淺談算術(shù)平方根和平方根教學(xué)中的有效銜接

張冬生

摘要：算術(shù)平方根和平方根是“實(shí)數(shù)”一章中很重要的兩個(gè)概念。這兩個(gè)概念既是教學(xué)重點(diǎn)，又是教學(xué)難點(diǎn)。以往不少同學(xué)對(duì)這兩個(gè)概念認(rèn)識(shí)模糊，甚至到了初三畢業(yè)前的復(fù)習(xí)階段的理解不清。這對(duì)后繼課程的學(xué)習(xí)，特別是“二次根式”這一章有較大的影響。因此，教師既可以根據(jù)生活中的實(shí)際問(wèn)題引出算術(shù)平方根的概念，又可以對(duì)上學(xué)期的乘方進(jìn)行復(fù)習(xí)而導(dǎo)出平方根的概念。由淺入深地幫助學(xué)生掌握算術(shù)平方根和平方根的聯(lián)系和區(qū)別，再嘗試用不同的內(nèi)容組合不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時(shí)，也能夠達(dá)到高效“教”與“學(xué)”的目的。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 算術(shù)平方根 平方根

一、人教版教材分總形式設(shè)計(jì)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中提及：“經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運(yùn)算與數(shù)學(xué)建模等過(guò)程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。”對(duì)于本節(jié)的要求為：一是了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根。二是了解乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根。

人教版教材中將平方根和算術(shù)平方根的內(nèi)容安排在七年級(jí)下冊(cè)第六章“實(shí)數(shù)”，主要是因?yàn)閷W(xué)生在七年級(jí)上學(xué)期已經(jīng)學(xué)過(guò)有理數(shù)及有理數(shù)的乘方，為現(xiàn)在的實(shí)數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。人教版教材中的情境創(chuàng)設(shè)首先是通過(guò)提出生活中的實(shí)際問(wèn)題正方形畫(huà)布面積求邊長(zhǎng)，再通過(guò)填表的形式來(lái)引出算術(shù)平方根，層層疊進(jìn)的方式讓同學(xué)們體會(huì)到數(shù)學(xué)與日常生活是密切聯(lián)系的，認(rèn)識(shí)到日常的問(wèn)題可以利用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法來(lái)處理。并給出算術(shù)平方根的定義及表示方法、讀法及被開(kāi)方數(shù)，特別規(guī)定0的算術(shù)平方根是0，并通過(guò)例1中的三個(gè)從大到小的數(shù)來(lái)計(jì)算算式平方根，主要有兩個(gè)目的：一是加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于新知識(shí)的理解，并添加同步練習(xí)，鍛煉學(xué)生的計(jì)算能力。二是從被開(kāi)方數(shù)的大小關(guān)系中得到，被開(kāi)方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大，為后面的規(guī)律探究提供鋪墊。后續(xù)的內(nèi)容是計(jì)算2的值和信息技術(shù)在數(shù)學(xué)學(xué)科中的應(yīng)用，運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則來(lái)計(jì)算2的近似值，從而得到它的值是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，為無(wú)理數(shù)的概念總結(jié)提出范例。而通過(guò)計(jì)算器來(lái)計(jì)算數(shù)的算式平方根，為算術(shù)平方根規(guī)律的探究提供條件和驗(yàn)證方式。人教版教材中的閃光點(diǎn)：一是對(duì)算術(shù)平方根的規(guī)律的探究。這是其他版教材中沒(méi)有的，可能是過(guò)于追求對(duì)規(guī)律探究的側(cè)重，導(dǎo)致平方根和算術(shù)平方根兩者間的關(guān)系割裂，若對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，加強(qiáng)知識(shí)的銜接與聯(lián)系，那么學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解更加清晰。二是課后習(xí)題分層設(shè)計(jì)，適合不同學(xué)情的同學(xué)。復(fù)習(xí)鞏固都可以從課本例題上找到模板，適合后進(jìn)生。“綜合運(yùn)用”欄目穿插著一元二次方程及物理題中的公式運(yùn)用計(jì)算，需要同學(xué)在基礎(chǔ)知識(shí)上，再加一點(diǎn)轉(zhuǎn)換，但是沒(méi)有脫離課本的知識(shí)，適合中等生。“拓廣探索”欄目要求學(xué)生具有探究精神，學(xué)會(huì)動(dòng)手和動(dòng)腦，從中得到公式，能夠探究出無(wú)限開(kāi)方的規(guī)律，適合優(yōu)等生。

