基于推理能力核心素養的初中幾何教學策略研究
——以“線段的垂直平分線的性質”教學為例

廣東省廣州市鐵一中學(510000)于皛婧

數學對于人的發展作用歷來以“促進人的邏輯思維、理性精神”為首,而這一極為重要的作用又基本落實到發展學生的“數學推理”能力的教學上.新課標中明確要求:“推理能力的發展應貫穿在整個數學的學習過程中”,也就是說教師應在數學課堂教學的各種活動過程中和整個數學學習環節中培養學生的推理能力.筆者對如何在幾何教學中培養學生的推理能力核心素養進行了研究,在探究活動、解決問題、變式練習、引導小結等教學過程中尋找有效教學策略,下面以“線段的垂直平分線的性質”教學為例進行闡述.

1 在多樣化的探究活動過程中發展學生的推理能力

“邏輯推理是數學核心素養中的基礎成分”,邏輯推理主要包括兩類:一類是從特殊到一般,即合情推理;一類是從一般到特殊,即演繹推理.一般情況下,提出問題多與合情推理有關,解決問題多與演繹推理有關.“在傳統教學中,對學生推理能力的培養往往被認為就是加強邏輯證明的訓練,主要形式就是通過習題演練以掌握更多的證明技巧”,但新課標中強調:“要在多種形式的數學活動中,發展合情推理與演繹推理的能力”(第三學段),這說明我們初中幾何教學培養學生的推理能力不僅要將合情推理和演繹推理兩種形態有機的結合在一起,還需要開拓出更加有效的、多樣化的活動途徑.建構主義學習理論也認為,學生獲取知識的多少、優劣,并不完全取決于學習者記憶和背誦知識的能力,而是最終取決于學習者根據自身經驗去建構有關知識的能力.因此需要提高課堂探究活動的有效性來幫助學生發展推理能力.

在“線段的垂直平分線的性質”一課中,筆者第一次設計學生習得性質定理的過程為:教師在黑板上畫出線段AB及垂直平分線l,在l上任取一點P,連接PA、PB,通過測量使學生發現PA=PB,并指明點P的任意性,然后教師直接展示垂直平分線性質定理的文字內容,并指導學生根據圖形對定理進行證明,從而習得新規則.這樣設計的主要目的是培養學生的演繹推理能力,但忽視了對合情推理的訓練,而且在實際教學中,學生對教師的一系列指定操作的目的不理解,對性質定理掌握情況不理想.

為了將定理的發現過程揭示給學生,筆者對教材內容進一步加工,再次設計了一系列性質探究活動,將教學設計改為:

先利用油墨通過折疊制作點與點關于軸對稱的圖像,以此復習軸對稱的性質及垂直平分線的定義.然后讓學生在草稿本上任意畫線段AB,再畫出線段AB的垂直平分線l.筆者提問:你是如何畫出l的? 學生回答:先取AB的中點O,過點O畫AB的垂線即為l.筆者順勢引導:既然點O是線段AB的中點,那么點O到點A,B的距離相等.再進一步提出問題:l上是否還存在其它點到點A,B的距離相等? 學生嘗試取點,完善畫圖(如圖1),測量線段長.

圖1

請幾位同學展示畫圖和測量結果后,引導學生猜測這樣的點的個數,得到一般猜想“l上任意一點,都有PA=PB”.筆者借助多媒體,如圖2,讓點P在l上動起來,使學生進一步體會點P在垂直平分線上的任意性和結論PA=PB的不變性.最后請學生利用全等三角形知識嚴格證明猜想.

圖2

第二次設計定理習得的過程可總結為:“動手畫圖——實際測量——猜想結論——可視化演示——邏輯證明”.由垂直平分線l上特殊的點O出發提出問題,引發學生進行合情推理,再經演繹推理證明猜想這一過程,使學生獲得新規則的思路清晰自然,體會到研究幾何性質的基本方法,積累了基本活動經驗.在探究性質的過程中發展了學生的幾何直觀、邏輯推理能力,也滲透了由特殊到一般、數形結合等數學思想.

