初中數學概念教學中APOS理論的應用探究

【摘要】APOS理論是關于數學概念學習的理論模型，一般包括實踐與活動階段（ACTION）、過程與經過階段（PROCESS）、對象階段（OBJECT）、圖式階段（SCHEME）.融合APOS理論的初中數學概念教學，需要注意過程靈活性、學生主體性、內容探究性等應用原則，同時在活動、過程、對象、圖式等不同階段靈活采用相應的策略.鑒于此，文章以APOS理論為切入點，簡述了APOS理論應用的原則，重點探討了APOS理論在初中數學概念教學中的應用策略，以期幫助學生更好地理解數學概念.

【關鍵詞】數學概念教學；APOS理論；應用原則；策略

引 言

數學概念是學生“建造數學大廈”的基礎.尤其對于初中階段的學生來說，數學概念更是數學學習的重要內容.初中數學有數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個板塊，其中數與代數、圖形與幾何、統計與概率三個板塊會涉及數學概念的學習.但是數學概念是人類對現實客觀世界在空間形式和數量關系等方面的概括與反映，具有很強的理論性與抽象性，這就造成了數學概念相對來說比較晦澀難學. APOS理論使學生經過思維的實踐、過程、對象、圖式等幾個階段的學習鍛煉后，更能理清問題情境，從而解決問題.在建構主義的理論基礎之上，學生更能夠主動地感知概念形成的動態過程，投入更多的專注力，感知概念和背景之間的相關性，順暢地總結數學概念，從而有效地進行數學概念的學習.

一、APOS理論簡述

APOS理論是以美國人杜賓塞斯為代表的研究團體提出的關于數學概念學習的理論模型.大約在20世紀80年代末，杜賓塞斯團隊就開始了APOS理論的相關研究，并于1991年在《高等數學思維》上面發表了第一篇關于APOS理論的文章，這正式拉開了關于APOS理論的研究.目前為止，國內外都對APOS理論進行了研究.其中，國外學者的研究主要針對理論本身.自1991年杜賓塞斯正式開始APOS理論的研究后，杜賓塞斯和諸多學者先后對其進行了理論補充. 1996年，杜賓塞斯等人又發表了《在大學教育中一種研究和課程發展框架》，并在本科生群體中進行了實驗研究和數據統計分析，使得APOS理論在數學領域的使用更加廣泛，并且在現實中進行了實踐驗證.國內和國外的學者不同，國內的學者更傾向于APOS理論的理解闡釋和教學應用，并不注重理論本身的研究.馬曉丹的《APOS理論探索的反思與超越》就曾闡釋過其對APOS理論的見解，并指出不能把APOS理論的四個階段理解為線性結構，不能把APOS理論簡單地理解為一種代數學習理論.此外，鄭云秀等人在《基于初中數學核心素養的高效課堂教學策略研究》中就嘗試將APOS理論和具體的教學實踐結合起來進行研究.此后，劉穩華等人在2005年嘗試將APOS理論延伸到物理學科的教學上.

綜上所述，國內外學者對APOS的研究都比較重視，都進行了諸多研究，但有關APOS在數學概念的實際教學中的應用原則和應用策略的研究較少，因此還有較大的研究空間.

二、初中數學概念教學中APOS理論的應用原則

（一）教學過程中的靈活性原則

初中數學概念教學過程融合APOS理論需要注意，活動階段、過程階段、對象階段和圖式階段這四個過程是APOS理論必要的組成部分，但它們并不是簡單的線性結構，需要堅持靈活性原則.上文已提到，馬曉丹在《APOS理論探索的反思與超越》中就曾論證了“將APOS理論理解為一種簡單的線性結構是極大的錯誤”，APOS理論的四個階段并不是線性結構，而是可以根據情況進行適當調整和融合的.換言之，因為學生的學情是不一樣的，所以存在對知識的接受能力和自學能力等方面的差異.

比如，初中階段數學概念的板塊就存在很大的區別，“數與代數”板塊側重學生對數理的感知和理解，而“圖形與幾何”板塊明顯側重學生對空間能力的鍛煉.這些差異都說明，死板地把APOS理論的四個階段進行線性理解是無法應對這些千變萬化的教學實踐的，會嚴重影響APOS理論在數學概念教學中的應用效果，甚至可能會產生適得其反的結果，而靈活的教學過程使得融入了APOS理論的數學概念教學更加符合實踐需要，因此教師在教學過程中可以對四個階段進行適當取舍和重復，保證教學能夠根據不一樣的學情和教學內容更具有針對性，從而最大限度地發揮APOS理論的作用.

