初中數學最值問題淺析

桑靜

【摘要】最值問題是中考數學中的高頻考點，是中學數學的重要內容之一，也是難點之一.這類問題與幾何、函數等內容一起考查，類型多樣，覆蓋面廣，具有很強的綜合性.本文對最值問題的求解進行分類討論，探究和總結一些基本和常見的方法，以便學生更好的掌握.

【關鍵詞】初中數學；最值問題；解題

1截距型最值問題

例3已知：x-2y+7≥0

4x-3y-12≤0

x+2y-3≥0，Z=4x-3y，求Z的最大的值和最小值.

解作出可行域（如圖4），

作出直線4x-3y=0，將直線平移，通過觀察可知，

當直線y=43x+b與直線4x-3y-12=0重合時，截距b=-4為最小，所以Zmax=-3b=12.

當直線y=43x+b經過直線x-2y+7=0與直線x+2y-3=0交點時，截距b=316為最大，所以Zmin=-3b=-312.

點評本題主要考查的是Z=4x-3y的最大值和最小值，相當于求y=43x-Z3的縱截距 Zmax=-3b=12，b=-Z3的最值，當b最大時，Z最小；b最小時，Z最大.

2兩點距離型最值問題

例4已知x+y-1≤0

x-y+1≥0

y≥-1，Z=（x-2）2+（y-2）2，求Z的最大值和最小值.

解作出可行域（如圖5），

找到定點（2，2），由圖易得出可行域內到定點距離最大的點為（-2，-1），所以

Zmax=2--22+2--12=5，

Z的最小值為定點到可行域邊界x+y-1=0的距離，

即d=|2+2-1|2=32=62.

點評此問題實際是在求可行域內的點到定點之間距離的最大值和最小值.

3正方形最值問題

例6正方形ABCD的邊長為1，點O是BC邊上的一個動點（與B、C不重合），以O為頂點在BC所在直線上方作∠MON=90°，當OM不過點A時，設OM交邊AB于G，且OG=1.在ON上存在點P，過P作PK垂直直線BC，垂足為K，使得S△PKO=4S△OBG連接GP，求四邊形PKBG的最大面積.

解連接GP，因為∠GOB +∠POK = 90°，∠GOB +∠BGO= 90°，

所以∠BGO=∠POK.

又因為∠B=∠PKO = 90°，所以△GBO∽△OKP.

由于S△PKO=4S△OBG，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方可知OP=2OG=2，

故S△POG=12OG×OP=1.

設OB=a，BG=b，則a2+ b2=OG2=1，

由完全平方公式得（a-b）2=a2-2ab+b2≥0，

則ab≤12（a2+ b2）.

S△OBG=12ab≤14（a2+b2）=14，

當a=b=22時，S△OBG有最大值，最大值為14.

故四邊形PKBG的最大面積為1+14+1=94.

點評本題主要考查相似三角形的判定和性質，三角形的面積，二次函數的性質，方程思想，完全平方公式及不等式在最值問題中的運用等知識點.

4幾何最值問題

例7如圖9，拋物線y=ax2+bx+c過點A（-1，0），點C（0，3），且OB=OC.

（1）求拋物線的解析式及其對稱軸；

（2）點D、E是直線x=1上的兩個動點，且DE=1，點D在點E的上方，求四邊形ACDE的周長的最小值.

解（1）因為C（0，3），所以OC=3，OB=OC=3，所以B（3，0），

將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c中，

得a=-1，

b=2，

c=3，

故拋物線的解析式為y=-x2+ 2x+ 3，

其對稱軸為直線x=-b2a= 1.

（2）如圖10，作點C關于對稱軸x=1的對稱點C′（2，3），

連接CC′，C′D，將點A向上平移1個單位長度得到點A′（-1，1），

連接AA′，A′D，A′C′，四邊形AA′DE為平行四邊形，

所以A′D=AE.

因為AC=OC2+OA2=10，DE=1，

所以C四邊形ACDE=AC+DE+CD+AE=10+1+CD+AE，

要使C四邊形ACDE最小，只需CD+AE最小即可.

當A′、D、C′三點共線時，A′D+DC′有最小值13，

故四邊形ACDE的周長的最小值為10+13+1.

點評 本題綜合考查二次函數和“將軍飲馬”模型的綜合運用，屬于“兩定兩動型”，作點C關于對稱軸x=1的對稱點 C′，將點A向上平移一個單位長度得到點A′，這樣 C四邊形ACDE=AC+DE+CD+AE=AC+DE+C′D+A′D，由AC，DE的長為定值，只需C′D+A′D最小即可，根據當A′、D 、C′三點共線時，C′D+A′D有最小值，得出四邊形ACDE的周長的最小值.