經歷過程 助力發展

張紅

[摘? 要] 在數學教學中要打破功利教育的束縛，引導學生多經歷一些實質性的思維活動，從而讓學生在學習中實現知識、能力、態度的完美統一. 文章以“認識三角形”為例，通過“獨立思、合作學”帶領學生經歷三條線段——產生、發展和應用全過程，以此促進“教”與“學”的全面可持續發展.

[關鍵詞] 思維活動;過程;持續發展

在數學教學中，部分教師習慣依賴經驗開展教學活動. 不過經驗雖然寶貴，但其本身也存在一定的局限性，若在教學中僅憑經驗教學，數學教學就變成了簡單的機械重復，勢必影響學生思維能力和學習能力的提升. 在實踐教學中，經常會出現這樣的情況：教師將重難點和易錯點內容“反復講、重復講”，以幫助學生理解和消化，同時預防學生犯錯;但在考試中發現，對于教師“反復講、重復講”的內容，學生解題時依然會犯錯，究其根源就是過程的缺失，并沒有讓學生將知識學懂學會. 因此，教學中教師切勿將自己的經驗強加給學生，應帶領學生經歷一些過程，從而讓學生將自己的感悟逐漸轉化為學習的內驅力，以此提升學習能力.

筆者以“認識三角形”第2課時為例，帶領學生共同經歷知識的形成過程，讓學生在參與中有所感悟、有所提升.

教學實錄

1. 明晰研究對象

師：上節課我們已經學習了三角形的概念，明晰了三角形的表示方法和計數方法，現在請大家結合圖1思考如下問題.

若BC邊上有一動點P，那么

（1）當P運動到什么位置時，線段AP平分∠BAC呢？

（2）當P運動到什么位置時，線段AP平分△ABC的面積呢？

（3）當P運動到什么位置時，線段AP的長最短呢？

雖然三角形相關知識是學生剛接觸的內容，但對于對稱、三角形面積等相關知識學生并不陌生，因此對于以上問題教師讓學生獨立思考，尋求解決問題的方法.

師：問題（1）誰來說一說？

生1：對于問題（1），若線段AP所在的直線為∠BAC的對稱軸時，此時線段AP平分∠BAC.

師：很好，你們認同嗎？（學生紛紛點頭）

師：對于問題（2）呢？

生2：根據三角形的面積公式，若BP=CP，即點P為線段BC的中點時，線段AP能平分△ABC的面積.

師：很好. 問題（3）呢？

生3：當AP⊥BC時，此時線段AP的長最短.

師：大家說得都很好，不過以上線段該如何確定呢？又存在怎樣的數量關系和性質呢？

設計意圖? 教學中，從學生的認知出發，以問題為鋪墊引出主題，這樣有利于調動學生參與的積極性，激發學生的求知欲.

2. 借助畫圖形成各線段的概念

師：對于問題（1）中的動點P，你認為應該如何確定呢？

生4：可以通過折疊的方法確定.

生5：可以用量角器測量后確定.

師：很好，請大家任意畫一個三角形，選擇適合的方法做一做.

學生動手操作，教師巡視操作結果，待操作完成后，教師讓學生展示操作結果并陳述操作過程.

師：現在我們一起研究一下，看看問題（2），點P的位置該如何確定？

生6：與上面的操作方法基本相同，也可以通過折疊法和測量法來確定.

師：很好，現在大家畫一個三角形體驗一下，選擇合適的方法確定點P.

（本環節以學生動手操作為主，教師預留一定的時間讓學生動手操作，并讓學生進行示范展示）

師：接下來思考一下，問題（3）中的點P該如何確定呢？

（學生借助折疊法和三角尺確定了點P，通過動手操作對以上三條線段有了清晰的認識，為接下來探究各線段的數量關系做好鋪墊）

師：以上線段在今后的學習中會經常用到，為了便于交流，我們有必要給這些線段起一個名字，你們認為怎么命名會更方便呢？

設計意圖? 對于線段的命名，教師改變了傳統的照本宣科，這樣在教師的指導下，通過互動交流最終確認名稱并形成相應的概念. 雖然互動交流會花費一定的時間，但是通過交流讓學生參與其中，會使抽象的概念變得更加生動化，更易于學生理解和接受.

3. 探究區別與聯系，明晰數量關系

師：想一想三角形有幾條角平分線呢？

生齊聲答：3條.

師：很好，中線和垂線呢？

生齊聲答：3條.

師：三角形的角平分線與角的平分線相同嗎？（學生思考片刻）

生7：不同，前者為線段，后者為射線.

師：很好，那么三角形的高線和垂線呢？

生8：也不同，前者為線段，后者為直線.

