教學問題診斷分析

無理數是從現實世界中抽象出來的一種數，具有極高的抽象性。而初中生正處于由感性思維到理性思維的轉折點，對無理數幾乎沒有任何感性認識，因此認識無理數就成了初中數學學習中的一個難點。為了突破此難點，就要從學生熟悉的有理數入手，通過厘清有理數和無理數的聯系與區別，引入無理數的概念。

基于以上分析，本節課的教學難點是對無理數的認識。

四、教學支持條件分析

學生可以自主動手折疊圖形，借助圖形尋找數軸上的點，教師可借助希沃助手投屏學生的活動場景。

五、教學過程設計

（一）展示數學史——無理數的誕生，引入課題

1. 《九章算術》中的開方術

問題：今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？（譯文：現有正方形田，面積為55225平方步，那么其邊長是多少？）

教師播放視頻展示《九章算術》中的開方術求邊長，其中“若開之不盡者，為不可開，當以面命之”，“面”是指開方開不盡的無理數，對一個正數使用開方術時“開方開不盡”將得到無理數，這樣不僅突出無理數獨有的特征，而且還提供得到無理數的常用辦法。讓學生了解《九章算術》中的開方術和現代數學開方的方法在數學思想方面是緊密相連的，后者在符號和形式上都有變化。

設計意圖：通過《九章算術》中的開方術讓學生感受到我國古代數學在世界上處于遙遙領先的地位，幫助學生了解和感悟中華民族獨特的數學智慧，提高學生的文化自信，增強學生的民族自豪感。

2.數學史大事件——[2]的由來

學生查閱資料，教師課前做好PPT講解，介紹第一次數學危機。畢達哥拉斯學派的基本觀點為“萬物皆數”，即一切量都可以用整數或整數之比來表示，即一切量都可以用有理數來表示，畢達哥拉斯的弟子希伯索斯發現正方形的對角線與其一邊的長度之比不能用兩個整數的比表示，[2]也無法用分數表示（不可比數），對此有理數不夠用了，于是引發了第一次數學危機。

設計意圖：讓學生體悟這種敢于質疑權威的精神，同時認識到數學知識對自身發展的重要性；讓學生理解數學知識的生成不是臆想出來的，它源于生活，又高于生活，最終轉化為生產力作用于生活，從而引導學生理解數學。

（二）復習提升，溫故知新

問題1：能否舉例我們學過哪些不同類型的數？

學生可能會提出有理數、整數、分數、小數等，教師指出需要列舉不同類型的數。在教師的引導下學生舉出不同類型的數，教師將學生列舉的數按正有理數、0、負有理數以及正無理數和負無理數的順序整理排序，具體如下。

思考：你能將這些數都寫成小數的形式嗎？你還有什么發現？

教師可根據學生的課堂生成情況做進一步引導，將整數視為小數點后是0的小數，那么任何一個數都可以把它寫成有限小數或是無限循環小數的形式；反過來，任何有限小數或無限循環小數都可以當作是同一類數，即有理數。

設計意圖：讓學生舉例已經學過的數，一方面能幫助學生復習舊知識，另一方面能通過探究活動驅動學生思考有理數都可以寫成有限小數或無限循環小數的形式，為本節課數的分類做好鋪墊。

思考：依據學生列舉的數，類似[2]、[π]、0.101001…（有規律但不循環）、[-3]、[-53]，它們是什么小數？

學生基于問題1的鋪墊容易回答“無限不循環小數”，教師順勢引出無理數和實數的概念，由學生列舉的數自然生成實數的第一種分類，具體如下。

[實數有理數（有限小數或無限循環小數）正有理數0負有理數無理數（無限不循環小數）正無理數負無理數]

問題2：你能否類比正有理數、負有理數、正無理數、負無理數，引出實數分類？

師生互動，在類比有理數分類的基礎上，共同討論實數的分類原則，總結實數的分類，具體如下。

[實數正實數正有理數正無理數0負實數負有理數負無理數]

設計意圖：通過組內討論，引導學生進一步把握無理數和實數的分類及整體性。

（三）合作探究，活動領悟

探究1：數軸上的點可以表示數，你能在數軸上找到表示[π]的點嗎？

教師引導學生探究直徑為1個單位長度的圓，從原點A沿數軸向右滾動一周到達點B， 點B對應的數就是[π]（如圖1）。

教師參與并巡堂指導學生進行實際操作，借助希沃助手投屏，讓學生理解無理數[π]可以用數軸上的點表示出來，-[π]也一樣。

設計意圖：通過在數軸上滾動直徑為1個單位長度的圓，讓學生感受無理數也可以在數軸上表示。

探究2：借助邊長為1個單位長度的正方形在數軸上找到表示[2]的數。

學生發現邊長為1個單位長度的正方形的對角線長為[2]，將正方形對角線的一個頂點和原點重合，借助旋轉或直接尺規作圖的辦法，可知正方形對角線的另外一個頂點對應數軸上的點為[2]，教師直接給出“實數與數軸上的點是一一對應的”這一結論。實數與數軸上的點是一一對應的，即每一個實數都可以用數軸上的點來表示；反過來，數軸上的每個點都對應表示一個實數。