2 在性質應用的過程中發展學生的推理能力

2.1 通過正反例的辨析明確性質的適用范圍

垂直平分線的性質2 是判斷點是否在垂直平分線上,并不能直接用來判斷某條直線是線段的垂直平分線.因此在學習了性質2 后筆者追問了以下問題,幫助學生理清性質的使用范圍.問題1:“已知線段AB,若PA=3,PB=3,則P在AB的垂直平分線上嗎? ”這是一個正例,目的在于讓學生熟悉定理,簡單運用定理.問題2:“已知線段AB,若PA=3,PB=3,則過P的直線垂直平分AB嗎? ”這是一個反例,過P的直線有無數條,請一位同學舉反例,如下圖3.

圖3

圖4

問題3:“若PA=PB=3,QA=QB=2,則PQ垂直平分AB嗎? ”請學生依題畫圖,嘗試證明,有同學表示是用全等的方法,教師對其給予了肯定,同時又提問是否能簡便一點,有同學回答,可以兩次使用垂直平分線的性質2,判斷P、Q都在線段AB的垂直平分線上,根據兩點確定一條直線的公理,即可說明PQ就是AB的垂直平分線.教師稱贊對這位同學靈活利用性質定理,合理跳過全等證明過程.通過兩種方法的對比,使學生們充分體會到性質運用的優越性.

2.2 在解題活動中通過“說”和“寫”發展學生的推理能力

交流表達是數學核心素養的重要因素,也是核心素養落地的重要途徑.幾何教學中的師生交流,生生交流,都離不開將邏輯思維過程講清楚,因此學生根據所想說明白是發展演繹推理能力必不可少的教學方式.

筆者以教材上的一道課后練習為例題,指導學生如何應用垂直平分線的性質解決問題.如圖5,在ΔABC中,DE是AC的垂直平分線,AE=3,ΔABD的周長為13,求ΔABC的周長.

圖5

設計以下問答環節,使學生通過回答問題理清思路.

問1:本題有幾個條件? 由條件你能聯系到哪些數學信息?

生:三個條件.由垂直平分線想到DA=DC,由AE想到AC=3,ΔABD的周長是AB+BD+AD.

問2:如何表示所求?

生:ΔABC的周長=AB+BC+AC.

問3:如何將條件與所求聯系起來?

生:BC=BD+DC,ΔABC的周長=ΔABD的周長+AC.

問4:解決本題的關鍵是什么? 你有什么體會?

生:垂直平分線的性質可以用來求線段長.

問5:有無其他解法?

生:如果是填空選擇題,可設字母表示線段長,所求的關系會更清楚,算起來更快.

幾何教學中要鼓勵學生用自己的語言說出分析問題的思路和解決問題的大致過程,可以讓學生單獨說、補充說、說不同見解.教師在學生說的過程中,要啟發式的提問,幫助學生尋找解題路徑,對學生的積極思考要給予充分表揚,對學生在說的過程中取得的點滴結論要給予及時肯定,對學生的奇思妙想要給予足夠重視與點撥.長此以往,學生的學習興趣提高了,邏輯思維能力也得到了發展.

學生說明白后,就要落實規范書寫.通常初中學生幾何書寫的規范性主要存在的問題是邏輯混亂.造成邏輯混亂的原因是在利用“三段式”書寫證明過程時,前面的果作為后面的因往往省略不寫,一些初學證明的學生由于不清楚“省略不寫”的內容,導致思維缺乏條理,以至邏輯混亂.因此在進行幾何教學時,應積極滲透一步推理論證的書寫格式,如本節垂直平分線相關的一步推理格式,

垂直平分線的定義:∵PO垂直平分AB,∴AO=BO,PO⊥AB.垂直平分線的性質:∵PO垂直平分AB,∴PA=PB.

圖5-1

從一步推理中能明確定義或定理的條件與結論,復雜幾何題目的解答正是由多個一步推理單元組合而成.對上述例題,在學生說清楚思路、獨立完成解答過程的書寫后,筆者投影學生的書寫過程加以點評,形成規范解答,并框出組成答案的一步推理單元,幫助學生理清楚,寫規范.

解題過程:∵DE是AC的垂直平分線,

∴AC=2AE=2×3=6,DA=DC,

∴CΔABC=AB+BC+AC

=AB+BD+CD+AC

=AB+BD+AD+AC=CΔABD+AC.

∵CΔABD=13,∴CΔABC=13+6=19.

通過讓學生在解決問題的過程中把所想說清楚,把所說寫規范,逐步發展了學生的演繹推理能力.

