歷史與技術融入數學競賽解題教學的探索與思考*
——以一道上海市高三競賽題為例

江蘇省天一中學(214101)安愷凱

無錫市東北塘中學(214191)沈丹丹

1 引言

2022年9月30日《中國教育報》發表了對菲爾茲獎得主丘成桐教授的訪談文章——“打好數學強國‘底子’”,其中受訪者談到“奧數作為一個業余的競賽,用來提升學生的興趣是不錯的,但奧數本身內容很偏,只考慮一部分的數學問題,不能夠將主要的、主流的數學學好,不是一個真正做數學研究甚至工科科學家所要求的,我們需要更大范圍的學問”[1],受訪者的觀點反映出數學競賽的教育價值在中國一直遭受的爭議,數學競賽所涉及的內容往往高于高中數學的內容,但又很少涉及大學數學的內容,若學生只是長期處在這個“夾層”之間,反復地、不斷地、過度地訓練解題技巧,難免會消磨學生在數學上持久探究的熱情與志向,對學生今后數學科研事業的發展產生負面影響,正如麻省理工學院數學系教授許晨陽所言:“數學研究中需要許多不同的數學能力,數學競賽培養的能力只是其中的一部分,盡管適度的訓練可以在某種程度上發展學生的數學能力,但是過度的訓練卻有可能阻礙學生數學研究所需能力的發展”[2].

作為一線教師,筆者時常思考,在競賽解題教學中,在指導學生理解基本知識、習得解題技能、感悟數學思想、積累活動經驗之外,如何能讓學生做到如丘成桐教授所倡導的那樣,看到問題背后更大范圍的學問,以及更加長遠的意義.以下結合問題實例,談談在具體實踐中的探索與思考.

2 問題呈現

問題[3](2019年上海市高三數學競賽第8 題)已知x,y ∈[0,+∞),則x3+y3-5xy的最小值為____.

解法1由三元均值不等式,得

解法2由二元均值不等式,得x3+y3-5xy≥構造f(t)=2t3-5t2,則從而可得f(t)在上單調遞減,在上單調遞增,所以,故x3+y3-5xy的最小值為.

解法3由二元均值不等式,得

設t=x+y∈[0,+∞),構造,則從而可得g(t)在上單調遞減,在上單調遞增,所以,故x3+y3-5xy的最小值為.

本題是一道關于對稱雙變量(x,y)的無條件最值問題,解法1 通過添加常數項,配湊出三元均值不等式適用的代數結構來直接求得最值.解法2 和解法3 結合二元均值不等式,先將目標函數分別轉化為關于單個整體“xy”或“x+y”的單變量函數,繼而利用函數的單調性來分析與處理.三種不同的解法雖然呈現出不同的形式,但本質都涉及到競賽中處理雙變量函數的三種基本策略:一為“通過‘添’、‘拆’、‘拼’等變形技巧實現代數式的等價變形”;二為“通過‘均值’、‘柯西’、‘琴生’等著名不等式實現代數式的不等放縮”;三為“通過‘代入換元’、‘整體換元’、‘對稱換元’等消元方法實現多變量函數向單變量函數的轉化”.

解題方法的對比、解題策略的統一可以促使學生激活已有知識,運用已有技能解決眼前問題,并為將來解決類似問題積累通性通法層面上的經驗.但筆者認為這仍是一種基于競賽功利性與效用性的教學模式,學生的思維被牢牢局限在競賽解題所需的內容范圍內原地打轉,無法看到問題背后更大范圍的知識,以及更加長遠的意義.在高等數學范疇內,雙變量函數對應著更高維度的圖像,雙變量方程對應著各種優美對稱的曲線,這些曲線遠遠超出了高中教材中圓錐曲線所給予學生的認知范疇,但也正是因為超出了解題所涉及的知識與技巧,被普遍認為與問題的解決“弱關聯”,故往往不被提及,教師仍更傾向于教導學生運用熟悉的不等式或轉化為單變量函數予以解決,所謂的“通性通法”實質變為了“思維的牢籠”.

3 以史探今

問題中雙變量函數F(x,y)=x3+y3-5xy的結構特征讓人聯想到一個著名的、優美的代數曲線方程x3+y3-3axy=0(a＞0),該方程由笛卡爾根據一簇花瓣和葉形曲線特征,在1638年首次提出,由此被命名為笛卡爾葉形線.筆者嘗試通過笛卡爾葉形線的歷史典故與圖像性質,使數學悠久的歷史文化和生動的教學現狀相互融合,讓數學競賽解題教學成為一種貫穿過去、現在與將來的數學活動.

