一題一課,問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)思維復(fù)習(xí)課

邱志剛

[摘? 要] 不少的初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課仍以知識(shí)重現(xiàn)、典例講解和技巧應(yīng)用為主，忽視了對(duì)章節(jié)知識(shí)體系的構(gòu)建以及對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng). 文章以“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課為例，采取重構(gòu)教學(xué)目標(biāo)、精心設(shè)計(jì)問(wèn)題的教學(xué)策略，通過(guò)問(wèn)題的解決讓學(xué)生構(gòu)建起知識(shí)框架，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維能力.

[關(guān)鍵詞] 問(wèn)題驅(qū)動(dòng);一題一課;數(shù)學(xué)思維;復(fù)習(xí)課

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課以知識(shí)重現(xiàn)、典例講解和技巧應(yīng)用為主，注重問(wèn)題解決和解法歸類(lèi)，依靠著簡(jiǎn)單的知識(shí)回顧和反復(fù)的刷題來(lái)提高教學(xué)效率，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力提升、核心素養(yǎng)培養(yǎng)及數(shù)學(xué)思維鍛煉沒(méi)有太大的幫助，這樣的課堂處于一種低階思維狀態(tài).

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求培養(yǎng)和提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，由此可見(jiàn)數(shù)學(xué)單元（章末）復(fù)習(xí)課的必要性、重要性和實(shí)效性.而數(shù)學(xué)單元（章末）復(fù)習(xí)課的教學(xué)，應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生從已有的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”出發(fā)，將數(shù)學(xué)知識(shí)“數(shù)學(xué)化”“再創(chuàng)造”“反思”等;讓學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生在“問(wèn)題驅(qū)動(dòng)”下學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)”.

筆者在教授“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課中，嘗試設(shè)計(jì)了一系列問(wèn)題，學(xué)生在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下，再認(rèn)識(shí)概念、構(gòu)建知識(shí)體系和解決不斷生長(zhǎng)的問(wèn)題，不僅僅提升了學(xué)習(xí)能力，重要的是學(xué)生始終處于高階思維狀態(tài)，對(duì)培養(yǎng)自身的核心素養(yǎng)有較大幫助.

基本情況分析

1. 內(nèi)容及內(nèi)容分析

本節(jié)課是北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)第二章“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課，以二次函數(shù)的定義和性質(zhì)、求解二次函數(shù)解析式和綜合運(yùn)用為主. 在此之前，學(xué)生已系統(tǒng)學(xué)習(xí)了上述知識(shí)，初步掌握了一些二次函數(shù)的研究方法，積累了對(duì)應(yīng)的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 本節(jié)復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)方法和探究過(guò)程，區(qū)別于傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)課形式，為后續(xù)學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系、梳理知識(shí)點(diǎn)、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ).

2. 學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）通過(guò)微課中的幾何畫(huà)板演示，借助圖象的變換建立起“二次函數(shù)”的定義與性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生在觀察和思考中自主構(gòu)建知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生歸納以及建模的能力.

（2）通過(guò)開(kāi)放性題目探究，進(jìn)一步理解和應(yīng)用二次函數(shù)圖象變換下的問(wèn)題生成，開(kāi)拓學(xué)生一題多解的能力，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和批判性思維能力.

（3）通過(guò)對(duì)圖形線段的增刪、變換衍生出不同的問(wèn)題，讓學(xué)生感受問(wèn)題的進(jìn)階，培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題解決能力.

3. 教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：二次函數(shù)的定義與性質(zhì)的應(yīng)用.

難點(diǎn)：學(xué)會(huì)探索與分析二次函數(shù)圖象中線段的各種關(guān)系.

教學(xué)過(guò)程

1. 預(yù)習(xí)反饋，歸納總結(jié)

問(wèn)題1：提前錄制微課，讓學(xué)生在幾何畫(huà)板演示下觀看如何建立二次函數(shù)圖象，通過(guò)圖象上下、左右平移以及180°旋轉(zhuǎn)，觀察二次函數(shù)解析式的系數(shù)與圖象之間的聯(lián)系，學(xué)生通過(guò)微課后的幾個(gè)追問(wèn)進(jìn)行思考、討論和回答，學(xué)會(huì)用思維導(dǎo)圖構(gòu)建起二次函數(shù)的知識(shí)架構(gòu).