算術(shù)平方根主要分為三大部分：一是算術(shù)平方根的概念和計(jì)算，二是對(duì)于算術(shù)平方根規(guī)律的研究和應(yīng)用，三是數(shù)的大小比較。平方根主要分為兩個(gè)部分，分別是介紹平方根（二次方根），可以求數(shù)的平方根，分析平方根的兩個(gè)根的關(guān)系，以及介紹平方根和算術(shù)平方根的聯(lián)系與區(qū)別。教材采用分總的形式呈現(xiàn)，分的重點(diǎn)在于研究算術(shù)平方根，總的重點(diǎn)是通過(guò)填表重新導(dǎo)入平方根，借助教材中的圖片突出平方和平方根的關(guān)系以及平方根的兩個(gè)根的特點(diǎn)，但是總體聯(lián)系性不強(qiáng)，在算術(shù)平方根中出現(xiàn)的例1和例3容易給學(xué)生的學(xué)習(xí)帶來(lái)順向負(fù)遷移；例1中出現(xiàn)的x2=2，x=2以及例3中出現(xiàn)的x2=50，x=50，在實(shí)際教學(xué)中教師要指導(dǎo)學(xué)生注意這里表示的是算術(shù)平方根，畫(huà)布或者紙片的邊長(zhǎng)不可能是負(fù)數(shù)。但這容易被學(xué)生誤解，之后學(xué)習(xí)的平方根，2的平方根有兩個(gè)分別是±2，學(xué)生受之前學(xué)習(xí)的算術(shù)平方根先入為主影響，教師要將平方根并結(jié)合之前的例題進(jìn)行解釋說(shuō)明，否則學(xué)生以后學(xué)習(xí)解一元二次方程時(shí)會(huì)產(chǎn)生思維定式。另外，在平方根的例題解答中，之前算數(shù)的算術(shù)平方根，可以給出100=10，在平方根里面應(yīng)該同樣表示±100=±10，通過(guò)對(duì)比，讓學(xué)生加深印象，同時(shí)讓學(xué)生通過(guò)比較、討論，探究得到算術(shù)平方根其實(shí)是兩個(gè)平方根中的一個(gè)非負(fù)根。還可以幫助學(xué)生逐步形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评砜偨Y(jié)與實(shí)踐動(dòng)手的能力，并在不斷改進(jìn)、修正自身的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)方式的基礎(chǔ)上，努力提高自身解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力、數(shù)學(xué)學(xué)科的文化素養(yǎng)。

二、個(gè)人淺談總分形式設(shè)計(jì)

相對(duì)于課堂教學(xué)與實(shí)踐訓(xùn)練的效果而言，學(xué)生往往會(huì)對(duì)新知識(shí)產(chǎn)生首因效應(yīng)。個(gè)人建議先介紹平方根，上學(xué)期的乘方內(nèi)容就可以直接導(dǎo)入平方根，例如（±3）2=9，很容易得出9的平方根是±3，復(fù)習(xí)導(dǎo)入，自然和諧；同時(shí)，教師借助關(guān)于畫(huà)布面積求邊長(zhǎng)的例題引導(dǎo)學(xué)生考慮實(shí)際情況，從而恰當(dāng)?shù)匾鏊阈g(shù)平方根，而且能更清晰地向?qū)W生傳遞出兩者之間的關(guān)系以及兩者之間的區(qū)別。設(shè)置數(shù)學(xué)理論知識(shí)聯(lián)系實(shí)際的數(shù)學(xué)思想，容易激發(fā)學(xué)生的成就感、驚奇感，讓同學(xué)們能夠在概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中體會(huì)、體驗(yàn)到自主探究、釋疑的樂(lè)趣，這對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的愿望也具有良好的促進(jìn)作用。