（二）教學實施時的學生主體性原則

APOS理論的實質就是充分發揮學生的主動性，讓學生動起來，主動地融入課堂，積極參與教學活動，這體現了“學生主體性”的教學原則.所謂“學生主體性”原則，簡單來說就是課堂應以學生為主體，教師只是引導者，這樣的教學理念也被稱為“學生本位思想”.受到建構主義思想的影響，APOS理論認為學生是學習活動的主要建構者，能夠通過外界的各種活動形式，尤其是經過專門設計的教學活動形成自己獨特的思維結構，也就是學生自己形成對知識的獨特理解，搭建自己的知識架構.因此，“學生主體性”原則要求教師積極改變傳統的“教師一言堂”教學模式，改變“灌輸”“單一的講述”等教學形式，采取體現學生主體性且生動有趣的教學活動和教學環節，激發學生的探索欲望，把知識的被動接受改為學生的主動學習，使學生真正成為課堂的“主人”.

教師應根據學生的學情，精心進行教學設計，在教學設計中體現學生的主體性，巧妙安排教學環節.首先，課堂開端的教學環節要稍微簡單且有趣，讓學生感受到成就感和趣味感，勾起學生學習的動力和欲望，為后續的教學環節做鋪墊.然后，教師在后面的教學環節中要有由淺入深的難度安排，為學生留下思考和交流的空間，爭取讓每一名學生都能夠親身體驗到參與課堂活動的樂趣.當然，教師要把握好“引導”的程度，把握好“引導”的力度和時機，這樣才能帶動整個課堂的節奏與氛圍.

（三）教學內容的探究性原則

不管是教學活動，還是教學過程，對學生來說都應有一定的探究性.探究性原則應體現在教學內容的探究性和教學過程的探究性.就教學內容來說，課堂教學所涉及的數學概念知識應深入其本質，不能只停留在教材表面，也不能一味地為了融合APOS理論而丟棄數學概念原有的深度.就教學過程來說，探究性體現在教學活動由淺入深的過程.一般在課堂教學的開始階段，教師應注重趣味性，以便學生能夠獲得學習的成就感.但是，教學過程決不能只停留在這樣的簡易階段，而是應該向難度更高、內涵更深的層次靠近.教師應在循序漸進的教學過程中，引導學生進行知識探索，由被動學習向主動學習轉變.

三、初中數學概念教學中APOS理論的應用策略

APOS理論的應用策略可以圍繞活動、過程、對象、圖式四個階段來思考.各個階段因為側重的角度不一樣，所以采取的策略也會有很大的區別.

（一）活動階段

活動階段是數學概念教學融合APOS理論的基礎階段，主要任務是為后面幾個階段做鋪墊.在該階段，教師應該基于學情分析，創設活動情境以引入新的概念，并結合班級的整體情況，選擇恰當的活動形式，逐步培養學生的學習興趣.

1.創設活動情境

創設活動情境是活動階段的重要策略.貼合生活和符合學生學習認知的情境有益于激發學生的生活經驗，拉近學生與課堂的關系，初步激發學生的學習興趣.在這一階段，教師需要創設好情境，既不宜脫離學生的生活經驗，又不宜超出學生的認知水平.同時，教師要運用視頻和圖片等多種形式，多角度地創設活動情境.

比如，在進行“平面直角坐標系”的數學概念教學時，教師可以通過播放關于“建黨一百周年”的視頻創設情境.視頻中有排列整齊的、人山人海的景象，而這個動態的景象和“平面直角坐標系”有著很強的聯系，即景象中關于人群方陣的行列、位置的確定等都是和平面直角坐標系的位置相通的.同時，此次情境導入的對象是學生易于理解的簡單視頻.在播放視頻后，學生已經在頭腦中形成了有關“位置確定”“行與列”等方面的意識.在此基礎上，教師引導學生把注意力轉移到課堂上，拋出“如何在教室中確定課桌的位置”這一問題，從而引出“有序數對”的相關概念.

2.構建活動形式

活動形式是建立在情境創設的基礎上的.活動形式的選擇直接影響著情境創設的效果.活動形式有很多，關鍵是教師要根據學生的接受能力、班級的整體狀況等具體條件來進行選擇.比如，在上面提到的“平面直角坐標系”的概念教學中，學生對視頻的導入有著極大的好感，同時視頻具有直觀、有趣等特點，因此教師選擇了視頻導入的活動形式.再如，學生對教室是比較熟悉的，因此教師選擇利用教室中課桌的位置確定來創設“有序數對”的概念情境.

