基于數學建模的經濟金融優化模型設計

摘要：隨著我國金融業的不斷發展，數學與金融學之間的融合趨勢越發明顯，利用數學工具計算經濟活動，并分析經濟學理論以及金融知識能夠進一步明確金融活動利潤、成本與收益之間的函數關系。此狀態下，能夠實現經濟學意義上的風險要素合理管控?；诖?，文章從實際情況出發，以數學建模為基礎闡述了經濟金融優化的關鍵問題模型搭建，并針對性分析了數學建模中經濟與金融優化模型，旨在為經濟與金融問題優化提供參考。

關鍵詞：數學建模；經濟金融優化；模型設計

世界經濟全球化金融背景下，外部市場競爭環境越發復雜，金融市場面臨的競爭性與沖擊性更加強烈。尤其是針對金融業工作人員來說，必須要利用數學建模的方法實現對經濟與金融知識的數學模型建設，從而實現對市場各項因素的準確分析與合理評判。數學工具與經濟金融知識之間存在直接關聯，結合相關風險要素與現有技術理論制定解決方案后，能夠為實際的金融決策行為提供指導。因此，無論是對于經濟金融理論，還是實際的金融活動來說，數學建模都能起到重要的指導作用。模型的良好建設不僅能檢驗金融理論知識，還能從實際金融活動出發提出全面的指導策略，從而實現提高資金使用效率、增加投資穩定性，優化資金管理的最終目的，是新時代金融活動開展的主要方向之一。

一、經濟金融優化的關鍵問題模型搭建

（一）利潤的最大化問題

柯布道格拉斯生產函數是針對利潤問題應用最廣泛的函數方法，指向模型的優化與分析，其形式為：Q（L，K）＝aLaKβ。式中：Q表示為企業或廠家的總生產量；a表示為常數；L表示為企業或廠家的生產勞動力投入（單位/萬人）；K為企業或廠家的生產投入勞動資本（單位/萬億元）；β為資本產出彈性系數。在對此模型進行研究分析時假設生產量Q與銷售量相等，設企業產品銷售量為S，得出如下相等條件：S＝Q＝aLaKβ。假設企業生產銷售收入為系數1，則產品銷售的二次多項函數記為：I＝b0S+b1S2。期間設固定成本為Y0，產品銷售成本為X，則X與P0的關系表達式為：X=Y0+c0S+c1S2。設利潤為G，則表示為：G=1-X=（b0-c0）S+（b1-c1）S2-m0。針對利潤最大化問題，可利用表達式，明確利潤優化模型：maxR（L，K）＝（b0-c0）aLaKβ+（b1-c1）aLaKβ。在實際問題解決中，b0、c0、b1、c1、La、Kβ均為常數，首先將其轉化為最小值問題并選取 fminunc函數，對數據進行編程錄入計算后實現對問題的合理求解。

（二）資金的最優使用問題

對于經濟金融優化來說，資金最優使用對于獲得穩定收入提高資金使用效率有著極為重要的作用。經濟學中關于資金與技術的研究往往需要在具體會計核算周期內進行。其中的關鍵在于企業的經營方式、資金管理需求及現金流周轉。因此，資金最優使用問題的研究需要從資金使用效率方面出發，在合理期限范圍內研究企業的資本金變動問題從而獲取最大的資金使用效率。最終目的在于提高企業的實際經濟效益。如，分析以下問題：企業自有資金150萬元人民幣，要求其在4年時間內對該資金進行完全使用。在其期間，會計人員會對資金的具體周轉、使用情況進行記錄。第一年，該企業使用資金數額設為X，資金使用效益設為Y。當年的不可用資金全部存入銀行賬戶并對此部資金所得利息進行核算。上述內容為該資金的整體計算流程。設資金使用年份為X1、X2、X3、X4。結合數學建模得出表達式：max∑■■X■■，但是因為閑置資本使用得當的前提下會產生利息收入，故對該模型進行優化：max∑■■X■■

s.t0≤X1≤1000≤X2≤1.1（100-X1）0≤X3≤1.1（1.1（100-X1）-X2）{0≤X4≤1.1（1.1（100-X1）-X2-X3）。對該模型進行觀察分析后可知該模型的非線性條件需求。因此，在計算過程中可算作最小目標函數轉化值，結合參數與實際變量對公式進行求解。此后可以利用fmincon函數導出計算結果。對于經濟金融實際問題的解決過程中，除了建立非線性函數模型外，也可以利用回歸分析、智能算法以及代數方程等方式豐富建模形式。對于資金最優使用問題的解決也可參考其他數學模型。