師：很好，雖然有些概念表面上看似乎相同，但是其本質及所代表的意義可能有所不同，在學習時不能只關注表面，而要善于關注問題的本質.

師：如圖2所示，若AP為△ABC的一條角平分線，你可以得出怎樣的數量關系？

生9：∠BAP=∠CAP=∠BAC.

師：很好！如圖3所示，若AP為△ABC的一條中線，你又知曉什么？

生10：BP=CP=BC.

師：如圖4所示，AP為△ABC的一條高線，你得出了什么結論？

生11：若AP為△ABC的一條高線，則AP⊥BC.

生12：∠APB=∠APC=90°.

師：根據以上的等量關系，是否可以說明“垂直”“直角”與“90°”屬于同一概念呢？（學生陷入沉思）

生13：雖然根據三角形的高線得到了以上等量關系，但是并不能說明三者相同，它們不屬于同一概念范疇，“垂直”是從位置關系上進行的表達，“90°”則是從數量關系上進行的表述，而“直角”是從幾何圖形上進行的表達.

師：說得非常好，理解得很到位，其中蘊含著“數”與“形”之間的一種對應關系.

設計意圖? 對于以上線段所對應的數量關系是教學的一個重點，教師放慢速度，與學生一同探究其中蘊含的等量關系及數學思想，便于學生更好地理解概念，為后面應用概念解決問題奠基.

4. 自主探究，挖掘“共點”秘密

師：剛剛我們只是畫出了一條三角形的角平分線，現在請大家剪一個任意三角形，利用折疊法將該三角形的三條角平分線都畫出來，仔細觀察這三條角平分線，看看它們是否存在什么關系.

（剛剛學生已經動手操作過，同時又進行了示范，因此很快就畫出了三條角平分線）

師：你們有什么發現？

生14：我發現三條角平分線相交于同一點.

師：很好！現在請大家按照以上步驟分別畫出三條中線，看看它們有何關系.

（問題給出后，學生積極操作，很快得出了同樣的結論，即三角形的三條中線也相交于同一點）

師：我們研究了三角形的角平分線和中線，接下來該研究什么呢？

生齊聲答：三角形的高線.

師：很好. 現在請大家按照以下步驟進行操作：

（1）分別畫出銳角三角形ABC、直角三角形DEF和鈍角三角形PQR;

（2）分別畫出這三個三角形的三條高線;

（3）觀察這三個三角形三條高線的關系;

（4）比較這三個三角形三條高線的交點位置.

（學生操作，教師巡視，在巡視中發現有部分學生在繪制鈍角三角形的三條高線時存在一些問題，教師給予了單獨指導）

師：請大家說一說有什么發現.

生15：與前面的兩個結論相同，三條高線也相交于同一點.

師：它們交點的位置呢？

生16：銳角三角形ABC三條高線的交點在其內部;直角三角形DEF三條高線的交點是其頂點;鈍角三角形PQR三條高線的交點在其外部.

師：與你們的結果一致嗎？（學生點頭表示贊同）

師：很好！剛剛大多數同學是利用三角板畫高線，如果利用折疊法可以畫高線嗎？

生17：可以. （學生示范）

師：結合以上動手操作結果，請大家完成表1.

教師先讓學生獨立完成表1，接下來組織學生交流反饋，最后教師進行點評，完善表格的填寫.

師：大家回憶一下，“共點”的結論我們是如何發現的？

生18：折疊和畫圖.

師：很好，畫圖在發現幾何結論、證明幾何結論中都有著重要的應用，以上結論就是借助畫圖獲得的，后面我們會通過推理的方法進行證明，同學們課后也可以嘗試推理證明.

設計意圖? 在教學中，教師組織學生通過折疊、畫圖、觀察、總結等數學活動最終完成了三角形“三線”知識體系的建構. 表面上看以上探究過程只是簡單的操作，但是其中蘊含著重要的數學思想方法，如分類討論等. 在教學中，教師應多鼓勵學生去操作、去觀察、去總結歸納，進而通過親身經歷發現數學規律，掌握數學研究方法，以此提升學生的數學學習興趣.

5. 恰當練習，助力知識內化

師：相信通過以上探究，大家已經對“三線”有了清晰的認識，現在看看以下問題該如何求解. （教師用PPT展示例1）

例1? 如圖5所示，在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是△ABC的角平分線. 已知∠BAC=80°，∠C=40°，求∠DAE的度數.

師：思考一下，想要求∠DAE的度數，我們需要知道什么呢？

生19：已知∠BAC=80°，如果知道∠DAC和∠EAC的度數就可以求出∠DAE了.

