考慮輪胎非線性特性的分段線性化處理

張文靜，張麗萍

（遼寧工業大學 汽車與交通工程學院，遼寧 錦州 121000）

隨著近代工業的快速發展，四輪轉向（Four Wheel Steering, 4WS）汽車的操縱穩定性研究愈發深入。朱亞偉等[1]通過仿真研究發現4WS 汽車相對于前輪轉向汽車提升了汽車的操縱穩定性。張庭芳等[2]針對線控轉向車輛的操縱穩定性問題提出了改進型的滑膜變控制策略，有效提高了汽車的操縱穩定性能。然而，考慮輪胎的非線性特性是極限工況下研究四輪轉向汽車能否發揮其操縱穩定性非常重要的一環[3]。WANG 等[4]通過考慮控制輸入和輪胎非線性，建立了4WS 路徑跟蹤T-S模糊模型，以提高汽車的操縱穩定性。

根據研究經驗，如果用線性控制理論直接處理輪胎模型的非線性表達式是很困難的，并且也很難在車輛上進行應用。因此，本文采用“魔術公式”輪胎模型，從考慮輪胎的側偏特性入手，將輪胎的側偏特性進行了分段線性化處理，獲得擬合后的分段線性輪胎模型公式，通過權函數將兩段輪胎模型公式聯立起來。所得結果通過MATLAB/ Simulink 進行驗證。這樣輪胎的非線性特性問題既得到解決，又減少計算量，使后續研究4WS 汽車的操縱穩定性更加合理。

1 魔術公式輪胎模型建立與分析

1.1 4WS 汽車二自由度動力學模型的建立

研究表明，二自由度動力學模型是研究汽車操縱穩定性的基本模型，其在線性范圍內的精度可以反映大多數日常駕駛條件下車輛操縱穩定性的基本特征，即橫向加速度小、方向盤轉角小以及行駛速度正常等特征。二自由度車輛模型的轉向原理如圖1 所示。

圖1 4WS 汽車二自由度動力學模型

根據圖1 可以列出4WS 汽車二自由度動力學方程：

式中，β為側偏角；m為汽車的質量；Iz為汽車繞z軸的轉動慣量；u為行駛速度；a、b分別為前后軸至質心的水平距離；δ1、δ2分別為前后輪的轉向角；k1、k2分別為前后輪的側偏剛度；Fy為y方向的合力；Mz為z方向上的合力力矩；ωr為橫擺角速度。

為了使后續建模方便，將式（1）整理成狀態方程的形式。其中狀態變量為X=[β ωr]T，輸入向量為U=[δ1δ2]T，系統輸出向量為Y=[βωray]T。假設汽車勻速行駛，狀態方程可表示為

整車相關參考系數如表1 所示。

表1 相關車輛模型參數表

1.2 輪胎側偏特性分析

1.2.1 “魔術公式”輪胎模型

在不同的輪胎模型中，“魔術公式”模型可以用同一個公式來表示輪胎的不同力學性能，具有擬合精度高的優點。圖2 為輪胎受力分析圖。

圖2 輪胎受力分析圖

對輪胎進行受力分析，其中，α為側偏角；Fx為縱向力；Fy為側向力。

輪胎的縱向力和側向力用魔術公式表達為

式中，By為剛度因子；Cy為形狀因子；Dy為峰值因子；Ey為曲率因子；αy為側偏角自變量；α為輪胎偏角；Svy為垂直漂移；Gys為比例因子；Svys為滑動率引起的偏移。

輪胎的側向力學特性曲線可以在MATLAB 中搭建輪胎的側向力學模型得到，所得曲線如圖3所示。

圖3 魔術公式輪胎模型側向力學特性曲線

由圖3 可知，輪胎側向力與側偏角的關系有線性和非線性兩種，且呈線性關系的范圍很窄，基本在-3°～3° 以內。當側偏角小于-3° 或大于3°時，側向力增長的速度逐漸變緩，直到穩定在某一定值上。此時，輪胎的側向力學特性基本不會再改變[5-6]。