追問(wèn)1：二次函數(shù)圖象是一個(gè)怎樣的圖形？形如怎樣的式子是二次函數(shù)的一般形式？

追問(wèn)2：改變二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)（先改變a，再改變c，最后改變b）對(duì)二次函數(shù)圖象有怎樣的影響？

追問(wèn)3：你能說(shuō)出二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)對(duì)二次函數(shù)圖象的變化會(huì)起到哪些作用嗎？

追問(wèn)4：通過(guò)合作討論，你能說(shuō)出二次函數(shù)有哪些基本性質(zhì)嗎？

追問(wèn)5：通過(guò)合作討論，你能總結(jié)出二次函數(shù)系數(shù)與二次函數(shù)圖象特征的關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：通過(guò)微課學(xué)習(xí)，讓學(xué)生觀察、思考二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的聯(lián)系，進(jìn)一步深化和總結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)，并利用思維導(dǎo)圖把知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，避免復(fù)習(xí)課中因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)較多、較碎而重溫一遍，讓學(xué)生自主構(gòu)建知識(shí)體系. （附學(xué)生的思維導(dǎo)圖，如圖1所示）

2. 構(gòu)建模型，知識(shí)生長(zhǎng)

問(wèn)題2：如圖2所示，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖形與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，下面的信息正確的有______.

①abc>0;②4ac-b2<0;③4a-2b+c>0;④a-b+c=0;⑤a+c>0;⑥8a+c<0.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 通過(guò)多結(jié)論問(wèn)題的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生對(duì)已進(jìn)行了定義和性質(zhì)的歸納的知識(shí)體系有一個(gè)更清晰的認(rèn)識(shí). 同時(shí)，通過(guò)知識(shí)的應(yīng)用能夠厘清知識(shí)之間的關(guān)系，進(jìn)一步幫助學(xué)生理解性質(zhì)，在結(jié)論設(shè)計(jì)中，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，通過(guò)挖掘系數(shù)和圖形之間的關(guān)系促進(jìn)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)學(xué)生的高階思維能力.

問(wèn)題3：如果拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖形經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和B（3，0），你能通過(guò)圖象得出哪些基本結(jié)論？

師生活動(dòng)：?jiǎn)栴}3是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，通過(guò)這個(gè)問(wèn)題打開(kāi)學(xué)生的思維，進(jìn)一步讓學(xué)生思考二次函數(shù)系數(shù)與圖象之間的聯(lián)系. 設(shè)計(jì)條件不完整的問(wèn)題，可以為后續(xù)發(fā)展問(wèn)題增添更多的可能，也可以在得出的眾多結(jié)論中抽出若干個(gè)結(jié)論作為問(wèn)題生長(zhǎng)的基礎(chǔ). 當(dāng)學(xué)生回答完問(wèn)題后，給出兩個(gè)追問(wèn).

追問(wèn)1：你能求出該拋物線的關(guān)系式嗎？如果不能你覺(jué)得還需要添加什么條件？

學(xué)生回答：可以給出a或b或c的值，也可以給出第三點(diǎn)的坐標(biāo)，或者給出△ABC的面積……

追問(wèn)2：選取其中一位同學(xué)給出的條件——圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，3），請(qǐng)求出該拋物線的關(guān)系式，你有多少種求解方法？

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 問(wèn)題3既需要學(xué)生會(huì)用知識(shí)，又需要感悟知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系. 感悟得越深，學(xué)生能提出的問(wèn)題就越多，這樣的感悟有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)和開(kāi)拓思維. 通過(guò)兩個(gè)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的研究上由淺入深、由特殊到一般. 同時(shí)，追問(wèn)2讓學(xué)生清晰了解函數(shù)的解決方法具有多樣性，每一種方法就能涉及不同的知識(shí). 教師鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法求解析式，這些方法的運(yùn)用能讓學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)，培養(yǎng)其思辨能力.

問(wèn)題4：在追問(wèn)2的條件下，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作DE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)AC，BC，BC與DE相交于Q點(diǎn).

