思想引領(lǐng),能力提升
——函數(shù)與導數(shù)的綜合問題

■江蘇省常州市金壇第一中學 宮雞明

導數(shù)及其應(yīng)用是數(shù)學史上的一個重要轉(zhuǎn)折,由此數(shù)學發(fā)展到了變量數(shù)學的新階段,開辟了數(shù)學研究的嶄新天地,是一個具有劃時代意義的里程碑。導數(shù)不僅為有效解決初等數(shù)學問題提供了一般性的方法,而且激活了高中數(shù)學的各種知識應(yīng)用及其關(guān)系,如求曲線方程、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值等,而且涉及了高中數(shù)學中很多重要的數(shù)學思想方法。

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想就是回歸問題的函數(shù)或方程本質(zhì),利用函數(shù)(或方程)知識或函數(shù)(或方程)觀點來觀察、分析與處理問題。函數(shù)與方程思想在導數(shù)及其應(yīng)用中主要用來解決生活中的優(yōu)化問題,以及構(gòu)造函數(shù)證明等式或不等式等。

例1(2023 年江蘇省百校聯(lián)考高三數(shù)學試題)已知函數(shù)f(x)=2ex-1-a(xlnx-1)-2x,x∈(1,+∞)。

(1)當a=0時,求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程;

(2)若f(x)>0,求實數(shù)a的取值范圍。

解析:(1)當a=0時,函數(shù)f(x)=2ex-1-2x,求導可得f′(x)=2ex-1-2,結(jié)合導數(shù)的幾何意義可得k=f′(2)=2e-2,而切點為(2,2e-4),故所求切線方程為y=(2e-2)(x-2)+2e-4,即y=(2e-2)x-2e。

點評:借助不等式恒成立來確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍時,關(guān)鍵就是利用參數(shù)分離法分離參數(shù),借助函數(shù)與方程思想,引入新函數(shù),利用導數(shù)及其應(yīng)用求得新函數(shù)的最值或取值范圍,綜合函數(shù)與不等式的相關(guān)性質(zhì),從而求得參數(shù)的范圍。

二、分類討論思想

分類討論思想就是當我們面臨的數(shù)學問題不能以統(tǒng)一形式解決,或因為一種形式無法進行概括時,往往可以采用分類討論思想解決相關(guān)問題。分類討論思想在導數(shù)及其應(yīng)用中主要用來求解單調(diào)區(qū)間、參數(shù)范圍、極值、最值及恒成立等問題。

點評:在不同的參數(shù)取值情況下對應(yīng)的函數(shù)的極值點的個數(shù)也不相同,這時不需要通過參數(shù)的取值情況加以分類討論,而是在不同條件下加以分析與討論。分類討論思想在解決一些含參的函數(shù)與導數(shù)應(yīng)用問題中,往往是離不開的一種基本數(shù)學思想方法。

三、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想就是實現(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的等價轉(zhuǎn)化,或給抽象的數(shù)量關(guān)系賦予形象和直觀的幾何意義,或用數(shù)量關(guān)系描述直觀的幾何性質(zhì)等。數(shù)形結(jié)合思想在導數(shù)及其應(yīng)用中主要用來解決有關(guān)方程的根的問題等。

例3(2023 年浙江省名校協(xié)作體高三數(shù)學試卷)已知函數(shù)f(x)=(2a-x)lnx,a>0。

(1)當a=e時,求f(2e-x)的單調(diào)區(qū)間。

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(2a-x)-f(x)。

①若g(x)有且只有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍;

②記函數(shù)h(x)=若關(guān)于x的方程h(x)=2lna-2 有4 個根,從小到大依次為x1,x2,x3,x4,求證:x3-x2>2;x4-x1<

解析:(1)令f(2e-x)=xln(2e-x)=p(x),x∈(-∞,2e),則p′(x)=ln(2e-x)因為p′(x)在定義域上是單調(diào)遞減的,且p′(e)=0,所以當x>e時,p′(x)<0;當x0。所以x=e 為p(x)的極大值點,所以f(2e-x)在(0,2e)上單調(diào)遞增,在(e,2e)上單調(diào)遞減,所以f(2e-x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,e),單調(diào)遞減區(qū)間為(e,2e)。

又g(a)=0,符合要求。

又g(a)=0,與g(x)有且只有一個零點矛盾,故實數(shù)a的取值范圍(0,e]。

②因為h(x)=①知,h(a-x)=-g(a-x)=g(a+x),h(a+x)=g(a+x)=h(a-x),故h(x)關(guān)于x=a軸對稱,h(x)=2lna-2有4個根,如圖1所示,其中x1與x4關(guān)于x=a對稱,x2與x3關(guān) 于x=a對稱。由①中分析可知,當a≤e時,g(x)單調(diào)遞減,則h(x)=2lna-2 最多只有兩個根,所以a>e,ax2=x3-a,x3-x2=2(x3-a)。不妨考慮x∈(a,2a),此時h(x)=g(x),記φ(x)=g(x)-(2lna-2)(x-a),由①得φ′(x)=g′(x)-(2lna-2)≤0,φ(x)是單調(diào)遞減的,即φ(x)<φ(a)=0,即g(x)<(2lna-2)·(x-a)在x∈(a,2a)上恒成立。

圖1

由0=g(x3)+2-2lna<(2lna-2)·(x3-a)+2-2lna,可得x3>a+1,所以x3-a>1,即x3-x2>2。

當x∈(a,2a)時,(2a-x)lnx>(2ax)ln e>0,g(x)

點評:經(jīng)歷了由函數(shù)與方程之間的轉(zhuǎn)化,通過“數(shù)”到“形”的構(gòu)建,又由“形”到“數(shù)”的概括。在邏輯推理過程中,數(shù)學基礎(chǔ)知識綜合應(yīng)用,數(shù)學思想方法相互滲透,數(shù)形結(jié)合與化歸轉(zhuǎn)化思想則起到了畫龍點睛的作用。

函數(shù)與導數(shù)的綜合問題,一直是歷年高考試卷中最重要、占比最多的基本知識點之一,考查涉及小題(選擇題或填空題)和大題(解答題),正因為其蘊含著豐富的數(shù)學思想方法,還涉及化歸與轉(zhuǎn)化、一般與特殊、類比等許多數(shù)學思維方法,因此,我們要在學習過程中,探索并充分體會其數(shù)學思想方法,巧妙思想引領(lǐng),必會收到事半功倍的效果,全面提升數(shù)學能力。