基于GeoGebra的中職數學教學探究

一、引言

在信息技術高速發展的時代，信息化教學能力已經成為現代教師的必備教學技能和基本素養，信息化教學已經成為教學改革的戰略支撐。

中職學生大都是普通高中的落榜者，部分學生數學基礎較差，對數學存在厭學或者焦慮的情緒。因此，以信息技術為著力點，激發學生數學學習興趣，支持和助力中職數學課堂教學改革，對提高中職數學課堂教學質量具有重要的意義。

二、動態數學軟件GeoGebra簡介

GeoGebra是一款免費開源的動態數學軟件，它是由美國佛羅里達州亞特蘭大學的數學教授Markus Hohenwarter于2001年開發的，GeoGebra一名稱由Geometry（幾何）和Algebra（代數）兩個詞合成，意為數形結合，能讓幾何與代數進行有機結合，進行一場美麗的邂逅。但是，GeoGebra已經不只局限于代數與幾何，在統計、微積分或者邏輯運算等方面也有不俗的表現。

近年來，GeoGebra逐漸走進我國中小學數學課堂教學中，國內學者、教師對其應用研究也如雨后春筍般層出不窮，引起數學教學模式的重大變革。并且，隨著對GeoGebra研究的不斷深入以及逐步推廣，GeoGebra以其強大的功能、獨特的優勢，大有全面取代傳統的數學軟件幾何畫板、超級畫板等工具，一統數學教學軟件江湖之勢。

三、GeoGebra在中職數學教學中的應用策略

近年來，我校數學教研組積極擁抱信息化教學，以動態數學軟件GeoGebra為抓手，將信息技術GeoGebra與中職數學課程深度融合，有效實施中職數學課程的信息化教學，促進學生的深度學習，提高學生的數學核心素養，取得了良好的教學效果。

（一）創設情境，激發數學學習興趣

當前，中職學生普遍對數學學習缺乏興趣，表現在對數學學習缺乏需要、存在焦慮以及期望值過低等。激發學生的數學學習興趣，養成良好的數學學習習慣，在中職數學教學中顯得尤為重要。

高度的抽象化、形式化的數學知識本身大都是冰冷的，所以激發學生的學習興趣，一般落在教學中創設情境環節。創設情境，可讓數學知識生活化，更加貼近學生，可以充分調動學生的情感，以內在的情感需要激發學生的學習興趣。

案例1：圓錐曲線的方程

在“圓錐曲線的方程”一章的單元導學中，教師創設情境，引入新課。首先，播放天體運行軌道（橢圓）的視頻，展示發電廠冷卻塔（其外形線為雙曲線）的照片，展示投籃時籃球在空中的運動軌跡（拋物線）等照片。通過相關視頻或圖片，讓學生深刻感受到圓錐曲線與人類社會生活有著密切的關系。接著，簡述圓錐曲線的由來。早在古希臘，人們就發現了用一個平面去截圓錐，可以得到不同的截口曲線，我們將這些曲線統稱為圓錐曲線。最后，以動態數學軟件GeoGebra來展示平面去截圓錐得到不同的圓錐曲線的過程，如圖1所示。

在本節課程創設的情境中，很多教師或許可以完成前兩步，對平面截圓錐呈現的是靜態的截圖，在一定程度上也激發了學生的學習興趣。但是，若想更加充分調動學生的積極性，通過軟件GeoGebra可以實現。在GeoGebra環境下，可以動態展示讓平面從不同角度截取圓錐的過程，讓學生經歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線和雙曲線的過程，幫助學生了解知識體系的形成。特別是GeoGebra具有3D可旋轉功能，可以讓學生通過旋轉選取不同角度進行深入觀察，如圖2所示，以充分激發學生的數學學習興趣，充分調動學生的課堂參與積極性，培養學生的幾何直觀核心素養。

（二）聯系表征，促進數學概念理解

數學概念是人類對現實生活中的數量關系或空間現實等方面進行抽象、概括成的具有本質屬性的對象，是數學教學的基本內容。表征，是信息在人們心理活動中的表現和記載方式。對數學概念的表征，因數學概念的抽象性，單一表征往往難以揭示數學的本質屬性，所以，一般數學概念的表征都呈現出多元性，需從不同的角度在不同的表征方式中相互轉換，凸顯多元表征聯系的優勢，為學生揭示數學概念的形成過程，理解數學概念的本質，以促進數學概念的理解。