追問(wèn)1：當(dāng)點(diǎn)D在x軸上方， 且S=S時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

追問(wèn)2：設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為_(kāi)_____. （用含m的代數(shù)式表示）

追問(wèn)3：追問(wèn)2中的線段DQ的長(zhǎng)為_(kāi)_____. （用含m的代數(shù)式表示）

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 問(wèn)題4中設(shè)計(jì)了三個(gè)追問(wèn)，三個(gè)追問(wèn)讓學(xué)生的思維能力逐步提升;考慮到學(xué)生剛學(xué)完這一章，還沒(méi)有完全構(gòu)建起知識(shí)間的體系，因此把動(dòng)點(diǎn)設(shè)計(jì)在x軸上方，可以減少因符號(hào)而分類(lèi)討論所帶來(lái)的麻煩. 三個(gè)追問(wèn)聯(lián)系密切，環(huán)環(huán)相扣，為后面繼續(xù)提出新的問(wèn)題埋下了伏筆，這樣的反復(fù)追問(wèn)能讓學(xué)生的思維始終處于高階水平.

追問(wèn)4：如圖4所示，當(dāng)線段DQ的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及DQ的最大值.

追問(wèn)5：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC于H，當(dāng)DH的長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及DH的最大值.

師生活動(dòng)：先讓學(xué)生獨(dú)立思考一段時(shí)間，再讓小組合作進(jìn)行思維碰撞，交換小組間不同的想法，幾分鐘后展示討論的成果.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 隨著問(wèn)題不斷生長(zhǎng)，學(xué)生的思維得到了充分鍛煉. 以上兩個(gè)追問(wèn)重在解決線段的最值問(wèn)題，這是學(xué)生比較畏懼的一種題型，但通過(guò)前面三個(gè)追問(wèn)的引導(dǎo)，學(xué)生基本能將這類(lèi)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段的和差問(wèn)題. 問(wèn)題的生長(zhǎng)，呈現(xiàn)出了由易到難、由簡(jiǎn)到繁的難度變化，由低階到高階的思維變化. 追問(wèn)5涉及的解法較多，考慮到“思維不是自然發(fā)生的，但它一定是由‘難題和疑問(wèn)或‘一些困惑、混淆或懷疑引發(fā)的”，因此教師沒(méi)有把解決問(wèn)題作為最終目的，而是通過(guò)小組合作、思維碰撞，讓學(xué)生得出多種解法. 實(shí)踐課堂里，學(xué)生提出了相似法、等面積法以及根的判別式法（相切）等，盡管有些方法超出了學(xué)生所學(xué)的知識(shí)，但教師可以鼓勵(lì)學(xué)生應(yīng)用這些方法. 隨著對(duì)問(wèn)題的研究和解決，學(xué)生的能力得以較快發(fā)展和提升.

3. 問(wèn)題拓展，遷移應(yīng)用

變式1：如圖5所示，拋物線y= -x2+2x+3中，點(diǎn)D是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)CD，BD，當(dāng)S=S時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

變式2：如圖6所示，拋物線y= -x2+2x+3中，點(diǎn)E是拋物線上的頂點(diǎn)，在直線AC上，是否存在一點(diǎn)P，使得△BEP的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 課堂結(jié)束不是知識(shí)學(xué)習(xí)的終結(jié)，設(shè)計(jì)的拓展問(wèn)題不能脫離原有的思維，應(yīng)達(dá)到鞏固學(xué)習(xí)的目的. 兩個(gè)變式分別對(duì)應(yīng)著面積和周長(zhǎng)問(wèn)題，在原有的基礎(chǔ)上把求線段的最值深化為求周長(zhǎng)的最值，這樣的問(wèn)題深化和延伸，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)從具體到抽象的轉(zhuǎn)變，屬于方法的再認(rèn)識(shí)和再創(chuàng)造.

4. 總結(jié)提升，課堂評(píng)價(jià)

如圖7所示，在圖6的基礎(chǔ)上作直線BC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線BC′，交拋物線于點(diǎn)B，D，交y軸于點(diǎn)C′，連結(jié)CD.

