例析條件概率問題的四種解法

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學 徐春生

在很多的實際問題中,都存在條件概率問題。要求條件概率,必須先了解條件概率的定義與相關的計算公式,將問題轉化為條件概率問題,分清誰是條件誰是結論,掌握對應的性質,然后根據實際問題,結合相關的方法來求解。

一、定義法

根據條件概率的定義,也就是條件概率的計算公式,先求P(A)(P(A)＞0)和P(AB),再由定義,即可求解P(B|A)。

例1甲、乙、丙、丁4名同學報名參加假期社區服務活動,社區服務活動共有關懷老人、環境監測、教育咨詢、交通宣傳等四個項目,每人限報其中一項,記事件A為“4 名同學所報項目各不相同”,事件B為“只有甲同學一人報關懷老人項目”,則P(A|B)=( )。

點評:要解決條件概率問題,要分清事件A、B及其條件的構成,要厘清相關的定義與對應的計算公式,結合對應的概率計算公式加以分析與處理。解決條件概率問題時,關鍵是抓住條件概率的定義,把問題加以轉化再分析與處理。

二、古典概型的基本事件法

當基本事件適合有限性和等可能性時,可借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數n(A),再在事件A發生的條件下求事件B包含的基本事件數n(AB),得。這是條件概率的定義在古典概型條件下的特殊模型。

例2(多選題)為慶祝中國共產黨建黨100周年,謳歌中華民族偉大復興的百年奮斗歷程,增進全體黨員干部職工對黨史知識的了解,某地開展黨史知識競賽活動,以黨支部為單位參加比賽。某黨支部在5道黨史題中(包含3 道選擇題和2 道填空題),不放回地依次隨機抽取2道題作答,設事件A為“第1次抽到選擇題”,事件B為“第2次抽到選擇題”,則下列結論中正確的是( )。

點評:本例的事件為古典概型,利用基本事件數來解決相應的條件概率問題,方法巧妙。

三、縮減樣本空間法

在事件A發生的前提之下,進而確定事件B的縮減樣本空間ΩA=Ω∩A,并在ΩA中計算事件B發生的概率,從而得到條件概率P(B|A)。這是條件概率與實際操作過程中產生的有效的等價轉化方式。

例3在100 件產品中有95 件合格品,5 件不合格品,現從中不放回地取兩次,每次任取一件,則在第一次取到不合格品后,第二次取到不合格品的概率為____。

解析：第一次取到不合格品后,也就是在第二次取之前,還有99 件產品,其中有4 件不合格品。

點評:利用縮減樣本空間法求條件概率的步驟:(1)縮——將原來的基本事件全體Ω縮減為事件A,原來的事件B縮減為AB;(2)數——數出事件A中所包含的基本事件AB;(3)算——利用求得結果。

四、性質法

由條件概率和對立事件的定義,可得條件概率的性質:P(|A)=1-P(B|A),利用該性質可以解決一些相關的條件概率問題。這是針對一些復雜的條件概率的求解而采用的逆向思維所產生的特殊模型。

例4如圖1,三行三列的方陣有9個數aij(i=1,2,3,j=1,2,3),從中任取3 個數,則在取到a22的條件下,至少有2個數位于同行或同列的概率為_____。

圖1

點評:解決本題時,直接求解可能會沒有頭緒,由于“在取到a22的條件下,至少有2個數位于同行或同列”無法直接來解決,而通過條件概率的性質法,從對立面去分析,即利用對立事件的概率來轉化,巧妙有效。