利用Tracker軌跡追蹤探究小球的軌道運(yùn)動(dòng)

邱智宇 肖桂娜

摘? ? 要：小球以不同初速度經(jīng)過(guò)離心軌道圓環(huán)底端后，其在豎直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)情況不同。利用Tracker軟件追蹤并分析了小球在軌道上的運(yùn)動(dòng)軌跡，分別討論了傾斜軌道的高度大于、小于、介于圓環(huán)半徑倍數(shù)時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)情況，并從能量角度驗(yàn)證了動(dòng)能定理，探究了變力做功問題。這一工作也可以用來(lái)分析過(guò)山車的安全性問題。

關(guān)鍵詞：Tracker軌跡追蹤；離心軌道；動(dòng)能定理；變力做功

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? 文章編號(hào)：1003-6148（2023）4-0065-4

過(guò)山車是每一個(gè)大型游樂園的標(biāo)志，其高速旋轉(zhuǎn)與高空倒懸時(shí)的離心力讓游客驚心動(dòng)魄，但這種單環(huán)過(guò)山車的安全系數(shù)卻很高［1］?；匦^(guò)程中，乘客由于離心力穩(wěn)坐在座椅上，涉及到的圓周運(yùn)動(dòng)與牛頓第二定律知識(shí)值得思考［2］，分析物體運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)與能量變化可探究其物理機(jī)制。Tracker是款免費(fèi)視頻分析和建模工具，可以應(yīng)用于物理定量分析［3］。以離心軌道為研究對(duì)象，基于Tracker軟件追蹤小球并探究其在軌道上的不同運(yùn)動(dòng)情況和能量變化規(guī)律。

1? ? 實(shí)驗(yàn)原理

將過(guò)山車軌道簡(jiǎn)化為半徑為R的單環(huán)離心軌道，過(guò)山車視為小球［4］。小球先沿著斜面軌道加速下滑，到達(dá)單環(huán)軌道底部后沖上圓形軌道，其實(shí)物圖和模型圖如圖1、圖2所示。由于小球從不同高度下滑時(shí)獲得的初動(dòng)能不同，所以它在單環(huán)軌道上的運(yùn)動(dòng)情況也不同［5］。

小球在單環(huán)軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)軌道的壓力FN與圓形軌道垂直。所以，只有重力G對(duì)小球做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

2? ? 實(shí)驗(yàn)過(guò)程

2.1? ? 實(shí)驗(yàn)儀器

用iPhone12的延時(shí)攝影功能錄制實(shí)驗(yàn)視頻，參數(shù)為1 080 p/240 fps。離心軌道釋放段傾斜角度θ為37.874°，內(nèi)側(cè)直徑D為0.126 m的單環(huán)圓形軌道，質(zhì)量m為0.081 kg、直徑為0.024 m的小球。

2.2? ? 實(shí)驗(yàn)步驟

將實(shí)驗(yàn)裝置與相機(jī)（iPhone12）支架水平對(duì)齊，在傾斜軌道上設(shè)置好不同的釋放高度。先點(diǎn)擊錄制，然后開始實(shí)驗(yàn)，待小球穩(wěn)定后停止錄制。

將視頻導(dǎo)入Tracker軟件中，選擇合適的片段設(shè)置起始幀與結(jié)束幀，并設(shè)置每一幀的時(shí)間間隔。運(yùn)用定標(biāo)桿設(shè)定視頻中單環(huán)圓形軌道的參數(shù)，使其與實(shí)際大小吻合。選擇合適的起點(diǎn)建立笛卡爾坐標(biāo)系。

建立質(zhì)點(diǎn)A，按住Shift鍵并在小球中心左擊鼠標(biāo)標(biāo)定起點(diǎn)。由于小球表面是能夠反射光的金屬材料，因此Tracker軟件能夠快速識(shí)別小球所在位置進(jìn)行軌跡的自動(dòng)追蹤。追蹤完畢后，軟件能直接顯示小球每一幀的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖4左面板中的小方框所示。軟件能輸出此坐標(biāo)系下小球位置、速度隨時(shí)間的變化（x-t、y-t和v-t），也能計(jì)算出小球的運(yùn)動(dòng)軌道（x-y），如圖4右面板的散點(diǎn)連接線所示。

選定目標(biāo)圖像，右擊鼠標(biāo)選擇“分析”，可直接在Tracker界面中擬合選定的數(shù)據(jù)段并得到函數(shù)解析式。也可以選取圖像中的點(diǎn)，直接讀出小球在該點(diǎn)時(shí)的位置、速度與加速度的數(shù)據(jù)，如圖5所示。

3? ? 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

3.1? ? Tracker軌跡追蹤

實(shí)驗(yàn)中，小球從傾斜軌道上距離水平面3R到0.25R的高度釋放。選擇部分?jǐn)?shù)據(jù)分析，具體表現(xiàn)為以下三種情況：

