基于一題一課的初中數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課實(shí)踐與思考

*本文系江蘇省泰州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃課題“初中數(shù)學(xué)解題中學(xué)生堅(jiān)毅品質(zhì)養(yǎng)成教育實(shí)踐研究”（tjkzxyb2022139）階段性研究成果。

【摘 要】教師在初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中可由一題出發(fā)，展開(kāi)關(guān)聯(lián)復(fù)習(xí)教學(xué)，挖掘試題教育價(jià)值，引導(dǎo)學(xué)生理解知識(shí)，關(guān)聯(lián)成網(wǎng)；學(xué)會(huì)思考，進(jìn)階思維；變式創(chuàng)新，培養(yǎng)堅(jiān)毅品質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；一題一課；思維進(jìn)階；堅(jiān)毅品質(zhì)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6" 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A" 【文章編號(hào)】1005-6009（2023）50-0056-03

【作者簡(jiǎn)介】李齊榮，江蘇省泰州市姜堰區(qū)克強(qiáng)學(xué)校（江蘇泰州，225502）校長(zhǎng)，高級(jí)教師。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“新課標(biāo)”）在“教學(xué)建議”中提出要“整體把握教學(xué)內(nèi)容”，強(qiáng)調(diào)要“引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)”。初中數(shù)學(xué)幾何部分知識(shí)點(diǎn)多而繁瑣，內(nèi)容呈現(xiàn)碎片化，教師要有意通過(guò)合適的主題，整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用整體的、聯(lián)系的、結(jié)構(gòu)化的眼光看問(wèn)題。下面筆者嘗試以“一題一點(diǎn)”為切入口，引導(dǎo)學(xué)生向外拓展，關(guān)聯(lián)知識(shí)，主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系，在問(wèn)題解決中實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階，培養(yǎng)堅(jiān)毅品質(zhì)。

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點(diǎn)。

（1）求證：DE∥BC，DE = [12]BC。下面是某學(xué)習(xí)小組探究證明思路時(shí)發(fā)現(xiàn)的三種添加輔助線的方法，請(qǐng)選擇其中一種，完成證明。方法1：延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF=DE，連接CF；方法2：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于F；方法3：過(guò)E作EF∥AB交BC于F，過(guò)A作AG∥BC交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。

（2）如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作△ABC的角平分線BP。（要求：直尺和圓規(guī)分別只使用一次，并保留作圖痕跡）

本題源于課本，又適度變化、高于課本，以三角形中位線為載體，結(jié)合平行四邊形、全等三角形、等腰三角形、尺規(guī)作圖等知識(shí)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)考查，構(gòu)思新穎、形式開(kāi)放，能有效考查學(xué)生的理解能力、探究能力。

二、教學(xué)實(shí)踐

1.重溫試題，一題多解，關(guān)聯(lián)知識(shí)成網(wǎng)

新課標(biāo)對(duì)中位線定理的要求為“探索并證明三角形的中位線定理”。第一小問(wèn)給出了三種證明思路讓學(xué)生自主選擇一種完成證明。因此，筆者在教學(xué)過(guò)程中從引導(dǎo)學(xué)生思考三角形中位線的判定方法（主要依據(jù)是定義），到引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用多種方法證明三角形的中位線定理，帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)。

首先，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生在三種證明方法的基礎(chǔ)上，應(yīng)用構(gòu)造平行四邊形法，思考其他證明方法。方法1、方法2，圖相同，但輔助線論述不同，如圖2；方法3，如圖3。再如，若過(guò)D作DF∥AC交BC于F，過(guò)A作AG∥BC交FD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，與圖3作圖不同，但證明思路和應(yīng)用原理相同。構(gòu)造平行四邊形、矩形證明本題的證法還有很多種，這里筆者不一一列舉。這樣就自然地由中位線關(guān)聯(lián)到了平行、平行四邊形、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)的概念、性質(zhì)、判定及其應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)復(fù)習(xí)。這些方法的探索與呈現(xiàn)，能有效地將相關(guān)知識(shí)串成線、連成網(wǎng)。

lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學(xué)12期＼Image＼image3.pnggt;lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學(xué)12期＼Image＼image4.pnggt; lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學(xué)12期＼Image＼image3.pnggt;lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學(xué)12期＼Image＼image4.pnggt;

（圖2）" " " " " " " " " " " " "（圖3）

筆者還在等腰三角形情境中，引導(dǎo)學(xué)生思考這個(gè)問(wèn)題。如圖4，作BC邊上的高AH構(gòu)造兩個(gè)直角三角形，這樣又可以用等腰三角形及直角三角形斜邊上中線等知識(shí)來(lái)證明。

在新情境中換角度再思考，有助于幫助學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)由單點(diǎn)結(jié)構(gòu)向多點(diǎn)結(jié)構(gòu)、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)延伸，形成知識(shí)體系。上述教學(xué)中，筆者以三角形中位線為中心，向外拓展，除可關(guān)聯(lián)以上內(nèi)容外，還可以關(guān)聯(lián)全等、平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等知識(shí)點(diǎn)。如此，在教學(xué)過(guò)程中教師引領(lǐng)學(xué)生構(gòu)建起知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)網(wǎng)絡(luò)。

2.理解試題，拓展應(yīng)用，引導(dǎo)平時(shí)教學(xué)

本題的第二小問(wèn)是作圖題，是平行線與角平分線的綜合，模型較常見(jiàn)，學(xué)生有思路，但仍有部分學(xué)生沒(méi)有得到全分，究其根源是學(xué)生對(duì)題意理解不到位。因此，筆者首先對(duì)怎樣操作叫“用一次圓規(guī)”，怎樣操作叫“用一次直尺”，逐一引導(dǎo)學(xué)生操作、理解、感悟。這要求教師在教學(xué)過(guò)程中要注重細(xì)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注細(xì)節(jié)，理解知識(shí)點(diǎn)的本質(zhì)，讓理解真正成為思維過(guò)程。