3 通過變式練習進一步提升學生的邏輯推理能力

《中學數學教學概論》中提到:掌握數學知識的第二階段是數學知識的應用和保持.這一階段的主要載體就是練習.變式練習是一種高效練習,不僅可以使學生鞏固所學的基本知識與基本方法,還能鍛煉學生思維的發散性,提升學生的數學核心素養.

筆者根據例題設計以下變式練習:

變式1如圖6,在ΔABC中,DE是AC的垂直平分線,若∠B=∠BAC=80°,求∠BAD的度數.

圖6

設計意圖垂直平分線的性質除了可以用來求線段長,還可以用來求角度.垂直平分線性質的基本圖是一個等腰三角形,等腰三角形兩底角相等.

變式2如圖7,在ΔABC中,DE是AC的垂直平分線,MN是AB的垂直平分線.

圖7

①若ΔAND的周長為13,求BC的長;

②若∠BAC=150°,求∠NAD的度數.

設計意圖增加垂直平分線的條數,使圖形變復雜.考察學生在復雜圖形中識別基本圖形,靈活應用垂直平分線的性質轉移線段長、找等角的能力.

變式3如圖8,在ΔABC中,DE是AC的垂直平分線,MN是AB的垂直平分線,DE、MN交于點P.

圖8

①判斷點P是否在線段BC的垂直平分線上,并證明;

②連接PB、PC,若∠MPE=70°,求∠BPC的度數.

設計意圖①的解決需要合理添加輔助線,綜合應用垂直平分線的性質與判定.此問的結論說明三角形的三邊垂直平分線交于一點,當三角形為鈍角三角形時,交點落在三角形的外部,為后續學習三角形的外心作鋪墊.②改編自2020年南京市中考第15 題,綜合考察垂直平分線的定義、性質,以及利用多邊形內角和導角等方法,也為后續學習弧、圓心角、圓周角的關系作鋪墊.

變式4如圖9,在ΔABC中,∠BAC的平分線與BC的垂直平分線相交于點D,過點D作DG⊥BC,DE⊥AB交AB的延長線于點E,DF⊥AC.若AB=7,AC=15,求BE的長.

圖9

設計意圖考察角平分線與線段垂直平分線的性質的綜合應用,及利用全等三角形尋找線段之間的關系.

4 通過及時小結提升學生的邏輯思維能力

(1)在探索幾何結論的過程中,學生積累了或多或少的活動經驗,教師應及時小結,幫助學生提升感性認識.例如,在探究活動結束后,除了幫助學生梳理垂直平分線性質定理的條件、結論外,還應將其與角平分線的性質進行比較,引導學生分辨差異,關注共性.

?

(2)在解題活動后,教師要及時幫助學生對解題過程進行總結與反思.例如,在學生初學幾何結論并直接應用解決問題后,要對運用解決幾何結論的步驟進行歸納概括,使學生將陳述性的性質定理轉化為程序性知識.對于有一定復雜程度的變式練習后應引導學生概括解題步驟,總結題目所涉及的基礎知識、數學思想方法,改進解題過程,比較和優化不同的解法,結論能否繼續推廣等.這種在已有解題實踐基礎上進行的及時總結會使學生對解題所涉及的知識、思想和方法的體驗、領悟更加深刻.

(3)在課堂小結時,教師應引導學生思考知識的結構與知識間的聯系,學習用聯系、發展的眼光看數學.

本節背景是學習了全等三角形、軸對稱圖形,軸對稱的特征引發了垂直平分線的定義及性質的形成,全等三角形則為證明性質提供了方法.垂直平分線性質的應用,一方面為證明線段相等提供了新方法,使學生從軸對稱的視角觀察圖形,感受研究圖形性質方法的多樣性;另一方面線段作為最基本的軸對稱圖形,對垂直平分線的研究思路及方法可以遷移到對更復雜的軸對稱圖形特別是等腰三角形的研究中去.

幫助學生梳理本節知識網絡如下圖:

綜上所述,在初中幾何教學中培養學生的推理能力核心素養,就要讓學生充分參與探究過程,掌握數學研究的一般方法,把所想說清楚,把所說寫規范.不僅要將教材內容轉化為適合學生學習的活動和任務,確保推理能力核心素養落實在具體的學習內容上,還要深入理解教學內容,把握知識結構與內在聯系,引導學生用聯系、發展的眼光看數學.