二、數學建模中經濟與金融優化模型分析

（一）投資風險組合優化模型

經濟金融分析過程中的投資組合優化是其中的重要組成部分。數學建模下的模型搭建，主要包括風險分析以及資產組合分析，最大限度上明確投資收益增加投資者的投資信心。比如，在某證券投資交易過程中提供了三種類型的股票A類、B類以及C類。模型搭建的主要目的在于分析股票的變動情況從而明確影響投資收益的具體因素。結合投資收益最大化原則對以上三類股票進行投資組合模型的搭建。將A類股票的年初價格設定為1元，因為行情變化以及市場經濟整體影響使得該類股票在年末上漲至1.5元。投資收益明顯提高。針對投資組合的優化分析與模型設計早在20世紀50年代就建立了投資模型基本理論框架?？紤]到股票投資的不確定性與風險性性質，曾將股票收益作為隨機變量結合各項因素進行風險指標的控制。依據Mark模型關系，橫向對比收益與風險的標準差得出模型數據。因此，后續的經濟金融投資優化只需要控制投資標準差即可實現對風險的合理控制。從數學模型角度出發，資產方差值越大代表著風險越大。因此，就需要控制方差最小值降低風險。目前的證券金融市場對于股票價值的衡量標準之一就是股票收益的均衡性。因此，相關數據的識別與模型搭建都可通過計算股票平均收益率這一指標實現對風險的識別與評估。投資組合的優化是促進經濟效益提高的最重要方法。在數據模型研究中如果協方差為正數且數值越大時，則影響效果越明顯；如果數值為0則表示數據影響不大。如果數值為負數，則代表兩組數據之間存在負相關與協方差為整數的情況相反。將三類股票的年收益率設為K1、K2、K3，計算式中的Ki（i=1，2，3）可作為隨機變量。將COV表示為兩組數據（隨機變量）之間的協方差并結合數學模型進行計算，則上述三類股票的協方差年收益率矩陣表示為COV＝0.10807540.0124072100.012407210.050391700.13075130.055426390

模型構建過程中決策變量X1、X2、X3分別代表上述三類股票的投資比例。為了簡化計算流程假設投資人的全部閑置資金都用于股票投資，則滿足以下條件：X1，X2，X3≥0；X1+X2+X3＝1。在實際的金融投資分析過程中，相關人員必須要考慮到投資年收益率的量變性質，需要從統計學角度進行分析。為了簡化研究過程，本文將銀行存款以及國庫券等低風險投資方式劃分為風險投資方式的特殊情況，加強與數學模型的匹配度。一般情況下低風險投資收益較為固定，橫向對比其他數據協方差來說，將其數值設置為0。為了加強模型的有效性，則需要假設投資者行為。將投資者購買上述三類股票的比例設置為Z1、Z2、Z3，賣出股票比例為U1、U2、U3，約束條件為：X1，X2，X3≥0；Z1，Z2，Z3≥0；U1，U2，U3≥0。為了簡化數據計算流程，對于資金核算環節本文選擇忽略不計，盡可能簡化交易成本。在守恒定律原則下假設股票持有者總資金規模不變，且交易成本為0.01，資金使用單位為1，則可設立表達式：X1+X2+X3+0.01（Z1+Z2+Z3+U1+U2+U3）＝1。將相關數據錄入模型中進行計算，提出假設1、2。

假設1：模型計算過程所得收益分布應滿足數學正態分布規律?！拔磥硎找妗币约啊邦A期值”的情況應不對模型框架產生影響。以上數值僅需在數據以及計算過程中進行體現即可。

假設2：該類假設是對投資者金融行為的假設。如果投資者投資偏好明顯，利用方差標準值以及二階矩陣能夠識別風險因子。但是在實際金融市場中風險作用機制較為多元，需要進一步確定模型的合理性與全面性。