筆者認(rèn)為，本題第二問(wèn)的設(shè)計(jì)只是與中位線平行于第三邊這個(gè)性質(zhì)關(guān)聯(lián)，還不夠“完美”。筆者思考改進(jìn)后設(shè)計(jì)如下：

如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC中點(diǎn)，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出中位線DE的中點(diǎn)P。（要求：直尺和圓規(guī)分別只使用一次，并保留作圖痕跡）

【設(shè)計(jì)意圖】改進(jìn)后的題目真正應(yīng)用到中位線的“平行且等于第三邊的一半”性質(zhì)。

三角形中位線廣泛應(yīng)用于計(jì)算、證明之中，作圖應(yīng)用較少，故筆者在教學(xué)過(guò)程中又增加如下變式訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階。

應(yīng)用變式訓(xùn)練1：如下頁(yè)圖5，在△ABC中，ACgt;AB，AD平分∠BAC，E是邊BC中點(diǎn)，在AD上取一點(diǎn)F，能使得EF = [12]（AC-AB）。請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)F。（要求：直尺和圓規(guī)分別只使用一次，并保留作圖痕跡）

【設(shè)計(jì)意圖】題中只有一中點(diǎn)，沒(méi)有連成中線，又出現(xiàn)了[12]，這提示學(xué)生思考中位線的應(yīng)用，F(xiàn)點(diǎn)應(yīng)為某線段中點(diǎn)，從而畫(huà)出“效果圖”：用圓規(guī)以A點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)為半徑在AC上取一點(diǎn)M，連接BM交AD于F點(diǎn)，點(diǎn)F即為所求。

應(yīng)用變式訓(xùn)練2：如圖6，在△ABC中，ACgt;AB，E是邊BC的中點(diǎn)，在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)F，使得EF = [12]（AC - AB）。請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)F可能位置。（保留作圖痕跡）

lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學(xué)12期＼Image＼image11.pnggt;lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學(xué)12期＼Image＼image12.pnggt; lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學(xué)12期＼Image＼image11.pnggt;lt;F：＼江蘇教育定稿文件＼中學(xué)12期＼Image＼image12.pnggt;[（圖5）][（圖6）]

【設(shè)計(jì)意圖】變式2將變式1條件簡(jiǎn)化，進(jìn)一步考查基本作圖方法。本題F點(diǎn)位置不唯一，難度明顯增大。許多學(xué)生受變式1的思維限制，只找到一個(gè)點(diǎn)，就認(rèn)為完成了。本題作法較多，可關(guān)聯(lián)平行線作法、圓等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

三、教學(xué)反思

1.挖掘價(jià)值，關(guān)聯(lián)成網(wǎng)

上述教學(xué)借助一道基礎(chǔ)試題，從試題中提出的三種定理證明方法出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主思考探究更多證明方法。在證明過(guò)程中發(fā)現(xiàn)其關(guān)聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，由點(diǎn)及面，構(gòu)建知識(shí)體系。因此，教師要在日常的教學(xué)過(guò)程中應(yīng)適時(shí)地回顧知識(shí)點(diǎn)，將各知識(shí)點(diǎn)關(guān)聯(lián)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，讓知識(shí)點(diǎn)間的相互遷移更順暢，讓知識(shí)理解更深刻，讓思維進(jìn)階更自然。

2.學(xué)會(huì)思考，進(jìn)階思維

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的角度去預(yù)設(shè)思考。本題教學(xué)過(guò)程中，在學(xué)生沒(méi)有思路的情況下，教師通過(guò)提示“可否應(yīng)用相似來(lái)證明”“可否用反證法證明”，引導(dǎo)學(xué)生思考。學(xué)生分享后教師又可追問(wèn)“你是如何想到的”，讓其展現(xiàn)思考的全過(guò)程，從而給其他學(xué)生啟發(fā)，引發(fā)學(xué)生的思維碰撞，實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維進(jìn)階。

3.變式創(chuàng)新，培養(yǎng)品質(zhì)

美國(guó)數(shù)學(xué)家喬治·波利亞說(shuō)過(guò)“沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過(guò)充分研究和洞察后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無(wú)論如何，我們總可以深化對(duì)答案的理解?！痹谡n堂教學(xué)中，教師要擅長(zhǎng)把試題作為教學(xué)資源，作為學(xué)生理解知識(shí)、學(xué)會(huì)解題、思維進(jìn)階的平臺(tái)，這是教學(xué)應(yīng)然的價(jià)值追求。這道題評(píng)講結(jié)束后，教師進(jìn)行了改編和變式訓(xùn)練，這有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的堅(jiān)毅品質(zhì)，啟迪學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造思維。

【參考文獻(xiàn)】

［1］邱志剛.一題一課，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)思維復(fù)習(xí)課——以“二次函數(shù)”復(fù)習(xí)課為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2023（11）：36-38.

［2］李建華，胡軍.基于數(shù)學(xué)高階思維培養(yǎng)的中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)課架構(gòu)——以“相似三角形”專(zhuān)題復(fù)習(xí)課為例［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（6）：42-48.

［3］騰好波.開(kāi)展“一題一課” 提升復(fù)習(xí)質(zhì)量——以一道中考?jí)狠S題為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（18）：31-33.

特約編輯：孫士海 見(jiàn)習(xí)編輯：王一民