1.2.2 魔術公式輪胎模型的分段線性化處理

根據輪胎側向力與側偏角的關系，為了更好地處理輪胎側偏特性曲線，將輪胎側偏特性曲線分為兩段區域，即線性區域和非線性區域[7]，并將區域分界線即為α=3°，如圖4 及表2 所示。

圖4 輪胎側向力特性曲線及分區

表2 側偏特性曲線狀態表

基于“魔術公式”輪胎模型，本文選取出作α∈(3°,10°)為離散數據點。同時車輛處在輪胎側偏角大于10°的情況在實際行駛過程中比較少見，所以忽略側偏角大于10°的非線性區域。輪胎非線性區域的側偏剛度為區域內α∈(3°,10°)計算出的側偏剛度。

對非線性區域的輪胎側偏剛度擬合計算采用最小二乘法。求一組待定系數的值為最小二乘法的目標，故定義為式（4）：

根據最小二乘法的定義，將分區后的輪胎側偏剛度利用MATLAB 進行擬合計算，并得到計算結果，其中在線性區域中擬合后的前軸側偏剛度為k11=-199 80 N/rad，擬合后的后軸側偏剛度為k21=-18 660 N/rad。而在非線性區域中擬合后的前軸側偏剛度為k21=-102 430 N/rad，擬合后的后軸側偏剛度為k22=-81 808 N/rad。

由式（2）可知，汽車系統狀態空間方程的控制結構矩陣均取決于前后軸側偏剛度的值。那么在輪胎的線性區域，此時的側偏剛度等于前后軸在線性區域擬合后的側偏剛度，則此時系統微分方程為

在非輪胎線性區域內，此時的側偏剛度等于非線性區域擬合后的前后軸側偏剛度，則此時系統微分方程為

引入跟隨輪胎側偏角變化的權函數從而將式（5）、式（6）所表述的二自由度車輛動力學模型聯立[3]，定義如下：

式中，ω1為輪胎線性區的權函數；ω2為輪胎非線性區的權函數；兩個權函數可以用圖5 表示。取α1=2°，α1=8°，αt取前后輪胎側偏角平均值。

圖5 權函數隨輪胎側偏角變化的曲線

當輪胎側偏角大于0°時，在輪胎側偏角變化整個區域，輪胎側偏力的表達式可以列為線性區和非線性區的輪胎側偏剛度和權函數之和，即

式中，Fy為輪胎側偏力；αi(i=r, f)為前后輪胎側偏角；αf1為分段線性選取的分界點。將線性區域微分方程和非線性區域微分方程聯立可得

1.3 仿真驗證

為了驗證選取的權函數是否合理，對單胎載荷3 kN、5 kN 和7 kN 的側偏剛度變化曲線與魔術輪胎公式側偏剛度曲線進行對比分析[8]，仿真結果如圖 6—圖8 所示。

圖6 單胎載荷3 kN 的分段線性模型側偏特性與魔術輪胎式模型側偏特性對比曲線

圖7 單胎載荷5 kN 的分段線性模型側偏特性與魔術輪胎式模型側偏特性對比曲線

圖8 單胎載荷7 kN 的分段線性模型側偏特性與魔術輪胎式模型側偏特性對比曲線

從圖上可以看出輪胎側偏角在10°以內，由權函數加權后的側偏剛度曲線與魔術輪胎公式的側偏剛度曲線變化趨勢基本一致，表明對輪胎側偏剛度曲線劃分線性和非線性區域并由此引入權函數進行加權分析是比較合理的。

2 結論

以上針對汽車輪胎車側偏特性的特點，建立分段線性的輪胎模型，由于分段線性輪胎模型與魔術公式輪胎模型非常接近，且分段線性輪胎模型需要的參數卻很少，通過建立分段線性輪胎模型有效降低了輪胎模型的復雜程度，減少了計算量。且汽車輪胎側偏角大于10°的實際行駛情況比較少，即使存在這種情況，在一定程度上也能夠很好地表達輪胎側偏力的變化。因此，該模型的建立更加接近車輛的實際使用情況，在汽車穩定性控制中具有一定的應用價值。