動態數學軟件GeoGebra因其出色的數形結合功能，能實現數學概念中的數量關系和空間形式的表征聯系，利用數學概念表征的多元化形式，完善學生的認知結構，促進學生的深度學習。

案例2：圓的概念

對圓的概念，學生應該都不會感到陌生，在小學、初中都有學習過。在小學人教版《數學》教材中，并沒有介紹圓的定義，而是由生活中的花圈、輪胎等圓形的物體中抽象出圓，像這樣子的圖形是圓的圖形表征形式。 在初中人教版《數學》教材中，是根據繩子或圓規畫圓，從圓的生成過程而抽象出圓的概念：在一個平面內，線段OA繞著它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓，這是圓的動作表征形式。 而在高中（中職）課本中，是從集合的角度抽象出圓的概念：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫作圓，這是圓的符號表征形式。這三種圓的概念的表征形式，按各學段學生的認知水平以及特點，按數學抽象的水平，層層深入，在核心素養的層次水平上要求有所不同。

在教學中，教師可借助動態數學軟件GeoGebra開展數學探究，實現對圓的不同表征方式的多元呈現，讓學生經歷圓的概念不同表征之間的轉換，幫助學生抓住圓的概念的關鍵屬性，體會圓的概念的本質。如圖3，通過拉動滑竿上的點，可以改變圓的半徑。通過拉動B點，既可得到類似圓規作圖——B點繞著O點旋轉一周生成圓的動作表征形式，也可得到點動成線——圓的集合表示符號表征形式。如圖4，通過拖動滑竿上的點，可以讓學生清晰地看到，當正多邊形的邊數越來越多時，正多邊形就越來越接近圓，滲透用極限的知識去理解圓的內涵。

（三）自主探究，體驗數學知識生成

學生數學核心素養的形成，主要是學生自己“悟”出來、“看”出來的。會“悟”會“看”的數學教育是一種經驗的積累，包括思維的經驗和實踐的經驗，需要學生自己的思考和實踐。因此，在教學中，教師要根據數學學科特點、學生認知規律和專業特點，創設讓學生積極主動參與的課堂情境，提供讓學生自主探究、動手實踐的學習方式，引導學生積極地思考，正確地思維和實踐，經歷數學知識和數學技能的生成過程，感悟蘊含其中的數學思想與方法，以有效地培育他們的數學核心素養。

案例3：球的體積公式

當前，各個版本的中職《數學》教材對球的體積公式V球=43πR3，幾乎都不加以分析證明，而是直接給出。這種只是讓學生進行單純的記憶和模仿，不是有效的數學學習方式。而在高中各個版本的《數學》教材中，盡管對球的體積公式都給出了相關證明，但其證明過程因邏輯推理過于嚴密，運算過于繁雜，還是讓一些數學基礎差的學生望而生畏。

動態數學軟件GeoGebra可以根據學生的認知規律，設計一些低起點、重銜接、小梯度的信息化教學資源，讓學生主動參與探究，明確球的體積公式的推理證明。如圖5，將等底等高的圓錐、半球和圓柱擺在一起，讓學生觀察、思考、猜想半球體積的大小。學生已經有了圓錐和圓柱的體積公式基礎，再加上比較幾何直觀的對比，大部分學生都容易猜想出V半球=23πR3。

猜想的下一步是驗證。傳統的驗證方法是——“倒沙實驗”，將空心圓錐和半球中的沙子先后倒進空心圓柱中，沙子剛好倒滿，得證。但大多數學校都沒有相關的實物教具，導致實驗難以進行。在這里，可以以動態數學軟件GeoGebra設計信息化教學資源進行模擬實驗。在圖5的三個幾何體中，以半徑R=3為例，將圓柱挖空一個倒立圓錐，與一個半球置于同一平面，然后用一個平行于底面的平面去截兩個幾何體，分別得到兩個陰影截面，如圖6。然后，學生可以進行自主探究、合作體驗、發現驗證等。學生拖動上方滑動條上的點，可以改變截面的上下位置，而不管位置怎么變化，兩個截面的面積保持相等，由祖暅原理得知，兩個幾何體的體積相等。特別是，將截面從底部起快速拖動至頂部的時候，由面動成體，可以更加直觀地得到兩個幾何體的體積相等，從而得出等量關系V半球+V圓錐=V圓柱，從而V半球=V圓柱-V圓錐=πR3-13πR3=23πR3，進而得出了V球=43πR3的結論。

