探討離散型隨機變量的兩種“分布”

■河南省商丘市第一高級中學 王 威

離散型隨機變量及其分布是高中數學的重要知識,上承必修課程中的概率內容,以排列組合為工具進行分析與運算,該部分內容是發展和提升學生的數學建模、數學運算、數據分析等核心素養的良好素材。教材中對離散型隨機變量,主要研究其分布列及數字特征,并對二項分布和超幾何分布進行重點研究。通過用隨機變量描述和分析隨機試驗,讓同學們學會解決一些簡單的實際問題,進一步體會概率模型的作用及概率思想和方法的特點。下面著重探討二項分布和超幾何分布的相關知識。

一、n 重伯努利試驗

1.n重伯努利試驗:將一個伯努利試驗獨立重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗。

2.n重伯努利試驗的共同特征:

(1)同一個伯努利試驗重復做n次;

(2)各次試驗的結果相互獨立。

二、二項分布

1.二項分布:一般地,在n重伯努利試驗中,設每次試驗中事件A發生的概率為p(0＜p＜1),用X表示事件A發生的次數,則X的分布列為p)n-k,k=0,1,2,…,n。

如果隨機變量X的分布列具有上述的形式,則稱隨機變量X服從二項分布,記作X～B(n,p)。

注意兩點:

(1)由二項式定理可知,二項分布的所有概率之和為1;

(2)由兩點分布與二項分布的關系知,兩點分布是只進行一次的二項分布。

2.有關二項分布的實際應用類問題的求解步驟。

(1)根據題意設出隨機變量;

(2)分析隨機變量服從二項分布;

(3)求出參數n和p的值;

(4)根據二項分布的均值、方差的計算公式求解。

解決此類問題首先要判斷隨機變量X是否服從二項分布,若服從二項分布,方可代入相應的公式求解。若隨機變量不服從二項分布,看能否找出與之相關聯的、并且服從二項分布的另一個隨機變量,進而求解。

3.二項分布的均值與方差。

(1)若X服從兩點分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p)。

(2)若X～B(n,p),則E(X)=np,

D(x)=np(1-p)。

三、超幾何分布

1.超幾何分布:一般地,假設一批產品共有N件,其中有M件次品,從N件產品中隨機抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產品中的次品數,則X的分布列為P(X=

其中,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}。

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式,那么稱隨機變量X服從超幾何分布。

(1)在超幾何分布的模型中,“任取n件”應理解為“不放回地一次取一件,連續取件”。

(2)超幾何分布的特點:①不放回抽樣;②考察對象分兩類;③實質是古典概型。

2.超幾何分布的分布列。

求超幾何分布的分布列的步驟:

(1)驗證隨機變量服從超幾何分布,并確定N,M,n的值;

(2)根據超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時對應的概率;

(3)寫出分布列。

四、二項分布與超幾何分布的區別與聯系

由伯努利試驗得出二項分布,由古典概型得出超幾何分布,這兩個分布的區別與聯系如下。

(1)若采取有放回抽樣,則隨機變量服從二項分布;若采用不放回抽樣,則隨機變量服從超幾何分布。

(2)二項分布和超幾何分布都可以描述隨機抽取的n件產品中次品數的分布規律,并且二者的均值相同,但超幾何分布的方差較小,說明超幾何分布中隨機變量的取值更集中在均值附近。

(3)對于不放回抽樣,當n遠遠小于N時,每抽取一次后,對N的影響很小,此時,超幾何分布可以用二項分布近似代替。

考點一 二項分布

例1若隨機變量,則E(2X+1)=( )。

A.2 B.3 C.4 D.5

解析：因為,所以E(X)=2,E(2X+1)=2E(X)+1=5。

選D。

考點二 超幾何分布

例2現對某高校64名籃球運動員在多次訓練比賽中的得分情況進行統計,將每位運動員的平均成績所得數據用頻率分布直方圖表示,如圖1。(如:落在區間[10,15)內的頻率/組距為0.012 5)規定分數在[10,20)、[20,30)、[30,40)上的運動員分別為三級籃球運動員、二級籃球運動員、一級籃球運動員,現從這批籃球運動員中利用分層抽樣的方法選出16 名運動員作為該校的籃球運動員代表。

圖1

(1)求a的值和選出籃球運動員代表中一級運動員的人數;

(2)若從該校籃球運動員代表中一次選出3人,求其中含有一級運動員人數X的分布列;

(3)若從該校籃球運動員代表中有放回地選3人,求其中含有一級運動員人數Y的期望。

解析：(1)由頻率分布直方圖知,(0.062 5+0.050 0+0.037 5+a+2×0.012 5)×5=1,解得a=0.025 0。

其中選出的籃球運動員代表為一級運動員的概率為(0.012 5+0.037 5)×5=0.25,故選出籃球運動員代表中一級運動員有0.25×16=4(人)。

(2)由已知可得X的可能取值分別為0,1,2,3。

X的分布列如表1。

表1

考點三 二項分布與超幾何分布綜合運用

例3春節期間,某大型商場舉辦有獎促銷活動,消費每超過600 元(含600 元)均可抽獎一次,抽獎方案有兩種,顧客只能選擇其中的一種。方案一:從裝有10 個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球2 個,白球1個,黑球7個)的抽獎盒中,一次性摸出3 個球,其中獎規則為,若摸到2個紅球和1個白球,享受免單優惠;若摸出2個紅球和1個黑球,則享受5折優惠;若摸出1個白球和2個黑球,則享受7折優惠;其余情況不打折。

方案二:從裝有10 個形狀、大小完全相同的小球(其中紅球3 個,黑球7 個)的抽獎盒中,有放回地每次摸取1 個球,連摸3 次,每摸到1次紅球,立減200元。

(1)若兩個顧客均分別消費了600元,且均選擇抽獎方案一,試求兩位顧客均享受免單優惠的概率;

(2)若某顧客消費恰好滿1 000元,試從概率角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算。

解析：(1)設顧客享受到免單優惠為事件A,則

(2)若選擇方案一,設付款金額為X元,則X可能的取值為0,500,700,1 000。

X的分布列如表2。

表2

若選擇方案二,設摸到紅球的個數為Y,付款金額為Z,則Z=1 000-200Y。

所以E(Z)=E(1 000-200Y)=1 000-200E(Y)=820(元)。

因為E(X)＞E(Z),所以該顧客選擇第二種抽獎方案更合算。