（二）過程階段

過程階段是為了幫助學生在經歷親身體驗和探索后，對所要學習的數學概念形成初步的印象.教師需要在這個階段引導學生進行自主概括，抽象出相關數學概念的定義，并形成初步理解.

1.深化活動內容

活動階段之后，學生已經初步接觸了將要學習的概念，此時就要承接過程階段，為學生形成初步的數學概念進行過渡.教師引導學生交流合作、歸納總結，深化活動內容，加強學生對情境導入對象的特征認識和概念感知.

我們同樣以“平面直角坐標系”的教學實踐說明深化活動內容的應用策略.在觀看視頻和討論教室課桌位置的問題后，教學內容逐步從具體到抽象，教師可向學生拋出曾經學習過的“數軸”的抽象知識.學生已經學習過如何在數軸上確立一個點A的坐標，因此教師可在此基礎上拋出問題：如何確定不在數軸上的點D的坐標.學生分組合作，交流討論，小組輪流發言.在討論過后，教學過程承接情境導入，教師聯系數軸和關于點D的位置確定，引導學生實現“位置確定”從“一維”到“二維”的認知發展，深化對“位置確定”的討論.

2.初步形成概念

深化活動內容后，學生對相關數學概念的初步認識已基本形成.雖然學生形成了數學概念，但是整個教學行為并沒有結束.比如，在實現“從一維到二維”的概念認識之后，教師還要繼續引導學生感受數學的邏輯之美和抽象之美，組織學生進行必要的概念表述活動.

（三）對象階段

對象階段的重點在于所要學習的概念，這一階段是在初步理解數學概念后，進行完整消化的過程.

1.細化概念理解

大多數的數學概念都是抽象的，因此學生對概念的理解存在偏差.在這種情況下，教師應該借助分析辨別、變化探討、逐步探究等環節，引導學生將其理解的數學概念進行深化，從而充分掌握數學概念.

2.鞏固概念生成

細化概念理解本身就是為了鞏固學生生成的數學概念，因此教師應積極組織各種探究活動.比如，在學生形成關于“平面直角坐標系”的初步概念后，教師可以安排其他點的坐標探究.

在平面直角坐標系XOY中，存在C，D，E，F四個點，分別處于坐標系的第一、二、三、四象限中，存在G，H兩個點，分別處于X軸、Y軸上.

A.原點O的坐標是什么？

B.X軸上的G點和Y軸上的H點各有什么特點？

C.各個象限內的點的橫、縱坐標有什么特征？

教師將學生分成幾個小組，討論學習后，各小組選出代表發言，發表小組探究學習的結果.

學生在經歷了本次探究后，對平面直角坐標系的特征、構成、作用等認識都能得到強化，對平面直角坐標系的概念認識也得到了極大的鞏固.

（四）圖式階段

一般來說，圖式階段是數學概念教學融合APOS理論的最后階段，其主要作用是幫助學生完成對相關數學概念的綜合理解，令其在“知其然”的基礎上“知其所以然”.教師在這一過程中要積極發揮學生的主動性，幫助其自主構建知識結構網.

1.分組合作歸納

分組合作歸納承接小組合作探究活動，但是其側重點不同，其所涉及的范圍也更加廣，主要任務是幫助學生回顧整個概念學習的過程，疏通各個階段之間的聯系，增強學生對所學概念的整體感知和綜合把握.

2.完善知識結構

最后，教師應該幫助學生進行知識結構的把握，完成思維導圖.比如，教師引導學生在“平面直角坐標系”的學習中完成以下知識結構圖解（如圖1）.

結 語

總體來說，APOS理論在初中數學概念教學中有著很大的優勢，但是教師在教學過程中要注意四個階段的靈活安排，堅持“學生本位思想”.同時，教學內容和教學過程需要具備探究性.在應用策略方面，活動階段注重情境創設，應靈活選擇活動形式；過程階段側重活動內容，幫助學生初步形成概念；對象階段重點鞏固所學概念；圖式階段梳理教學過程，完成知識結構的搭建.

【參考文獻】

[1]馬曉丹.APOS理論探索的反思與超越[J].數學與管理，2020（33）：74-77.

[2]鄭秀云.APOS理論指導下的高中數學概念教學[D].福州：福建師范大學，2003.

[3]蔣大清.科學課程教學中學生科學思維能力培養探索[J].成才之路，2022（2）：73-75.