這樣的總分形式設(shè)計(jì)便于學(xué)生理解平方根和算術(shù)平方根兩者之間的關(guān)系，平方根中的開(kāi)方運(yùn)算結(jié)果和解題步驟方法，同樣適用于算術(shù)平方根的運(yùn)算和解題。另外，之后就可以對(duì)算術(shù)平方根的知識(shí)展開(kāi)重點(diǎn)探究，包括對(duì)規(guī)律的探究以及數(shù)的大小關(guān)系比較。特別是通過(guò)對(duì)實(shí)際例題的講解會(huì)在真正意義上接觸到無(wú)理數(shù)2，對(duì)于2的近似值探究一來(lái)可以對(duì)以后的無(wú)理數(shù)學(xué)習(xí)起到很好的先導(dǎo)作用，二來(lái)通過(guò)生活實(shí)例解題得出含有根號(hào)的數(shù)，判斷和其他數(shù)的大小關(guān)系，為之后學(xué)習(xí)算術(shù)平方根的規(guī)律以及實(shí)數(shù)的大小比較提供一種方法策略。在進(jìn)行算術(shù)平方根規(guī)律的再利用時(shí)，可以作為講解二次根式的“先行組織者”，以此來(lái)達(dá)到培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、掌握知識(shí)內(nèi)容體系的目的。在教材的閱讀與思考中，證明了2不是有理數(shù)，并給予證明，還運(yùn)用反證法拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維和生活中的逆向思維。

三、其他版本的設(shè)計(jì)對(duì)照比較

“教學(xué)為了誰(shuí)？教學(xué)依靠誰(shuí)來(lái)展開(kāi)和進(jìn)行？教學(xué)從哪里出發(fā)？”這三個(gè)問(wèn)題是數(shù)學(xué)教師必須經(jīng)常思考和回答的，具有不同教學(xué)立場(chǎng)的教師對(duì)這三個(gè)問(wèn)題的回答也不一定相同。

北師大版八年級(jí)上冊(cè)的平方根的引入是在前一章節(jié)的勾股定理和前一小節(jié)給出的無(wú)理數(shù)定義的基礎(chǔ)上，通過(guò)直角三角形求斜邊的長(zhǎng)，從而引出算術(shù)平方根的概念，對(duì)于由圖形導(dǎo)入，可以由教師動(dòng)手畫(huà)或者通過(guò)信息技術(shù)中的作圖工具來(lái)完成圖形繪制，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較新穎，也穿插數(shù)形結(jié)合的思想。第一小問(wèn)中的x2，y2…要求學(xué)生填空比較合適，既復(fù)習(xí)之前的勾股定理又為后續(xù)的算式平方根的定義提供素材。但是第二小問(wèn)中要求學(xué)生說(shuō)出其中的無(wú)理數(shù)和有理數(shù)，這一問(wèn)缺乏無(wú)理數(shù)與帶根號(hào)的數(shù)之間聯(lián)系的紐帶，會(huì)影響學(xué)生對(duì)知識(shí)的正遷移，后續(xù)可以在算術(shù)平方根的后面加上類似2，3…這樣的數(shù)，進(jìn)行近似計(jì)算，搭建無(wú)理數(shù)和帶根號(hào)的開(kāi)方數(shù)的橋梁，最后總結(jié)的時(shí)候再來(lái)提問(wèn)問(wèn)題（2），則更為合適。由9的算術(shù)平方根是3，也就是說(shuō)3的平方是9，還有其他的數(shù)的平方是9嗎？從而引出平方根，后續(xù)對(duì)平方根和立方根進(jìn)行估算有單獨(dú)的小節(jié)來(lái)完成，并在同步的練習(xí)中出現(xiàn)了映射二次根式中的公式，這是閃光點(diǎn)，但是美中不足的是缺少對(duì)平方根規(guī)律的探究，學(xué)生自主探究的能力得不到很好的體現(xiàn)。

