對一幅習題插圖的糾正及延伸思考

姜兵 邵云

摘? ?要：從定性分析、實驗探究、理論證明、函數作圖四個方面，對一道習題的一幅問題插圖進行了討論、糾正，并對大擺角單擺擺線的拉力隨時間的變化情況進行了初步的實驗探究，發現了一些特點和規律。

關鍵詞：擺線拉力；時間；圖像；余弦；擺角

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2023）4-0057-4

筆者在教學中發現一道習題的插圖存在錯誤，下面通過定性分析、DIS實驗探究、理論證明并作圖，對該插圖進行糾正，同時對相關的內容進行適當的延伸分析。

1? ? 問題的緣起及初步的分析

原題 如圖1甲所示，O點為單擺的固定懸點，將力傳感器接在擺球與O點之間。現將擺球拉到A點，釋放擺球，擺球將在豎直平面內A，C兩位置之間來回擺動，其中B點為運動中的最低位置。圖1乙表示細線對擺球的拉力大小F隨時間t的變化曲線，其中t = 0為擺球從A點開始運動的時刻，重力加速度g取10 m/s2。

（1）求單擺的振動周期和擺長；

（2）求擺球的質量；

（3）求擺球運動過程中的最大速度。

這是一道單擺運動規律與力學定律相結合的習題，從題中圖1乙所給出的數據信息即可以解出答案。但是，當筆者解完此題后重新審視圖1乙時卻發現該圖并不正確，曲線應該呈現余弦函數曲線的形狀，而不是圖中的“齒”狀。對此分析，提出以下兩條理由。

1.1? ? 從因果關系來看

經典物理學中一切連續變化系統內的物理量均應該是連續且可以無限求導的，這是由物質分布與時空分布的連續性及因果律所決定的。要出現圖1乙中函數曲線在0.4π s，0.8π s位置其形狀上的尖點現象，勢必需要巨大的外力（比如沖力）參與才行。顯然，圖1甲中單擺質點在其最高點A或C并未受到巨大的外力作用，因此圖1乙中函數曲線的尖點現象是不應該存在的。

1.2? ? 從最高點瞬時速度等于零的特點來看

擺線拉力最小時擺球位于最高點，此時擺球的瞬時速度為零，并且瞬時速度在該零值附近還“維持”了一小段時間。因此，與速度值相關聯的擺線拉力（見下文）也會在此“滯留”一小段時間，即擺線張力在此隨時間的變化率（圖1乙中曲線的斜率）應該為零。

盡管以上理由看起來已經“十分”充分，但筆者仍然覺得有必要進行更加深入細致的研究。

2? ? 實驗探究、理論證明及圖像糾正

2.1? ? 利用實驗探尋真實的圖像

實驗器材 上海中將PASCO向心力擺，配套的力傳感器，支架，配套的數據傳輸處理設備。

實驗操作 將實驗單擺拉離平衡位置4°擺角由靜止釋放，并采集數據；擺角不變，改變擺長及擺球質量重復實驗；處理數據得到圖像如圖2所示。其中，圖2（a）為實驗裝置圖，力傳感器被專用固件固定在工作臺邊沿；圖2（b）是兩種不同擺長的F-t圖像的對比圖，其中曲線I所對應的擺長約為曲線II的4倍。

實驗時，減小采集數據的時間間隔設置，使得實驗數據點分布密集。這樣，盡管沒有用光滑曲線擬合，但從這些“緊挨”著的坐標點已經可以看出：曲線在極值點附近均呈圓弧狀，沒有“尖點”的現象；曲線的形狀確實與余弦函數圖像非常相似，而與圖1乙差別顯著。

2.2? ? 推導F（t）的具體函數以證明圖像

圖2（b）中的圖像到底是不是余弦函數圖像？接下來從理論上推導證明之。

根據原題意，單擺做簡諧運動，如圖3所示。設單擺的擺長為l，最大擺角為θ0，擺球擺至圖示P位置時擺線與豎直方向成θ角，θ0與θ均很小；另設擺球的質量為m，其重力G的分力分別為G1，G2。

由（13）式可見，在小角度擺動的情況下，擺線對擺球的拉力近似隨時間呈余弦規律變化，這就證明了對圖2（b）中曲線形狀的余弦猜想。

2.3? ? 對圖1乙的糾正

根據F（t）的表達式（13）式并應用Excel軟件，即可繪出F-t的正確圖像，以糾正原題圖1乙。顯然，要做到這一點，勢必需要根據圖1乙中的具體數據，先確定擺長l、擺球質量m、最大擺角θ0的具體數值。其求解過程如下：

3? ? 問題的延伸

為了進一步了解單擺在大擺角下拉力隨時間的變化情況，筆者用一質量為0.108 kg、擺長為0.45 m的單擺，分別做了15°，30°，60°，90°4個大擺角下的擺線拉力監測實驗，并繪制出4條相應的拉力隨時間的變化曲線，如圖5所示。從圖5中同一曲線的“波峰”與“波谷”處的等時數據點密度的對比情況大致可見（實驗精度原因），擺角越大，“波峰”相對于“波谷”會顯得越尖銳，F-t圖像會愈加偏離余（正）弦函數圖像，愈加表現出“峰細谷粗”的不對稱性。

從（21）式不難看出，隨著擺角θ0從15°增大至90°，拉力值的變化幅度Fmax-Fmin會越來越大，并且該幅度隨擺角θ0增大得也越來越快（cosθ0的緣故），這就解釋了圖5中15°與30°擺角下拉力幅度Fmax-Fmin變化不大的現象。另外，從圖5中又可見，隨著擺角θ0的增大，大幅度單擺擺動的周期也在增加。對于該現象的解釋，與上文“峰細谷粗”的現象一樣，均需要用到較高端的橢圓積分知識。由于這些與本文的主題不甚相關，因此不予討論，有興趣的讀者不妨嘗試加以研究。

4? ? 結? 語

本文從定性分析、實驗探究、理論證明、函數作圖四個方面，對一幅問題插圖進行了充分的討論和糾正。此外，還對大擺角單擺擺線的拉力F隨時間t的變化情況進行了初步的實驗探究，結果表明：隨著擺角θ0的增大，F-t圖像會逐漸遠離小擺角下的余（正）弦函數圖像，逐漸表現出“峰細谷粗”的形狀特征。

物理學中一切連續系統內的物理量一般均可以無限地求導，這就相當于數學上的解析函數的概念［1］。這也是判斷物理圖像是否真實可靠的慣常依據之一。

數字化信息系統實驗室（DISLab）設備的使用，可以讓我們在不了解物理量的具體函數的情況下，直接獲得真實的物理量及其隨參量的變化圖像。這極大地拓展了我們的物理視野，提升了物理素養。

圖像是最簡潔、最直觀的物理語言之一。盡管圖1乙對于原題的求解并不構成直接的影響，但是其不恰當的圖像仍可能會對一些讀者產生一定的負面影響。因此，圖像的制作是習題編制的一個重要的環節，不能隨意。

參考文獻：

［1］胡嗣柱，倪光炯.數學物理方法（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2002：7-8.

（欄目編輯? ? 蔣小平）