基于信息技術GeoGebra的數學實驗，更加適合為學生提供探究性學習的情境，可充分調動學生數學學習的積極性，讓數學基礎差的學生在實驗中也可以清晰地看到數學思維的形成過程，化解數學教學中的難點，促進對數學本質的理解，感受到數學的奧妙。學生親自經歷數學知識的建構過程，在實踐中“看”，在實踐中“悟”，從而讓數學的思想方法真正走進他們的內心，讓數學核心素養在他們心里生根發芽，感悟到數學獨特的育人價值。

（四）數形結合，優化數學解題思路

解題教學是中職數學課堂教學中很重要的組成部分。一方面，通過解題可以促進學生對數學基本知識和基本技能的理解。另一方面，學生數學核心素養的最終落地——會用數學眼光觀察世界、會用數學思維分析世界、會用數學語言表達世界，也可以體現在學生的數學解題過程中。當前的中職學生由于其數學認知發展水平較差，經常存在聽課一聽就會、解題一做就錯的情形，特別是對一些不熟悉的關聯情境中的解題望而生畏。從客觀上看，解題困難源自題目本身，此類題目一般涉及多個知識點，數學抽象水平較高，對能力要求高。從主觀上看，解題困難源自在教學過程中，對這類問題的本質理解不夠深入，沒有在優化解題思路上下功夫。

動態數學軟件GeoGebra具有同時處理幾何與代數動態變化關系的特點，在輔助立體幾何、解析幾何等數學解題上具有巨大的優勢，可以將動態問題直觀化，復雜問題簡單化，思維過程可視化。

案例4：立體幾何例題教學

題目：把一個半徑為R的球放入棱長為4的正方體容器中，測得球底距正方體底面的距離為3，求球的半徑R。

按中職數學課程標準中學業質量的評價要求，此題屬于水平二，即高職高考數學的要求。本題是一道具有關聯情境的題目，要求學生可以想象并構建相應的幾何體，并從其中抽象出相關的三視圖等平面圖形，從而發現圖形與圖形之間的數量關系。

但是，由于中職學生的空間想象能力普遍較差，大部分學生不能畫出相應的圖像，不能抽象出其中的空間形式和數量關系。教師可以以動態數學軟件GeoGebra進行作圖，運用其中的三視圖作圖功能，構建出3D立體的幾何體，如圖7，為學生解題打下基礎。接著，教師可以拖動圖形幾何體，讓幾何體進行空間旋轉，從而形成不同角度的視圖，讓學生更加直觀地感受幾何體的特點和題干中的數量關系。最后，引導學生選取該幾何體的正視圖，見圖8，從中抽象出圓和正方形，從三維視圖轉換成二維視圖，見圖9，轉化成圓的垂徑等問題。基于GeoGebra的動態可視，優化了數學解題思路，讓題目迎刃而解。

基于GeoGebra的解題教學借助信息技術的優勢，為題目題干理解創設了背景，為探究題干規律啟發了思路，為問題解決提供了直觀情境，實現了代數與幾何的融合，讓學生在解題中可以豁然開朗，找到解題的金鑰匙，從而有效地提高學生的邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算等核心素養。

四、結束語

總之，基于GeoGebra的中職數學教學可以進一步提高教學效率、激發學生學習興趣、改變學生學習方式、優化教材內容呈現方式、優化解題效率等。但是，基于GeoGebra的信息化教學并不是要取代其他信息技術輔助教學，而是要與其他信息技術一起，發揮所長，共同為教學服務。隨著廣大教育工作者對GeoGebra的進一步認識以及對其研究實踐的進一步深入，GeoGebra與中職數學課程內容會進一步深度融合，GeoGebra在中職數學教學中的應用會越來越廣泛，從而引起中職數學教學模式的變革，成為培育學生數學核心素養最有效的途徑之一。

[本文為廣州市增城區教育科學規劃2021年度課題“基于GeoGebra的中職數學信息化教學資源建設與應用的實踐研究”（課題號：zc2021032）項目研究成果。]

責任編輯陳春陽