魯教版七年級(jí)上冊(cè)的引入同北師大版教材類似，在導(dǎo)入的部分同樣缺乏根數(shù)和無(wú)理數(shù)聯(lián)系的橋梁，通過(guò)3個(gè)例子來(lái)充分說(shuō)明算術(shù)平方根和平方根的計(jì)算，以及算術(shù)平方根的應(yīng)用。其中例2聯(lián)系物理知識(shí)，通過(guò)小球落地跨學(xué)科進(jìn)行教學(xué)，注重學(xué)科間的聯(lián)系，是本節(jié)的亮點(diǎn)，但是不足的地方在于公式的運(yùn)用，解方程中，只涉及一個(gè)根，沒(méi)有進(jìn)行特別說(shuō)明，會(huì)誤導(dǎo)學(xué)生對(duì)平方根的理解，建議例2可以放在平方根的后面，補(bǔ)充一下時(shí)間不是負(fù)數(shù)，排除一個(gè)根，從而得到正確的答案。這樣安排符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

滬教版七年級(jí)下冊(cè)平方根的引入是以上一小節(jié)中2，3，5這樣的無(wú)理數(shù)為基礎(chǔ)的，通過(guò)生活中的實(shí)際問(wèn)題方桌面積求邊長(zhǎng)導(dǎo)出平方根的概念，再結(jié)合實(shí)際問(wèn)題引出算術(shù)平方根，然后用計(jì)算器對(duì)算術(shù)平方根進(jìn)行估算，這個(gè)版本平方根的引入合理，知識(shí)銜接自然，但是前一小節(jié)的實(shí)數(shù)欠缺合理性，對(duì)于說(shuō)明2是無(wú)理數(shù)也沒(méi)有具體的方法，雖然后面也進(jìn)行了證明，但還是容易給學(xué)生帶來(lái)凡是帶根號(hào)的都是無(wú)理數(shù)這樣的思維定式。

湘教版八年級(jí)上冊(cè)通過(guò)生活實(shí)例鋪正方形地墊來(lái)求邊長(zhǎng)，引入平方根的定義，并著重介紹兩個(gè)平方根之間的關(guān)系，同步說(shuō)明算術(shù)平方根，利用圖表來(lái)呈現(xiàn)平方根和平方之間的互逆關(guān)系，運(yùn)用例1和例2強(qiáng)化平方根和算術(shù)平方根的計(jì)算，本節(jié)的閃光點(diǎn)在于突出了正數(shù)的兩個(gè)平方根之間是互為相反數(shù)。但也有很多不足的地方，銜接的內(nèi)容是無(wú)理數(shù)的知識(shí)，而沒(méi)有關(guān)于這節(jié)內(nèi)容的應(yīng)用題，單純的數(shù)學(xué)計(jì)算，缺乏計(jì)算與應(yīng)用的結(jié)合。

冀教版八年級(jí)上冊(cè)通過(guò)填表的方式導(dǎo)入平方根，采用總分的形式自然引出算術(shù)平方根的概念，整個(gè)知識(shí)的銜接連貫便于學(xué)生理解和掌握，但是細(xì)節(jié)方面可以適當(dāng)修改，其中正數(shù)a的平方根是±a，表述為非負(fù)數(shù)a是否更好些，也可以適當(dāng)添加部分二次根式中的公式探究，促進(jìn)知識(shí)的順向遷移。

浙教版七年級(jí)上冊(cè)通過(guò)正方形面積求邊長(zhǎng)導(dǎo)出平方根的概念，進(jìn)一步得到算術(shù)平方根，如果正方形面積設(shè)定為可開(kāi)方的整數(shù)，這樣可以讓能力有限的同學(xué)也跟得上節(jié)奏，立足于教材而高于教材，不拘泥于課本。數(shù)學(xué)是為解決日常生活中的問(wèn)題而服務(wù)的，如果加上結(jié)合實(shí)際的應(yīng)用題或者跨學(xué)科題目，可能會(huì)更好，這樣學(xué)生既可以提高運(yùn)算能力又可以提升解決問(wèn)題的能力。新的教學(xué)觀側(cè)重以學(xué)生為出發(fā)點(diǎn)來(lái)組織教學(xué)，既重視研究教法，又注重研究學(xué)法，在運(yùn)用教學(xué)方法時(shí)把學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體，注重啟發(fā)誘導(dǎo)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性。著名心理學(xué)家皮亞杰曾一針見(jiàn)血地指出：“傳統(tǒng)教育方法與新的教育方法的對(duì)立乃是被動(dòng)性與主動(dòng)性的對(duì)立。”