相信大家都聽過一個笛卡爾與瑞典公主的有關“心形線”的愛情故事,后據考證,心形線與笛卡爾并無關系.雖然笛卡爾與心形線的故事是個美麗的謊言,但以笛卡爾命名的葉形線卻涉及到解析幾何發展歷史中一個真實趣事.17世紀,在解析幾何創立之初,曲線的切線問題逐漸進入數學家們的視野,笛卡爾與費馬各自設計了一種求切線的方法,但笛卡爾對律師兼議員的業余數學家費馬頗感不屑,認為費馬的方法無法與自己的方法相提并論.于是他用自己研究頗深的葉形線向對方提出了挑戰,要求費馬在任意點找到該曲線的切線,笛卡爾以為費馬會知難而退,但費馬最終用自己的方法解決了笛卡爾的問題,業余數學家戰勝了專業數學家,從此笛卡爾葉形線聞名于世[4].

這個故事發生在這兩位偉大的數學家苦苦構思坐標軸及解析幾何之時,笛卡爾最終也只在正象限中找到了正確的曲線形狀.時至今日,笛卡爾葉形線在代數曲線中仍具有廣泛意義,如圖1,文獻[5] 給出了方程x3+y3-3axy=0(a＞0)的完整圖像,以及曲線的漸進線方程:x+y+a=0[5].

圖1

學生在感到新奇有趣的同時,也頓感疑惑,故事中的笛卡爾葉形線方程x3+y3-5xy=0 與問題中雙變量函數F(x,y)=x3+y3-5xy的最小值之間如何產生聯系呢?

4 技術成像

比起17世紀的笛卡爾,現在的我們通過數學技術軟件,能夠直觀地觀察感知圖像的形態與變化.筆者運用GeoGebra(以下簡稱GGB)軟件,描繪出隨著方程x3+y3-5xy=t中的常數t從0 向逐漸變小時,方程x3+y3-5xy=t所表示曲線的形態變化,通過構建問題的直觀模型,探索解決問題的全新思路.

從圖2 到圖3,隨著t變為負數,笛卡爾葉形線分裂成兩個部分,一部分為一個類似“橢圓”的封閉圖形,另一部分為一條中間“凸起”,兩端逼近漸近線的曲線;從圖3 到圖4,隨著t的逐漸變小,“橢圓”不斷變小,另一條曲線不斷逼近漸近線;從圖4 到圖5,隨著t接近,“橢圓”幾乎消失不見,另一條曲線幾乎與漸近線重合;從圖5 到圖6,隨著t變小至小于,“橢圓”已經消失不見,另一條曲線向漸近線的另一側“凸起”.

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

運用GGB 輔助教學,建立數與形的聯系,促使學生從具體的事物中抽象出一般規律與結構,生成如下猜想:當x3+y3-5xy取到最小值λ時,方程x3+y3-5xy=λ表示的圖像應為一條直線(斜率為-1 且經過第二、三、四象限)和一個點(位于第一象限且橫、縱坐標相等).用數學語言予以表征,即當x3+y3-5xy取到最小值λ時,三次方程x3+y3-5xy-λ=0 可分解成一個表示直線的一次方程和一個表示點的二次方程.

5 探究成果

基于以上猜想,學生首先想到如下分解:設x3+y3-5xy-λ=(x+y+b)[(x-a)2+(y-a)2],但右邊的展開式中含有三次項xy2和x2y,故等式兩邊不可能等價,第一次嘗試以失敗告終.學生繼而將表示點的兩次方程(x-a)2+(y-a)2=0 調整為0,從而有效消除了展開式中的xy2”和“x2y兩項.

解法4設x3+y3-5xy的最小值為λ,則,

利用數學圖形描述、分析數學問題,讓學生感悟到幾何直觀是發現、提出、解決數學問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行數學推理、構建抽象結構的思維基礎.

6 結束語

隨著社會發展與客觀需求的變化,數學教學中總會涌現出各種教學“熱潮”.數學競賽、數學文化、數學軟件都是當下“熱潮”,筆者認為競賽“熱潮”不應趨于功利,文化“熱潮”不應趨于盲目,軟件“熱潮”不應趨于表面.

在本文中,筆者應用數學史與GGB 于數學競賽解題教學中,創新了問題解法,生動了教學過程,確切做到了英國數學史家福弗爾曾提出的幾點教學目標:(1)增加學生的學習動機;(2)改變學生的數學觀;(3)因為知道并非只有他們自己有困難,因而會感到欣慰;(4)使數學不那么可怕;(5)有助于保持對數學的興趣;(6)給予數學以人文的一面;(7)通過古今方法的對比,確立現代方法的價值;(8)為學生提供探究的機會[6],從而促進了學生思維能力、實踐能力和創新意識的發展,增強了學生探索事物規律,從事數學研究的熱情與志向,有利于高中數學拔尖創新人才的培養.