正態(tài)分布導(dǎo)學(xué)

■河北省秦皇島市北戴河中學(xué) 陳 芳

一、知識(shí)要點(diǎn)梳理

1.正態(tài)曲線(xiàn)。

正態(tài)曲線(xiàn)沿著x軸方向水平移動(dòng)只能改變對(duì)稱(chēng)軸的位置,曲線(xiàn)的形狀沒(méi)有改變,所得的曲線(xiàn)依然是正態(tài)曲線(xiàn)。顯然對(duì)于任意x∈R,f(x)＞0,它的圖像在x軸的上方。可以證明x軸和曲線(xiàn)之間的區(qū)域的面積為1。我們稱(chēng)f(x)為正態(tài)密度函數(shù),稱(chēng)它的圖像為正態(tài)分布密度曲線(xiàn),簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線(xiàn)。若隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為f(x),則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,記為X～N(μ,σ2)。特別地,當(dāng)μ=0,σ=1時(shí),稱(chēng)隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。

2.由X的密度函數(shù)及圖像可以發(fā)現(xiàn),正態(tài)曲線(xiàn)還有以下特點(diǎn)。

(1)曲線(xiàn)是單峰的,它關(guān)于直線(xiàn)x=μ對(duì)稱(chēng);(2)曲線(xiàn)在x=μ處達(dá)到峰值當(dāng)|x|無(wú)限增大時(shí),曲線(xiàn)無(wú)限接近x軸。

3.正態(tài)分布的期望與方差。

若X～N(μ,σ2),則E(X)=μ,D(X)=σ2。

4.正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率。

(1)P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;

(2)P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;

(3)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3。

在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,這在統(tǒng)計(jì)學(xué)中稱(chēng)為3σ原則。

二、典型例題解析

題型一：正態(tài)曲線(xiàn)圖像的應(yīng)用

例1設(shè)有一正態(tài)總體,它的概率密度曲線(xiàn)是函數(shù)f(x)的圖像,且,則這個(gè)正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別是( )。

A.10與8 B.10與2

C.8與10 D.2與10

解析：(1)因?yàn)?所以σ=2,μ=10,即正態(tài)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差分別為10與2。

選B。

題型二：利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求概率

例2正態(tài)分布概念是由德國(guó)數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家Moivre在1733 年首次提出的,由于德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯率先把其應(yīng)用于天文學(xué)研究,故我們把正態(tài)分布又稱(chēng)作高斯分布。早期的天文學(xué)家通過(guò)長(zhǎng)期對(duì)某一天體的觀(guān)測(cè)收集到大量數(shù)據(jù),對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)變量X近似服從N(9,σ2)。若P(X＜10)=0.91,則P(X≤8)=_____。

解析：因?yàn)閄近似服從N(9,σ2),所以X的正態(tài)分布曲線(xiàn)關(guān)于x=9 對(duì)稱(chēng),故P(X≤8)=P(X≥10)=1-P(X＜10)=1-0.91=0.09。

題型三：正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用

例3學(xué)史明理,學(xué)史增信,學(xué)史崇德,學(xué)史力行。近年來(lái),某市積極組織開(kāi)展黨史學(xué)習(xí)教育的活動(dòng),為調(diào)查活動(dòng)開(kāi)展的效果,市委宣傳部對(duì)全市多個(gè)基層支部的黨員進(jìn)行了測(cè)試,并從中抽取了1 000份試卷進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)這1 000 份試卷的成績(jī)(單位:分,滿(mǎn)分100分)得到如下頻數(shù)分布表(表1)。

表1

(1)求這1 000份試卷成績(jī)的平均數(shù)。(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)

(2)假設(shè)此次測(cè)試的成績(jī)X服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2,已知s的近似值為6.61,以樣本估計(jì)總體,假設(shè)有84.14%的黨員的測(cè)試成績(jī)高于市委宣傳部預(yù)期的平均成績(jī),則市委宣傳部預(yù)期的平均成績(jī)大約為多少?(結(jié)果保留一位小數(shù))

(3)市委宣傳部準(zhǔn)備從成績(jī)?cè)赱90,100]內(nèi)的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份,再?gòu)倪@6份試卷中隨機(jī)抽取3份進(jìn)一步進(jìn)行分析,記Y為抽取的3份試卷中測(cè)試成績(jī)?cè)赱95,100]內(nèi)的份數(shù),求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。

解析：(1)設(shè)這1 000份試卷成績(jī)的平均數(shù)為,則:

(2)由(1)得μ=82.15,且σ=6.61。

Y的分布列如表2。

表2

題型四：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

例42021年某地在全國(guó)志愿服務(wù)信息系統(tǒng)注冊(cè)登記志愿者8 萬(wàn)多人,2020年7 月份以來(lái),共完成1 931個(gè)志愿服務(wù)項(xiàng)目,8 900多名志愿者開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng)累計(jì)超過(guò)150 萬(wàn)小時(shí)。為了了解此地志愿者對(duì)志愿服務(wù)的認(rèn)知和參與度,隨機(jī)調(diào)查了500 名志愿者每月的志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)(單位:小時(shí)),并繪制如圖1所示的頻率分布直方圖。

圖1

(1)估計(jì)這500 名志愿者每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表)。

(i)利用直方圖得到的正態(tài)分布,求P(X≤10);

(ii)從該地隨機(jī)抽取20 名志愿者,記Z表示這20 名志愿者中每月志愿服務(wù)時(shí)長(zhǎng)超過(guò)10小時(shí)的人數(shù),求P(Z≥1)(結(jié)果精確到0.001),以及Z的數(shù)學(xué)期望(結(jié)果精確到0.01)。

參考數(shù)據(jù)：4.05,0.598 720≈0.000 035,0.729 120≈0.001 8,0.773 420≈0.005 9。若Y～N(0,1),則P(Y≤0.25)≈0.598 7,P(Y≤0.61)≈0.729 1,P(Y≤0.78)≈0.773 4。

解析：(1=6×0.02+7×0.10+8×0.20+9×0.38+10×0.18+11×0.08+12×0.04=9。

s2=(-3)2×0.02+(-2)2×0.10+(-1)2×0.20+12×0.18+22×0.08+32×0.04=1.64。

(2)(i)由題意并結(jié)合(1)可知,μ=9,σ2=1.64≈1.282。

(ii)由(i)可知,P(X＞10)=1-P(X≤10)≈0.226 6,故Z～B(20,0.226 6)。

因此,P(Z≥1)=1-P(Z=0)=1-(1-0.226 6)20≈1-0.005 9≈0.994,E(Z)=20×0.226 6≈4.53。