“K形圖 ”的變異空間及教學要點

李賀　朱黎生

摘要：變異理論認為 ，以相似性為基礎的差異性是學習遷移的關鍵。因此 ，教學中 ，要對一個學習對象的各個維度進行多種變異，從而獲得更多的差異對象 ，擴大變異空間 ，進而進行審辯學習。?“K形圖 ”是平面幾何問題中常見的基本圖形 ，可以通過旋轉直角三角形、旋轉直線一側的直角、改變角度大小、改變長度關系、隱藏部分圖形等方式不斷擴大其變異空間。相應的教學要點為 ：感悟變化過程中的數學思維 ，把握 “變中不變 ”的數學本質 ，體會 “學以致用 ”的模型價值。

關鍵詞 ：初中數學 ;變異理論 ;基本圖形 ;K形圖

一、從傳統遷移觀到變異理論

遷移 ，即人們已經獲得的知識、技能、情感、態度等對新的學習產生的影響。遷移是學習的根本目的 ，“舉一反三 ”“學以致用 ”等說的都是遷移。遷移理論歷來是學習 （教育 ）心理學研究的重點。“形式訓練說 ”相“同要素說 ”“共同原則說 ”均被用來解釋遷移。這些學說有一個共同之處 ，即認為遷移是人們因為不同情境或結構間的共同性或相似性而引發的認知影響 ，二者的相同要素越多 ，遷移量越大 ，遷移得越為徹底。[1]

瑞典哥德堡大學教授馬飛龍 （Ference Marton）創立了變異理論 ，挑戰這種強調共同性（相似性 ）的遷移觀。變異理論認為 ，相似性是遷移的一個基石 ，而差異性是遷移的另一個基石。沒有相似性的遷移是不可能發生?的，而沒有差異性的遷移是不可能深刻的 ，二者在遷移中的地位是相同的。假設我們生活在一個純紅色的世界 ，我們就很難認識紅色。正是因為現實世界中顏色的多樣性 ，我們在區分、辨別中才能認識紅色。

（一）相似性

相似性是學習遷移的根源。事物間的相似性有多種表現 ，如情境背景的相似、外在形式的相似、表層結構的相似、深層結構的相似等。“四只球隊踢單循環賽 ”和 “四個人兩兩握手 ”在情境背景上相似 ，因而其解題方法類似。分數與分式在表現形式上相似 ，因而其運算法則可以相互借鑒。正如 20世紀 90年代與國際棋王卡斯帕羅夫兩次對壘的計算機分別被命名為 “深藍 ”與 “更深的藍 ”一樣 ，事物的結構有多個層級 ，可以分為表層結構、深層結構甚至更深層的結構。例如 ，歐氏幾何、射影幾何、非歐幾何在創立之初各有其自身結構。19世紀 ，數學家致力于尋找這些不同幾何學間的內在聯系 ，試圖用統一的觀點解釋它們。1872年，F.克萊因發表了《埃爾朗根綱領》，用變換群的觀點綜合了各種幾何學中的不變量及其空間特征 ，從而統一了各種幾何學。這樣 ，就形成了相較于前者結構的更深層的結構。

（二）差異性

差異性是學習遷移的關鍵。通過對眾多相似實例的觀察 ，可以歸納出共同屬性或相同規律。但這時存在兩個問題 ：第一 ，相似實例既具有相同的本質屬性 ，也具有相同的非本質屬性 ，我們如何將本質屬性從非本質屬性中剝離出來 ？第二 ，在實例中 “一般 ”和“具體 ”是相互糾纏的 ，而數學是拋棄了物質屬性的空間關系與數量形式 ，我們如何對 “一般 ”和“具體 ”進行區分 ？變異理論認為 ，我們可以選擇本質屬性相同但非本質屬性不同的實例 ，且非本質屬性差異越大 ，越容易辨別出本質屬性。學習者接觸這樣的差異實例越多 ，就越有可能排除其差異特征 ，對其本質特征的理解就愈加深刻。例如 ，教學 “異面直線的概念 ”時，可以給出不同的直觀材料 （如圖 1所示 ），可以呈現畫法不同的圖形 （如圖 2所示）。

（三）變異空間

以相似性為基礎的差異性是學習遷移的關鍵。這就啟示我們 ，要對一個學習對象的各個維度進行多種變異 ，從而獲得更多的差異對象 ，進而進行審辯學習 ，即根據對差異對象的體驗和認知 ，從物質的或文化的世界中辨認出、覺察到某個特征 [2]。由此 ，變異的維度和種類決定了可能的學習空間 （意義世界），即變異空間 [3]。變異空間越大 ，差異對象越多 ，通過審辯學習對學習對象的認識就越深刻。