設計意圖：通過具體操作，讓學生體會到無理數也可以在數軸上表示。

（四）師生互動，變式深化

1.把下列各數分別填入相應的集合內。

設計意圖：對實數的概念及分類、實數與數軸上的點一一對應進行考查，檢測學生對相關知識的掌握程度。

（五）嘗試練習，鞏固提升

下列說法正確的是（）。

（1）不存在絕對值最小的實數；（2）不存在與本身的算術平方根相等的數；（3）比正實數小的數都為負實數；（4）非負實數中最小的數為0。

A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個

設計意圖：對實數的概念及分類進行更深層次的考查，加深學生對本節課知識的理解。

（六）適時小結，興趣延伸

教師：通過本節課的學習，你有哪些收獲？試從知識、思想方法等方面談一談。

知識方面：無理數與實數的概念及其分類；實數與數軸上的點一一對應；對于數軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數總比左邊的點表示的實數大。

思想方面：類比思想、數形結合思想、分類思想等。

課后作業：

1.習題6.3和復習鞏固1、2、7題。

2.復習題6第6題。

3.利用如圖2所示的4×4方格，你能畫出幾種面積不同的正方形？哪幾種正方形的邊長是無理數？（一張4×4方格中僅畫一種正方形）

六、教學反思

（一）引領新思考，導入課題內容

教師通過讓學生嘗試列舉所學過的不同類型的數，提前設定學生可能會提出有理數、整數、分數、小數等。教師引導學生對列舉的數進行分類，再思考能否將這些數都寫成小數的形式。教師根據課堂生成情況進一步引導，可以將整數看成小數點后是0的小數形式，那么任何一個數都可以把它寫成有限小數或是無限循環小數的形式。反過來，任何有限小數和無限循環小數都可以當作是相同種類的數，即有理數。基于學生對問題的回答，教師順勢引出無理數和實數的概念，由學生列舉的數自然生成實數的第一種分類，讓學生帶著問題深入思考，體會學習本課知識的必要性。

（二）關聯數學史，培養質疑意識

數學史不僅蘊含著數學學科的發展脈絡，而且揭示了數學思想方法的豐富含義。劉徽在《九章算術注》中指出以面命之的方法（如何求無理數），即用有理數逼近無理數。學生通過觀看視頻，了解中國古代數學家在代數方面的研究，感受到我國古代數學在世界上處于遙遙領先的地位，感悟中華民族獨特的數學智慧，從而提高文化自信，增強學生的民族自豪感。

再者，教師介紹畢達哥拉斯學派的基本觀點——“萬物皆數”，即一切量都是可以用整數或整數之比來表示的（一切量都可以用有理數來表示），而希伯索斯發現[2]無法用分數表示，有理數不夠用，由此引發了第一次數學危機。學生在學習過程中感悟這種敢于質疑權威的科學精神，感受文化的熏陶，從而叩問數學之真、觸摸數學靈魂。

（三）活動再領悟，發展理性思維

無理數是從現實世界中抽象出來的數，教師在教學中直接給出無限不循環小數是無理數，[2]為什么是個無限不循環小數？無限不循環是怎么樣得到的？這需要用到集合、對應、極限等知識，七年級還沒有涉及這些知識，學生只能進行感性認識。為此，教師帶領學生思考、操作，借助旋轉或直接尺規作圖的辦法，在數軸上找到表示[π]、[2]的點，讓學生直觀地理解無理數也可以在數軸上表示。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］? 劉祖希，陳飛.HPM與MM教育方式的耦合初探：兼談當代中國數學教育流派［J］.數學通報，2020（11）：31-34，49.

［3］? 李雪嬌. 滲透數學文化 彰顯數學魅力：以“歸納——猜想——論證”教學為例［J］.中小學數學（高中版），2020 （11）：26-29.

［4］? 張煒. 呼喚真實的教學情境［J］.湖南教育（B版），2022（7）： 68.

［5］? 羅增儒. “實數”課例的現場研修［J］.中學數學教學參考， 2022 （32）： 21-27.

（責任編輯 黃桂堅）