（1）當(dāng)釋放高度大于2.5R時(shí)，小球可以通過(guò)圓形軌道的頂端，軌跡的擬合方程為圓方程，擬合相關(guān)系數(shù)接近1，表明小球在豎直平面上做圓周運(yùn)動(dòng)，如圖6所示。

（2）當(dāng)釋放高度介于2.5R與R之間時(shí)，小球無(wú)法通過(guò)圓形軌道頂端，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到右端點(diǎn)之上后，會(huì)以一定速度向下射出。圖7為小球拋射后的軌跡圖像，擬合函數(shù)為二次函數(shù)，表明小球脫離圓形軌道后在豎直平面內(nèi)做拋體運(yùn)動(dòng)。

（3）當(dāng)釋放高度低于R時(shí)，小球無(wú)法通過(guò)圓環(huán)軌道的右端點(diǎn)。但小球不會(huì)從軌道上脫落，而是在速度減為0 m/s后沿軌道原路返回，最終停留在軌道最底端。小球在軌道上的運(yùn)動(dòng)軌跡的擬合函數(shù)解析式依然為圓形，如圖8所示。

3.2? ? 小球脫離軌道時(shí)特殊位置討論

當(dāng)釋放高度H介于2.5R與R之間時(shí)，小球因無(wú)法越過(guò)圓形軌道頂端而脫離軌道，做斜拋運(yùn)動(dòng)，且下落后會(huì)與軌道再次發(fā)生碰撞。但當(dāng)釋放高度為1.41R（0.089 m）時(shí)，小球恰好落到圓環(huán)軌道底端。此時(shí)， Tracker軟件可以直接讀取小球在底端與脫離點(diǎn)的速度。軟件中的量角器可測(cè)得小球脫離軌道點(diǎn)和圓心之間的連線與水平方向的夾角，多次測(cè)量取平均值后得到表1中的數(shù)據(jù)。

3.3? ? 從能量角度分析小球在離心軌道上的運(yùn)動(dòng)

當(dāng)小球在單環(huán)圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其高度與速度時(shí)刻在變化。以軌道底端為零勢(shì)能面，由不同位置處小球的高度與速度值計(jì)算出相應(yīng)位置的動(dòng)能與重力勢(shì)能。另外，還能計(jì)算出初、末位置的動(dòng)能差與重力勢(shì)能，結(jié)果如表2所示。

釋放高度范圍為0＜H≤R時(shí)，小球不脫離圓形軌道且運(yùn)動(dòng)到頂端時(shí)速度為0 m/s，取該點(diǎn)記錄其動(dòng)能與重力勢(shì)能；釋放高度范圍為2.5R≤H≤3R時(shí)，小球不脫離軌道，可達(dá)到軌道頂端，記錄小球在頂端時(shí)的動(dòng)能與重力勢(shì)能；釋放高度范圍為R＜H＜2.5R時(shí)，小球運(yùn)動(dòng)到圓形軌道上半圓后以切向初速度做斜拋運(yùn)動(dòng)，取脫離時(shí)刻的動(dòng)能與重力勢(shì)能。由表2的數(shù)據(jù)可以看出，小球動(dòng)能的變化量與重力做功的數(shù)值接近，說(shuō)明小球在圓形軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)克服重力所做的功等于其初、末位置動(dòng)能的變化量。但是，由于小球在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，引起動(dòng)能變化的原因還有摩擦力做功。因此，通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)能量變化的分析，可以得到摩擦力的做功情況。

4? ? 結(jié)? 論

利用Tracker軟件自動(dòng)追蹤離心軌道上從不同高度釋放的小球的軌跡與速度，并討論了單環(huán)圓形軌道上的動(dòng)能定理。這種將現(xiàn)代信息技術(shù)融合到物理教學(xué)中的多元化策略，提高了物理定量實(shí)驗(yàn)研究的精度。由實(shí)驗(yàn)探究可知，過(guò)山車要安全通過(guò)頂點(diǎn)，只要保證小車到達(dá)圓環(huán)底端時(shí)的初速度v0≥即可。例如，上海某游樂場(chǎng)“云霄飛車”的回環(huán)直徑為31.1 m，理論上小車的初始速度達(dá)到99.34 km/h即可安全通過(guò)頂點(diǎn)。而過(guò)山車的實(shí)際運(yùn)行速度為105.6 km/h，確保了過(guò)山車和人能安全通過(guò)頂點(diǎn)。此外，實(shí)驗(yàn)考慮到了小球在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)摩擦力做功（變力做功）的因素，從而啟發(fā)教師在教學(xué)過(guò)程中從能量與位置變化的角度分析變力做功。

參考文獻(xiàn)：

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［5］陳汝冰，陳琳. 淺析豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)［J］.物理教師，2015，36（3）：83-86.

（欄目編輯? ? 賈偉堯）