一般來說 ，變異的維度和種類與學習對象本身的屬性和特征有關。總體而言 ，有兩個大方向 ：動態過程上的變異和靜態結果上的變異。前者更關注發展的環節 ，后者更關注結構的要素。當然 ，在具體問題中 ，兩者往往是交織在一起、不容易區分的。在教學中 ，變異空間需要基于學生對學習對象的理解與誤解 ，通過教師課前預設和學生課堂生成而構建。

二、“ K形圖 ”的變異空間及教學要點

平面幾何中的基本圖形簡單、直觀 ，蘊藏豐富的結論 ，有很大的變化空間 （即遷移應用價值 ），因而 ，是重要的數學模型。從復雜的圖形中分解出基本圖形或在隱藏的圖形中構造出基本圖形 ，再運用有關結論 ，是平面幾何解題的重要策略。平面幾何教學應該重視基本圖形的變化。[4]

“K形圖 ”是平面幾何問題中常見的基本圖形。其基本型如圖 3所示 ，相應的條件為 ∠1= ∠2= ∠3=90°且PC =PD，可得到的結論有 △PAC ≌△DBP等。因為 AB、PC、 PD三條線段構成 K字形 ，所以 ，人們習慣上稱此圖形為 “K形圖 ”———因為頂點在線段 AB上的 ∠1、∠2、∠3都是直角 ，所以 ，此圖形也被稱為 “一線三直角 ”。下面嘗試探索 “K形圖 ”的變異空間 ，并給出相應的教學要點。

（一）變異空間

1.旋轉直角三角形

“K形圖 ”是由兩個全等的直角三角形拼成的。以一個直角三角形為標準來看 ，另一個直角三角形旋轉了 90°。由此啟發 ，可將這個直角三角形再旋轉兩次 90°，得到兩個直角三角形。這四個直角三角形可以拼成一個正方形 ，如圖 4所示。這就是畢達哥拉斯用來證明勾股定理的圖形。換個角度看 ，這個圖形也可以通過在正方形各邊上截取相等的線段 ，然后順次連接各截點得到。由此 ，可將 “K形圖 ”附著在正方形這個更為基本的圖形上 ，找到圖形產生的可能源頭。

2.旋轉直線一側的直角

“K形圖 ”也是通過畫一條直線 ，以直線上一點為頂點作一個直角 ，在直角兩邊上找到頂點距離相等的兩點 ，過這兩點分別作直線的垂線得到的。由此啟發 ，可將圖 3中的 ∠3繞點 P旋轉一定的角度 ，使點 C、D在直線 AB的異側，得到圖 5。對這個圖形 ，也作直角三角形的旋轉、拼接的話 ，可以得到如圖 6所示的正方形，即趙爽用來證明勾股定理的圖形 ：“弦圖 ”。這樣 ，“K形圖 ”就由同側型推廣到異側型 ，有助于學生辨別本質屬性與非本質屬性。

3.改變角度大小

“K形圖 ”中有三個直角 ，可以改變它們的大小 ，構造出 “一線三等角 ”的圖形。由此 ，也作三角形的旋轉、拼接的話 ，可能得到其他正多邊形。比如 ，變為 60°，得到圖 7，進而得到如圖 8所示的正三角形 ;變為 108°，得到圖 9，進而得到如圖 10所示的正五邊形。這樣 ， “K形圖 ”就由直角型推廣到銳角型和鈍角型，有助于學生進一步辨別本質屬性 （三個角相等 ）與非本質屬性 （三個角的大小）。

4.改變長度關系

“K形圖 ”中 PC =PD，可以改變這一長度關系 ，構造出 PC、PD不相等的圖形 （如圖11所示 ）———當然 ，也可結合角度大小的改變 ，構造出圖 12、圖 13等圖形。此時 ，可得到的結論變為 △PAC ∽△DBP等。這樣 ， “K形圖 ”就由全等型推廣到相似型 ，有助于學生進一步辨別本質屬性 （角對應相等 ）與非本質屬性 （邊對應相等）。