蘇科版八年級(jí)上冊(cè)通過(guò)長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)度的計(jì)算引出平方根，經(jīng)過(guò)幾個(gè)簡(jiǎn)單的特殊值得出兩個(gè)平方根之間的關(guān)系，從而引出平方根的定義，該版教材特別注重細(xì)節(jié)，備注了a≥0，提醒學(xué)生注意。后續(xù)自然地引出算式平方根。例1計(jì)算數(shù)的平方根。例2計(jì)算數(shù)的算術(shù)平方根。例3是本節(jié)的閃光點(diǎn)，既強(qiáng)化學(xué)生對(duì)平方根和平方之間的關(guān)系，又為二次根式中的公式提供先導(dǎo)素材。例4，結(jié)合自然科學(xué)的知識(shí)，讓同學(xué)們明白生活中的道理，站得高望得遠(yuǎn)。當(dāng)然也有不足的地方，要注重培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和小組合作能力，還應(yīng)進(jìn)行算術(shù)平方根規(guī)律的探索。

滬科版七年級(jí)下冊(cè)通過(guò)地板的面積導(dǎo)出平方根的概念并同步給出算術(shù)平方根，結(jié)構(gòu)合理，重點(diǎn)在于通過(guò)兩個(gè)圖表讓學(xué)生更直觀地理解平方根和平方的關(guān)系，便于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，用4個(gè)例子層層遞進(jìn)。例1，判斷數(shù)有沒(méi)有平方根，給予學(xué)生直觀的認(rèn)知，也為區(qū)分?jǐn)?shù)有沒(méi)有立方根做個(gè)對(duì)照。例2，計(jì)算出各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根，既強(qiáng)化了學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解與計(jì)算，也加深了學(xué)生對(duì)平方根和算術(shù)平方根的區(qū)分理解。例3，利用計(jì)算器來(lái)進(jìn)行運(yùn)算，提倡信息技術(shù)的運(yùn)用，但缺點(diǎn)是探究性不強(qiáng)，對(duì)于普遍的算術(shù)平方根的規(guī)律沒(méi)有引入，停留在表層，學(xué)生跟隨著教師的節(jié)奏學(xué)習(xí)，做不到自己動(dòng)手探究和理解知識(shí)。例4，結(jié)合物理知識(shí)，在跨學(xué)科的基礎(chǔ)上應(yīng)用知識(shí)，為八年級(jí)物理學(xué)科的開(kāi)設(shè)提供知識(shí)的“先行組織者”。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)緊密聯(lián)系學(xué)生的生活來(lái)提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，已成為現(xiàn)代數(shù)據(jù)學(xué)習(xí)中特別需要解決的問(wèn)題之一。這種情況下，就要求教師在數(shù)學(xué)教育活動(dòng)中要積極創(chuàng)造條件，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)生活，進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)初中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)。

結(jié)語(yǔ)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分重視并利用平方根的知識(shí)，作為后續(xù)實(shí)數(shù)的計(jì)算、勾股定理的計(jì)算以及解一元二次方程的基礎(chǔ)。并能利用平方根中數(shù)的規(guī)律遷移得到二次根式的公式，學(xué)會(huì)二次根式的計(jì)算。各版本教材編排可能不同，但是無(wú)論是分總形式還是總分形式的教學(xué)，內(nèi)容是不變的，在于知識(shí)的操作性，讓學(xué)生輕松探究知識(shí)，掌握和理解知識(shí)，提升數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)以及實(shí)際問(wèn)題解決能力，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的強(qiáng)烈興趣，貫徹新課標(biāo)中的“有意義學(xué)習(xí)”。

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責(zé)任編輯：唐丹丹