師：這兩個角如何求呢？

生20：已知AE是△ABC的角平分線，又∠BAC=80°，可知∠EAC=40°. AD是△ABC的高線，于是∠ADC=90°，又∠C=40°，所以∠DAC=50°.

師：很好，這樣我們就容易得出∠DAE=10°.

師：現在給大家3分鐘時間，將以上計算過程書寫完成.

設計意圖? 借助簡單的問題讓學生初步體驗知識的應用，通過“用”強化認知. 另外，師生交流得到∠DAE=10°后，教師又給學生一定的時間完成計算過程的書寫，以此規范解題過程，避免解題時因過程缺失或書寫不規范而失分.

師：對于例1的運算大家都是信手拈來的，可見大家對新知已經有了深刻的認識. 接下來我們一起探究一下，看看例2該如何求解. （教師用PPT展示例2）

例2? 如圖6所示，在△ABC中，點D，E，F分別為三邊的中點. 設△ABC的面積為S，求△DEF的面積（用S表示）.

例2較例1的難度略有提升，教師沒有急于幫助學生進行分析講解，而是預留一定的時間讓學生獨立思考，確認解題思路，為接下來更好地合作交流奠定基礎.

師：由點F是BC的中點，連結AF，你能夠得到什么？

生21：S=S=S=S.

師：依據是什么？

生21：等底同高的兩三角形面積相等.

師：很好. 在△AFC中，點E為AC邊的中點，連結EF，能夠得到什么？

生22：同理可知S=S=S=S.

師：很好，由此可知S=S. △ADE和△DBF的面積分別是多少呢？（學生思考片刻）

生23：同理可求△DBF的面積為S. 連結CD，可求得△ADE的面積也為S.

師：很好，這樣我們求得△DEF的面積是多少呢？

生齊聲答：S.

接下來教師預留時間讓學生完善以上的計算過程，這樣一方面可以幫助學生規范解題過程，另一方面可以給基礎較弱的學生一定的時間理解和消化，從而實現全面進步.

師：結合圖6，請大家思考一下，DE與BC存在什么樣的關系？

生24：平行.

師：說一說理由.

生24：我是通過觀察得出的，應該可以證明.

師：很好，觀察是一種直觀猜想，往往能夠為探究提供方向，不過其具有一定的主觀性，若想證明該結論成立需要進一步推理. 大家推理一下，DE∥BC是否成立呢？

生25：成立. 根據以上計算過程可知S=S，過點D和點E分別作△DBF和△FCE的高線，由底相等、面積相等，可得高線的長相等，于是點D，E到BC的距離相等，故DE∥BC.

師：很好，其實仔細觀察圖6還能得出許多結論，這里我們就不一一探究了，請大家課后思考一下，看看還有哪些發現.

設計意圖? 完成例2的計算后，教師在此基礎上引導學生進一步探索，得到了DE∥BC，由此可以推廣至EF∥AB，DF∥AC. 這樣通過問題的擴展既有助于發散學生的思維，又為接下來學生學習三角形中線的性質及定理做好鋪墊. 數學學習的過程更多的是一種自我發現和自主探究的過程，為此在日常教學中教師要改變單一的“就題論題”，多引導學生去發現和探究，以此促進學生自主學習能力的提升.

6. 課堂小結，反思提升

課堂小結是數學教學的重要一環，教學中教師要預留一定的時間指導學生進行總結和歸納，便于學生更好地把握本節課的重難點，厘清數學知識的研究方法，提煉出數學思想方法，從而通過總結歸納將活動經驗逐漸轉化為學習能力，在掌握知識的基礎上認清問題的本質，提升教學有效性.

教學反思

有時部分教師在數學教學中表現得過于功利，忽視了結果形成與應用的實質性思維過程，從而影響了全面、和諧的教學目標的落實，影響了學生核心素養的發展，顯然這有悖于教育初衷，不利于學生發展.

在本節課教學中，教師以學生熟悉的三角形為載體，通過教師適度引導和學生自主建構共同經歷了三種線段產生的過程. 在此過程中，學生通過動手折、動手畫既體驗了數學知識形成的過程，又感悟了蘊含其中的數量關系和運動的觀點，還提煉出了重要的思想方法，不僅揭示了相近概念之間的區別與聯系，而且在探索中掌握了數學研究方法. 另外，在教學過程中，教師既從全局出發引導學生經歷知識生成、發展、應用的全過程，又不忘一些細節的處理，如書寫規范、小結、反思等，促進了學生知識與技能的發展，使核心素養的培養得以落實.

總之，教學中教師要從學生學情出發，關注教學過程，關注“三維目標”的落實，為學生綜合能力全面提升助力.