（1）求∠BDC的正切值;

（2）將拋物線向下平移幾個(gè)單位長(zhǎng)度后，與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)？

設(shè)計(jì)說(shuō)明? 在圖6的條件上繼續(xù)延伸題目，既是對(duì)前面思維的一個(gè)總結(jié)，又可看作是本節(jié)復(fù)習(xí)課的教學(xué)評(píng)價(jià). 這樣的教學(xué)評(píng)價(jià)能讓教師及時(shí)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，可為下節(jié)課適當(dāng)調(diào)整教學(xué)順序，同時(shí)教師能觀察學(xué)生的思維發(fā)展趨勢(shì)，為今后的教學(xué)設(shè)計(jì)提供改進(jìn)的措施和方向.

1. 精心設(shè)計(jì)問(wèn)題，構(gòu)建知識(shí)體系

常見(jiàn)的復(fù)習(xí)課仍以重現(xiàn)知識(shí)、重現(xiàn)方法和強(qiáng)化訓(xùn)練為主，這樣的復(fù)習(xí)更注重的是對(duì)題型的熟練，是一種典型的應(yīng)試教育，對(duì)學(xué)生理解知識(shí)間的聯(lián)系以及培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的幫助不大. 本節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師通過(guò)幾何畫(huà)板畫(huà)出圖形變化，讓學(xué)生感受二次函數(shù)系數(shù)和圖象的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生用思維導(dǎo)圖的形式把這些關(guān)系串聯(lián)起來(lái)，有助于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)體系. 對(duì)經(jīng)過(guò)思考后構(gòu)建的知識(shí)體系，學(xué)生的理解是深刻的，比教師簡(jiǎn)單羅列知識(shí)點(diǎn)所帶來(lái)的效果好很多，同時(shí)讓學(xué)生不再機(jī)械記憶二次函數(shù)過(guò)多的性質(zhì).

2. 母題精挑細(xì)選，拓展學(xué)生思維

復(fù)習(xí)課里無(wú)論是多題一解還是一題多解，多強(qiáng)調(diào)以知識(shí)的運(yùn)用為主，沒(méi)有真正達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的目的. 本節(jié)復(fù)習(xí)課中，教師精挑細(xì)選母題，找到富有開(kāi)發(fā)空間的母題，然后由母題設(shè)計(jì)出豐富的變式題、拓展題，生長(zhǎng)出有針對(duì)性的問(wèn)題，每個(gè)問(wèn)題都引起了學(xué)生極大的興趣，他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題原來(lái)是這樣生長(zhǎng)出來(lái)的. 每個(gè)追問(wèn)讓學(xué)生產(chǎn)生了獨(dú)特的想法，教師鼓勵(lì)學(xué)生說(shuō)出和分享想法，不斷拓展學(xué)生的思維. 值得指出的是，與開(kāi)放題相比，由開(kāi)放題帶來(lái)開(kāi)放式教學(xué)是更重要的教學(xué)取向. 課堂中教師應(yīng)重視“對(duì)話教學(xué)”，即讓學(xué)生說(shuō)、讓不同學(xué)生表達(dá)不同思維，并且讓學(xué)生的“思維”帶動(dòng)師生進(jìn)一步“思考”. 這樣的教學(xué)才會(huì)是一個(gè)意蘊(yùn)生動(dòng)、育才育人的課堂教學(xué).

3. 大膽讓教于生，內(nèi)化數(shù)學(xué)素養(yǎng)

在復(fù)習(xí)課的教學(xué)過(guò)程中，教師針對(duì)問(wèn)題不斷提出新的追問(wèn)，給予學(xué)生足夠的時(shí)間，讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考、小組合作、深入研討和積極展示去完成這些追問(wèn). 成果展示中，學(xué)生給出了很多教師沒(méi)有思考過(guò)的奇思妙想，這些想法體現(xiàn)了學(xué)生思維的變化，讓教師清晰了解了他們的思維發(fā)展，這樣的追問(wèn)以及研討也讓學(xué)生的思維在整節(jié)課中始終處于高階狀態(tài). 學(xué)生在課堂活動(dòng)中的成果展示，其實(shí)是他們自身知識(shí)內(nèi)化為思維能力的一種體現(xiàn)，教師應(yīng)當(dāng)善待這些充滿思考的成果，讓思維轉(zhuǎn)化為學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力.