還可以改變 PC =PD的長度關系 （即AP =BD或 AC =BP的長度關系 ）為AP =BP的長度關系 （P為 AB的中點 ），構造出圖 14所示的圖形 ———當然 ，也可結合角度大小的改變，構造出圖 15、圖16等圖形。此類圖形可稱為 “中點 K形圖 ”。此時 ，結論變為三個三角形相似，即 △PAC ∽△DBP ∽△DPC。這里 ，第三個三角形與前兩個三角形相似的證明稍微有些難度 ，需要用到 “夾角相等 ，兩邊對應成比例”。這樣 ，隨著條件既減又加 ，“K形圖 ”就由 “弱全等 ”型演變到 “強相似 ”型。

5.隱藏部分圖形

“K形圖 ”中蘊含著一個等腰直角三角形，即 △PCD。因此 ，等腰直角三角形甚至 45°的角等 ，都可以看成部分隱藏的 “K形圖 ” （不妨稱為 “45°K形圖 ”）。在解決問題時 ，常常可以由此構造 （補全 ）出“K形圖 ”。

例1如圖 17，已知反比例函數 y= k/x的圖像經過點 A（3，4），在該圖像上找一點 P，使得 ∠POA =45° ，求點 P的坐標。

（二）教學要點

1.感悟變化過程中的數學思維

數學是思維的科學。“ K形圖 ”的變化需要數學思維的引領 ，上述變化過程中確實蘊含著一些基本的數學思維策略 ，比如從整體到局部的元素分析、從角度到長度的基本量思想、從靜態到動態的視角轉換、從特殊到一般的拓展推廣、從顯露到隱藏的想象構造、從簡單 （單一 ）到復雜 （綜合 ）的循序漸進。教學中，教師不能直接告知學生 “K形圖 ”的變化結果 ，而要搭建 “腳手架 ”，引導學生自主探究，想一想可以變什么、怎么變 ，試一試會變成什么 ，從而感悟變化過程中的數學思維 ，培養學習能力。由此 ，教師引導下學生對 “K形圖”變異空間的探索 ，可以不局限于上述過程和結果 ，而走向更深廣的空間 ———特別是 ，可以疊加變化維度 （如從 “同側直角全等型 ”到 “異側銳角相似型 ”等），豐富附加條件 （圖形背景 ），得到更多變化 ，甚至設計出豐富多彩的平面幾何題目。

2.把握 “變中不變 ”的數學本質

數學也是模式的科學。模式就是不變的規律 ，就是本質。“ K形圖 ”的教學中 ，在不斷變化的基礎上 ，教師還要引導學生比較辨析 ，發現其中不變的規律 ，深究規律背后的原因 ： “K形圖 ”無論怎么變 ，不變的是 “三個 180°” （一條直線和兩個三角形 ）的背景以及 “三個 180°中各有一個角相等 ”的條件 ，從而推出三個180°中剩下兩角的和相等 ;其中有公共角 ，進而推出等角 ，推出相似 ……由此 ，促進學生把握數學本質 ，實現深度理解。

3.體會 “學以致用 ”的模型價值

之所以對 “K形圖 ”做豐富的變化和充分的比較 ，是因為它是一種基本圖形 ，在平面幾何問題解決中有著廣泛的應用。教學中 ，教師不能只顧引導學生變化和比較圖形 ，還要設計豐富的習題 ，讓學生學以致用 ，體會模型價值。這里簡單舉兩個例子 ：

1.如圖?19，在 △ABC中，AB =AC，點 D是BC的中點 ，∠EDF = ∠B，試證 ：△BDE ∽△DFE。

2.如圖?20，正方形 ABCD中，點 E在邊 BC上，連接 AE，作 EF ⊥AE，交正方形 ABCD的頂點 C處的外角平分線于點 F，求證：AE =EF。

這里 ，第一題通過等腰三角形背景間接給出了 “中點 K形圖 ”。第二題則通過正方形背景給出了部分隱藏的 “K形圖 ”。

總之 ，在變化中才能發現不變 ，在異相中才能體悟共相。這是教學的基本道理。

參考文獻 ：

[1]陳建翔 .“變異理論 ”對傳統遷移觀的超越及啟發 [J].中國教育學刊 ，2019（1）：31.

[2]F.馬騰 .從變異理論看國際比較中數學教與學的差異 [J].上海教育科研 ，2002 （8）：4.

[3]王艷玲 .小學數學變式教學的研究 [D].長春 ：東北師范大學 ，2008：10.

[4]印睿妍 ，印冬建 .平面幾何教學應重視基本圖形的 “鏈 +”[J].教育研究與評論 （中學教育教學 ），2023（2）：66.