（二）拍賣投標線性規劃模型

拍賣與投標數學模型構建的主要因素在于，通過經典經濟學問題分析加強模型數據的應用可靠性。模型的計算與數值對于實際經濟活動產生的影響較為深遠，就需要對拍賣投標中涉及的主要問題進行分析與規劃。假設某家拍賣行采取委托拍賣的方式對幾款價值不菲的藝術珍藏品進行拍賣。假設以下場景：共有三名來自不同區域的投保人提交了投標書，數量、價格均存在許多的差異性。在實踐中一般情況下都會將藝術品有限拍賣給出價最高的投標人，但是在數學建模視角下這種處理方法卻不能實現對物品清償價格的有效研究。在分析過程中需要利用排列組合數學模型解決問題并提出假設：首先建立一般模型。該模型假設有N個物品拍賣，第v個物品數量為Sv（v1、2......N）。具體問題求解下設拍賣投標者數量為T，投標者i（i=1/2......T），投標價格假設為Niv，并設其大于0。在模型構建過程中理論上需要達到對第v類物品清算價格的確定目標，但是在實際過程中清算價格Pv需要滿足以下條件：一是拍賣過程中涉及的拍賣物品，即第v類物品數量不能超過Sv。二是第v類物品的投標價如果低于Sv將不能獲得該物品。三是如果第v類物品的數量小于Sv且該情況正好處于拍賣物品的成交過程則認定Sv=0。四是如果第v類物品報價高于Pv則投標人有權利獲得該物品。為了進一步加強計算的標準性與全面性優化模型，將Oiv變量表示為第v類物品拍賣給投資者i并將0～1作為標準變量，那么就可得出結論：Oiv=1時，代表結果（分配）合理；Oiv=0時，代表結果（分配）不合理。優化后的數學模型經過優化后表達為：∑∑biv？堀Oiv。確定模型后納入約束條件，即利潤最大化目標函數，隨后利用相關軟件錄入數據并計算，能夠進一步得出拍賣投標的模型函數核算程序。在實踐研究中因為涉及到的因素更廣、環節更全面，為了加強模型的全面性確保計算結果精準就需要進行適時調整。以此為基礎進一步制定解決方案，加強建模分析的可靠性，實現金融學與數學的有機結合。

（三）“典型事實”與邊緣分布的模型搭建

因為邊緣分布的準確性參數與風險度量間存在直接性影響，使得金融資產變量序列存在非對稱性等“典型事實”。因此，對金融資產序列的“典型事實”與邊緣分布建模能夠進一步促進經濟金融優化。假定資產收益率為：rt=u1+？犖1。式中，u1表示為資產收益率均值；？犖1表示為收益率標準差；rt表示為資產整體收益率。具體流程為。第一步，判斷收益率序列是否存在自相關性。如果存在則利用模型進行自相關性建模；如果不存在直接進行下一步；第二步，判斷第一步殘差的異方差性。如果存在利用模型建模消除序列的異方差性；如果不存在進行下一步。第三步，建立標準化差模型并利用廣利誤差分布選擇模型序列。第四步，針對以上步驟的最優分布情況實現標準化殘差序列的概率轉化，利用K-S進行檢驗。如果檢驗通過則進行下一步，如果不通過重復以上步驟。當標準化殘差序列轉換成了均勻分布時，可利用最大生成樹算法建立模型結構，對收益率進行模擬與計算，從而生成投資組合優化模型。當相關模型生成后，結合最小信息量原則從所有模型中選擇出最優的模型進行標準化的t分布計算。如果計算結果中存在不掌握變量，可利用建立序列最優分布的方式進行建模邊緣分布。

三、開發性金融項目視角下的融資結構優化

為了進一步詳細闡述數學建模視角下的經濟金融優化，本文針對開發性金融項目的融資結構作出進一步研究。融資決策是一種市場化決策的泛決策方法，而開發性金融的項目決策則是項目經濟效益最大化的政策性特點。融資結構優化模型的搭建也有利于其他類型經濟金融項目優化。

（一）多階段動態規劃的開發性金融項目融資結構模型優化

本節以多階段機會約束的項目融資規劃模型為基礎，指向的是開發性金融開發對象各階段的最優債務融資規模、期限和票面利率進行科學計算與預測的一種最優資本結構。該模型以公司價值最大化為目標函數，并做出如下假設：一是破產成本是公司現有的所有資產。二是債務發行成本為0。三是投資額度確定，且投資所有稅后收入都用于支付股利。四是未來期限內不考慮博定性，且可以提前預測無風險利率。五是公司經營現金流被假定服從一個已知的分布。

假設該模型只發行兩類債券：第一類type1；第二類type2。第一類為債務類短期融資，第二類的債務融資為長期融資。由此可得出第一類股東現金流為：

Yis=X1-（1+R10）D10-R20D20-π（X1-R10D10-R20D20-DP1）-I1+D11＝0。

其中 X1≥a1，X1＜a1，式中：Yis表示為股東第i階段的隨機現金流；X表示為經營現金流；R表示為發行的type類型的票面利率；D表示為發行的type類型的債務面；DP1表示為債券折舊價值；a表示為公司的破產臨界點。在第一類債券中的破產臨界點為：

a1=■+R10D10+R20D20

假設，X1≥a1，且S為股權價值時則不會產生破產行為。在此過程中，公司如果出現債務違約情況，則債權人即便順利發行了金額為D11的債務也不會得到任何支付。因此，將現金流進一步優化后得出：

Y1B＝（1+R10）D10+R20D20＿D11＝0

由此推導出第二類股東與債券持有者獲得的現金流為：

Y2S＝X2-（1+R20）D20-（1+R11）D11-π（X2-R20D20-R11D11-DP2）+A2＝0

式中A2表示為公司在第二類債券的資產市值，得出：

a2=■+R20D20+R11D11

進一步利用聯立方程推導出D10、D11以及D20的數值：

■+■=■

此次模型的搭建與計算為了加強簡明度只針對兩種類型的債券融資規劃進行預測?？紤]到破產概率問題，可依照現行稅率假定公司未來兩年內稅率不變，在此期間沒有任何新的投資，計算結果將更加直觀。

