對一道三角形面積最值問題的解法與思考

廣東省中山市中山紀念中學(528454) 李文東

解三角形中的最值與取值范圍問題,在高考中考查形式靈活,是教學中的難點,常常在知識的交匯點處命題,與函數、幾何、不等式等知識結合在一起.我們知道三角形只要滿足三個條件,那么這個三角形就基本唯一確定了,而少于三個條件時,其邊、角、周長和面積就可以變化,從而就有了求這些量的取值范圍問題.這類問題的求解方法主要是充分運用三角形的正余弦定理,結合不等式或函數的知識,必要時運用軌跡的思想,本文針對一道三角形面積的最值問題談談對此類問題的一些思考.

一、試題及其解法分析

題目(2023 屆華大聯盟10月高三聯考數學試題的第16 題)在?ABC中,AC⊥BC,AC=BC,E為線段AC上一點(不與A,C重合),D為BE延長線上一點,AD=2,CD=1,則?ABD面積的最大值是____.

該試題內涵豐富,從知識層面看,主要考查平面圖形的幾何性質、解三角形(正余弦定理)、以及動態圖形中的三角形面積的最值等知識;從能力層面看主要考査運算求解、邏輯推理等方面的能力,突出考查數學運算、邏輯推理等核心素養;試題的思維過程和運算過程體現了能力立意的命題思想,較好地體現了對平面幾何中的解三角形、幾何圖形的性質等核心內容和轉化與化歸、函數思想,數形結合等基本思想方法的考查,是一道具有教學價值的好題.

下面筆者從不同的角度對該題給出解析.

解法1(幾何法)顯然∠ADC為鈍角,如圖1,過點B作BF⊥AD于點F,過點C作CG⊥BF于點G,過點C作CH⊥AD于點H,由于AC⊥BC,故∠CBG=∠ACG=∠CAD,AC=BC,故Rt?BGCRt?AHC,故BG=AH,于是BF=BG+GF=AH+CH=AD+DH+HC=2+DH+HC,而DH2+HC2=CD2=1.由基本不等式得故當且僅當DH=HC時等號成立;從而.

圖1

解法2(軌跡思想)建立如圖2世紀的坐標系,則A(2,0),設C(x0,y0),由于CD=1,故設B(x,y),?ACB為等腰直角三角形,為了方便的得到點B,C的坐標關系,我們采用復數進行旋轉變換的方法,顯然得,代入,化簡得點B的軌跡方程為:x2+(y?2)2=2,顯然

圖2

解法3(函數思想)設AC=x,∠CAD=α,∠ACD=β,則在?ACD中,由余弦定理得.所以所以?ABD的面積

令f′(x)>0,得令f′(x)<0,得所以f(x)在上單調遞增,在上單調遞減,所以

即

解法4(三角函數)設∠ADC=θ,在?ACD中,利用余弦定理可得:AC2=AD2+CD2?2AD·CDcosθ=5?4 cosθ,在?ACD中,利用正弦定理可得:,得于是cos ∠DAC=而?ABD的面積

解法5(廣義托勒密定理)先介紹廣義托勒密定理:

在凸四邊形ABCD中,有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,等號當且僅當A,B,C,D四點共圓時成立.其證明可參考文獻[1].

設AC=BC=x,則由廣義托勒密定理AC·BD≤AB·CD+AD·BC得:于等號當且僅當A,B,C,D四點共圓時成立,上述等號成立的條件是∠ADB=90?和A,B,C,D四點共圓,由∠ACB=90?和A,B,C,D四點共圓知∠ACB=∠ADB=90?,上述兩等號恰好同時成立,于是是而.

點評上述五種解法分別從不同的角度切入,解法1 主要是利用平面幾何的知識與基本不等式,對平面幾何能力要求較高;解法2 根據題中條件,建立恰當的坐標系利用復數的旋轉得到點B的軌跡方程,由于新版教材已經有復數的三角形式,因此對于復數的旋轉學生不難理解,求解顯得十分簡潔,而且該方法便于推廣;解法3 則是引入AC=x,然后將?ABD的面積表示為x的函數,轉化為函數求最值問題,推導和運算都很復雜;解法4 是引入∠ADC=θ作為參數,然后利用正余弦定理將?ABD的面積表示為θ的三角函數,想法和解法3 類似,但是計算要簡單很多;解法5 最簡捷,但是需要用到廣義托勒密定理,而且局限性很大!

二、利用軌跡求解三角形最值問題舉例

對于三角形中的某些最值和范圍問題,若是我們能夠從軌跡的角度去思考,往往能夠起到降低思維,減少運算的效果,下面舉例說明.

例2(2011年高考新課標卷理科第16 題)在?ABC中,B=60?,則AB+2BC的最大值為____.

分析本次常見的解法是利用正弦定理邊化角轉為三角函數或者利用余弦定理結合不等式知識求解,其實利用軌跡思想有下面更直觀的解法.

解在?ABC中利用正弦定理得:2R1,其中R1為?ABC外接圓的半徑,如圖3,延長AB至D,使得BD=2BC,則AB+2BC=AD.在?ACD中,∠CBD=120?,設∠D=θ,由正弦定理得化簡得聯立sin2θ+cos2θ=1,可得于是其中R2為?ACD外接圓的半徑,顯然AB+2BC=AD的最大值為?ACD外接圓的直徑,即為.

圖3

例3在?ABC中,AD為∠BAC的平分線,且BD=2DC,BC=6,求?ABC面積的最大值.

解因為AD為∠BAC的平分線,由角平分線定理得以B為原點,BC所在直線為x軸,建立直角坐標系,則B(6,0),設A(x,y),于是有此即為點A的軌跡方程.于是即?ABC面積的最大值為12.

點評本題中點A的軌跡的背景是阿波羅尼斯圓:設點A,B為兩定點,動點P滿足|PA|=λ|PB|,當λ >0 且1 時,動點P的軌跡為阿波羅尼斯圓.

除了三角形中的動態問題可以考慮用軌跡方法求解,其實對于一些確定性問題也可以利用軌跡思想求解,往往能夠起到意想不到的效果.

例4在?ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且2acosB=2c?b.

(1)求A;

(2)若?ABC內一點P滿足:PB⊥PC,∠APC=120?,且AC=3AB=3,求tan ∠ACP.

解(1)由正弦定理及2acosB=2c?b,得2 sinAcosB=2 sinC?sinB,又A+B+C=180?,所以sinC=sin(A+B),故2 sinAcosB=2 sin(A+B)?sinB=2 sinAcosB+2 cosAsinB?sinB,即2 cosAsinB?sinB=0.又因為sin0,所以又A∈(0?,180?),解得A=60?.

(2)如圖4,以C為原點,AC所在直線為x軸,建立直角坐標系.由題意A(3,0),由∠BPC=90?知點P在以BC為直徑的圓上,其方程為:由AC=3和∠APC=120?,根據正弦定理知點P在以AC為弦且半徑為的圓上,不難求得其方程為:兩圓方程相減得直線PC得方程為:由題意其斜率即為tan ∠ACP的值,故.

圖4

三、拓展練習

作為上述思想和方法的應用,讀者可以嘗試解決以下問題:

1.在平面四邊形ABCD中,AB=1,BC=2,?ACD為等邊三角形,求?BCD面積的最大值.(答案:

2.在平面四邊形ABCD中,AB=1,?ACD為等腰直角三角形,,求BD的最大值.(答案:

3.(2013年高考全國I卷理科第17 題)如圖5,在?ABC中,∠ABC=90?,BC=1,P為?ABC內一點,∠BPC=90?.

圖5