直擊隨機變量及其分布中的數學思想

■河南大學附屬中學 陳嘯宇

數學解題,必須講究思想方法,隨機變量及其分布問題也不例外。那么在解決這個內容的問題時,我們會遭遇哪些數學思想呢?本文舉例說明。

一、數形結合思想

例1(多選)設隨機變量X～N(2,9),且P(X＜3a-1)=P(X＞a2+1),則實數a的值可能為( )。

A.0 B.1 C.2 D.-4

解析：因為隨機變量服從X～N(2,9),所以正態曲線關于直線x=2對稱。

因為P(X＜3a-1)=P(X＞a2+1),所以3a-1+a2+1=4,解得a=1或-4。

故選BD。

點評:對于正態分布問題,一般可根據正態分布曲線的對稱性來求解,利用的數學思想就是數形結合思想。

二、函數思想

例2在一次新兵射擊能力檢測中,每人都可打5槍,只要擊中靶標就停止射擊,合格通過;5次全不中,則不合格。新兵A參加射擊能力檢測,假設他每次射擊相互獨立,且擊中靶標的概率均為p(0＜p＜1),當p=p0時,他至少射擊4次合格通過的概率才最大,則p0=_____。

解析：至少射擊4 次合格通過的概率為f(p)=(1-p)3p+(1-p)4p=(1-p)3·(2p-p2)。

所以f'(p)=(1-p)2(5p2-10p+2)。

點評:用f(p)表示至少射擊4次才合格通過的概率,并利用導數研究f(p)在(0,1)上的最值即可。

三、分類討論思想

例3邊長為2的正方形ABCD的中心為O,從A、B、C、D、O這5個點中任意選2點,以其中一點為起點、另一點為終點作向量,任取其中兩個向量(不包括“向量和同端點的相反向量”),以它們的數量積的絕對值作為隨機變量X,則其數學期望E(X)=_____。

點評:本題關鍵點有兩點,一個是隨機抽取向量時,基本事件的總數;另一個是抽取后,計算抽取向量的數量積的絕對值的可能情形,必須做到不重不漏。

四、轉化思想

例4現在甲、乙兩個靶,某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1 分,沒有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒有命中得0 分。該射手每次射擊的結果相互獨立,假設該射手完成以上三次射擊。

(1)求該射手恰好命中一次的概率;

(2)求該射手的總得分X的分布列。

解析：(1)設“該射手恰好命中一次”為事件A,“該射手射擊甲靶命中”為事件B,“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C,“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D。

(2)根據題意知,X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5。

根據事件的獨立性和互斥性,得:

故X的分布列如表1。

表1

點評:求解某些復雜事件的概率時,可以把復雜事件分解為一些互斥事件的和,利用概率加法公式求解;也可以利用“正難則反”的思想,先求出復雜事件的對立事件的概率,再利用求解。