隨機變量及其分布單元測試卷（A 卷）

■河南省濮陽市第一高級中學 梁文強

■河南省濮陽市教育局 張獻偉

一、選擇題(本題共12 小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。)

1.從只有2張有獎的8張彩票中不放回地隨機逐張抽取,設X表示直到抽到中獎彩票時的次數(shù),則P(X=3)=( )。

2.已知隨機變量X的分布列如表1,若E(X)=1,D(2X-1)=2,則m=( )。

表1

3.現(xiàn)有語文、數(shù)學課本共7本(其中語文課本不少于2本),從中任取2本,至多有1本語文課本的概率為,則語文課本有( )。

A.2本 B.3本

C.4本 D.5本

4.某水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高,發(fā)現(xiàn)株高(單位:cm)服從正態(tài)分布,其密度函數(shù)為(-∞,+∞),則下列說法正確的是( )。

A.該地水稻株高在120 cm 以上的數(shù)量和株高在80 cm 以下的數(shù)量一樣多

B.該地水稻的平均株高為200 cm

C.隨機測量一株水稻,其株高在區(qū)間(80,90)和在區(qū)間(100,110)的概率一樣大

D.該地水稻株高的方差為10

5.某企業(yè)生產(chǎn)的12個產(chǎn)品中有10個一等品,2個二等品,現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意取4個,則其中恰好有1 個二等品的概率為( )。

6.已知隨機變量ξ和η滿足2ξ+η=8,若ξ～B(10,0.4),則E(η),D(η)分別是( )。

A.0和9.6 B.4和2.4

C.0和2.4 D.4和9.6

7.將3顆骰子各擲一次,記事件A表示“三個點數(shù)都不同”,事件B表示“至少出現(xiàn)一個1點”,則條件概率P(B|A)為( )。

8.有甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)同一個型號的產(chǎn)品,甲廠生產(chǎn)的次品率為10%,乙廠生產(chǎn)的次品率為20%,丙廠生產(chǎn)的次品率為30%,生產(chǎn)出來的產(chǎn)品混放在一起,已知甲、乙、丙三個工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)分別占總數(shù)的50%、30%、20%,任取一件產(chǎn)品,則取得的產(chǎn)品為次品的概率是( )。

A.0.83 B.0.79

C.0.21 D.0.17

9.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復拋擲10次,則正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4,0.6]內(nèi)的概率為( )。

10.甲、乙兩地舉行數(shù)學聯(lián)考,統(tǒng)計發(fā)現(xiàn):甲地學生的成績X～;乙 地學生的成績Y～N(μ2,,圖1 是 甲、乙兩地學生的數(shù)學成績正態(tài)曲線,則( )。

圖1

附:若隨機變量X～N(μ,σ2)(σ＞0),P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3)。

A.甲地學生的數(shù)學平均分比乙地學生的高

B.甲地學生的數(shù)學成績的離散程度比乙地小

C.若σ2=8,則P(92≤Y≤124)≈0.84

D.若σ1=4,則P(90≤X≤94)＞P(82≤X≤90)

11.隨著社會經(jīng)濟的不斷發(fā)展,電子商務平臺使人們購物更加方便快捷,假設電商平臺的市場占有率和產(chǎn)品優(yōu)質(zhì)率的信息如表2。

表2

用A1,A2,A3分別表示某網(wǎng)民使用甲,乙,其他電商平臺購物,B表示買到優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品。若該網(wǎng)民在市場中隨機選擇一個電商平臺,則下列說法中錯誤的是( )。

A.P1=P5

B.P1＞P5

D.P0,P1,P2,…,P6中的最大值為P4

二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共計20分。)

13.若隨機變量X服從兩點分布,P(X=1)=2P(X=0),則P(X=0)=_____。

14.隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),若P(2＜X≤3)=0.36,則P(X＞3)=____。

15.隨機變量X服從以下分布表(表3)。

表3

若E(X)=0,則D(3X-1)=_____。

16.圖2是一塊高爾頓板示意圖,在一木塊上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木釘,小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?前面擋有一塊玻璃。將小球從頂端放入,小球在下落的過程中,每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子從左到右分別編寫為1,2,3,4,5,用X表示小球落入格子的號碼,則下列說法中正確序號為_____。

圖2

三、解答題(本大題共6小題,第17題10分,其他題每題12分,共計70分。解答時應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟。)

17.(本小題10 分)假設有兩箱零件,第一個箱內(nèi)裝有10 個,其中有2 件次品;第二個箱子內(nèi)裝有20個,其中有3件次品。現(xiàn)從兩箱中隨機挑選一箱,然后從該箱中隨機取1個零件。

(1)求取出的零件是次品的概率;

(2) 已知取出的是次品,求它是從第一個箱子內(nèi)取出的概率。

18.(本小題12 分)甲、乙兩個選手進行圍棋比賽,如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6,乙獲勝的概率為0.4,隨機變量Y表示冠軍需要的比賽局數(shù)。

(1)求P(Y=2)的值;

(2) 那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲有利?

19.(本小題12分)如圖3所示,小明家住C小區(qū),在D學校學習。從家到學校有兩條路線可供小明選擇,L1路線上有A1,A2,A3三個路口,各路口遇到紅燈的概率均為;L2路線上有B1,B2兩個路口,各路口遇到紅燈的概率分別為

圖3

(1)若小明走L1路線,求最多遇到1 次紅燈的概率;

(2)若小明走L2路線,求遇到紅燈次數(shù)Y的數(shù)學期望;

(3)按照“平均遇到紅燈次數(shù)最少”的要求,請你幫助小明從上述兩條路線中選擇一條最好的上學路線,并說明理由。

20.(本小題12分)某單位為了激發(fā)黨員學習黨史的積極性,現(xiàn)利用“學習強國”APP中特有的“四人賽”答題活動進行比賽,活動規(guī)則如下:一天內(nèi)參與“四人賽”活動,僅前兩局比賽可獲得積分,第一局獲勝得3分,第二局獲勝得2 分,失敗均得1 分。小張周一到周五每天都參加了兩局“四人賽”活動,已知小張第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為,且各局比賽互不影響。

(2)設小張在這5 天內(nèi)的“四人賽”活動中,恰好3天每天得分不低于4分的概率為f(p),求當p為何值時,f(p)取得最大值。

21.(本小題12 分)某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的重量(單位:g),質(zhì)量的分組區(qū)間為(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到樣本的頻率分布直方圖,如圖4所示。

圖4

(1)根據(jù)頻率分布直方圖,求質(zhì)量超過505g的產(chǎn)品數(shù)量;

(2)在上述抽取的40 件產(chǎn)品中任取2件,設X為質(zhì)量超過505 g的產(chǎn)品數(shù)量,求X的分布列;

(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品,設Y為質(zhì)量超過505 g的產(chǎn)品數(shù)量,求Y的分布列。

22.(本小題12分)為了宣傳航空科普知識,學校組織了航空知識競賽活動,活動規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機抽取4道題進行解答。假設在8 道備選題中,小明正確完成每道題的概率都是,且每道題正確完成與否互不影響;小宇能正確完成其中6道題,且另外2道題不能完成。

(1)求小明至少正確完成其中3 道題的概率;

(2) 設隨機變量X表示小宇正確完成題目個數(shù),求X的分布列及數(shù)學期望;

(3) 現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進入決賽,請你根據(jù)所學概率知識,判斷小明和小宇兩人中選擇誰去參加市級比賽(比賽規(guī)則不變)會更好,并說明理由。