高考全國卷中函數圖像問題的考向分析

■江蘇省南京市第十三中學 楊紅霞

函數圖像是函數性質的直觀反映,借助函數圖像,可以研究許多函數問題,所以函數圖像的考查一直是歷年高考的重點和熱點。常見的題型有:選擇圖像、研讀圖像和應用圖像。下面舉例說明。

一、選擇圖像

例1(2022屆江西上饒二次模擬)函數f(x)=的大致圖像為圖1 中的( )。

圖1

故選B。

評注:此類選擇圖像問題是指已知函數解析式,定性分析函數的性質,如單調性、奇偶性等,從所給選項中選擇出對應的函數圖像,這是函數圖像問題考查的基本形式。

二、研讀圖像

例2(2023屆安徽皖西聯考)牛頓流體符合牛頓黏性定律,在一定溫度和剪切速率范圍內黏度值是保持恒定的,即τ=ηγ,其中τ為剪切應力,η為黏度,γ為剪切速率;而當液體的剪切應力和剪切速率存在非線性關系時,液體就稱為非牛頓流體。非牛頓流體會產生很多非常有趣的現象,如當人陷入沼澤時,越掙扎將會陷得越深;也有很多廣泛的應用,如某些高分子聚合物還可以做成“液體防彈衣”。圖2 是測得的某幾種液體的流變τ-γ曲線,則其中屬于沼澤和液體防彈衣所用液體的曲線分別是( )。

圖2

A.③和① B.①和③

C.④和② D.②和④

解析:由題意得牛頓流體黏度η恒定,即在τ-γ曲線中,圖像為直線,即①和③為牛頓流體,④和②為非牛頓流體。又因為屬于沼澤和液體防彈衣所用液體為非牛頓流體,所以對應曲線為④和②。

故選C。

評注:研讀圖像要求同學們對所給函數圖像進行全方位觀察,在此基礎上收集信息,研究性質,回答所提出的問題。這是函數圖像考查的較高形式。

例3(2023 屆湖南長沙一中高三模擬)已知定義在R上的奇函數f(x)的部分圖像如圖3 所示,f′(x)是f(x)的導函數,則下列結論中正確的是( )。

圖3

A.f(2)=-1

B.f(1)·f(2)>4

C.f′(1)·f′(2)<0

D.方程f′(x)=0無解

解析:根據題意,依次分析選項:對于A,f(x)為奇函數,且f(-2)>2,則f(2)=-f(-2)<-2,A錯誤;對于B,f(x)為奇函數,且f(-1)=2,則f(1)=-2,則f(1)f(2)>4,B正確;對于C,由所給函數f(x)的圖像,可得f′(-1)<0,f′(-2)>0,所以f′(1)·f′(2)=f′(-1)·f′(-2)<0,C 正確;對于D,由C的結論f′(-1)·f′(-2)<0,則必定存在x0∈(-2,-1),使得f′(x0)=0,即f′(x)=0一定有解,D 錯誤。

故選BC。

評注:此類題目一定要注意觀察圖像的特征,看對應函數具有什么性質,比如奇偶性、單調性、對稱性、周期性等,還要看圖像的最高點、最低點,是否過原點或其他特殊點,與坐標軸的交點等,根據這些特征得出結論。

三、應用圖像

例4(2022屆四川綿陽第二次模擬)已知函數f(x)=lnx-a(x2-x),若不等式f(x)>0有且僅有2個整數解,則實數a的取值范圍為( )。

解析:由題意,f(x)>0有且僅有2個整數解,即lnx-a(x2-x)>0有兩個整數解,即lnx>a(x2-x)有兩個整數解。令g(x)=lnx,h(x)=a(x2-x)。當a=0 時,lnx>0,即x>1,有無數個整數解,不成立;當a<0時,如圖4所示,lnx>a(x2-x)有無數個整數解,不成立;當a>0時,要保證g(x)>h(x)有兩個整數解,如圖5 所示,則

圖4

圖5

故選A。

評注:應用圖像是指善于借助函數的圖像這個工具來分析問題、解決問題,實質上就是數形結合思想方法的應用。