（二）項目組合的融資結構模型優化

考慮到開發性金融支持對象多樣，涉及到產業與區域整體發展方面則可稱之為項目組合。下文將針對項目組合方面實現融資結構模型優化。其中，動態規劃的一般模型為：

fk（sk）=min/max（dk（sk，xk）+fk+1（sk+1））fN+1（sN+1）=0，k=N，N-1……1

式中：sk表示為k階段的狀態變量；xk表示為k階段的決策變量。如果某一決策所得效益稱為階段效益且經過了系統確定，則狀態變量與階段決策變量將成為整個過程系統效益的一部分。相比于枚舉法動態規劃方法相對簡潔，只需要利用各階段之間的遞進關系直接求解最優決策序列即可。

因為債券融資成本較高，融資規模越大則融資難度也將越高。因此，確定債券融資費用與融資數量的比例系數后（0.00005）可推導出各階段債券在供需不匹配前提下的管理費用占據資產金額的1%。下文利用多階段動態規劃思想進行融資需求優化，假設每五年為一個階段。由狀態變量采取決策變量后的狀態轉移方程為：

sk+1+sk+xk-Ak

式中，Ak為已知量并階段效益即是費用，因此：

d（sk，xk）=0.01sk+0.00005xk2

如果從狀態變量出發，采用最優策略并計算第五年結束時的最小費用則得出動態規劃模型：

fk（sk）＝min（0.001sk+0.00005k2+fk+1（sk+1））

利用逆序遞推方法對以上模型進行求解，此時：

f4（s4）＝min（0.01s4+0.00005x4+0）

取最小值時求導并令其為0得：

G=0.0001x3-0.11+0.0001（s3+x3-500）=0

由上述的模型建立與計算后推導而出，假設最小費用為118億元，則優化后的總費用比優化前減少了9億元。為了進一步優化開發性金融經過模型優化后的融資結構，還需要對其他領域在融資各階段中的最佳融資金額。該金額與融資方式的分配比例需要視金融產業的特點而定。將各個領域內的最佳融資金額加總后再利用上述公式求解。就能得出相對最優的融資結構。當然，此過程中必須要確保數據的可靠。

四、結語

綜上所述，本文主要選取了柯布道格拉斯生產函數作為企業生產資本以及勞動力投入的貢獻率轉換數學模型基礎，以此明確利潤的最大化以及資金的最優使用問題。在此前提下合理配比相關參數，從而實現經濟效益最大化的最終目標。與此同時，通過資金最優模型的建設針對性提出企業資金的周轉情況與管理情況，實現投資風險組合優化模型的搭建。此模型的建設主要是針對金融市場投資風險的分析與識別，保障投資者的投入收益。另外，本文針對拍賣投標方面也針對性搭建了線性規劃模型，旨在明確投資活動中存在的金融問題以及經濟問題，從而發揮數學模型對實際經濟活動的指導價值。

參考文獻：

[1]陳龍，王楠，馮麗麗.金融發展、產業結構優化與農村經濟增長關聯性研究——基于面板VAR模型的實證分析[J].當代經濟管理，2020，42（03）：90-97.

[2]張力民，畢燕茹，崔巍平.產業資本與金融資本兩要素動態優化——基于Solow模型對宏觀經濟發展分析[J].開發研究，2012（05）：45-48.

[3]撖銷霖，許向陽.省域綠色金融與產業結構優化關系研究——基于江蘇省2001-2020年數據[J].中國林業經濟，2022（05）：135-139.

[4]馬涵江.外部金融聯系有助于改善地區產業升級優化嗎？——基于長三角城市群26市的實證研究[J].浙江金融，2021（08）：59-70+49.

[5]王進文，王佳惠，黃雯晶，楊猛.金融發展對產業結構調整的實證研究——以內蒙古自治區為例[J].北方金融，2021（05）：68-72.

[6]陳明榮，韓曉蕾，胡奇武.經濟高質量發展的金融支持研究——以甘肅白銀為例[J].甘肅金融，2019（11）：62-64.

[7]黃華繼，焦冰欣.新常態下我國居民家庭金融資產配置結構優化研究——基于Probit和Tobit模型的分析[J].鄭州航空工業管理學院學報，2018，36（03）：97-112.

[8]趙麗麗.“一帶一路”背景下西部地區金融發展與產業結構調整研究——以甘肅省為例[J].現代管理科學，2016（08）：75-77.

（作者單位：東北農業大學）