高中數學基本不等式解題技巧

李浩

眾所周知，數學具有較強的復雜性、邏輯性，導致部分學生會產生畏難心理，難以感受到數學的趣味。在學習不等式的過程中，需要不斷積累經驗，并提高理論知識運用的能力，從而可以逐漸形成解題技巧，避免出現解題失誤或者效率低等問題。

一、高中數學中不等式的反證解題技巧

在不等式的解題中，反證解題技巧的應用相對廣泛。具體而言，此種技巧主要是在正難則反的前提下而形成的，可以在計算高中數學不等式的過程中，獲取十分理想的效果。采用此種解題技巧，能夠證明與不等式相關的問題，同時整個證明的過程具有便捷性、簡單性，從而在根本上提高解題效率。結合如下例題，對反證解題技巧的應用方式進行分析：

例1：已知a+b+c大于0，abc大于0，ad+bc+ac大于0。結合已知條件，求解：a大于0、b大于0、c大于0。

解析：在求解以上問題之前，需要對題目進行詳細分析。由于abc大于0，所以其中的a、b、c數值均不等于0。如果a小于0，bc小于0，那么滿足條件a+b+c大于0，同時b+c大于-a，最終的結果則是a（b+c）小于0。需要注意的是，結合題目條件與上述分析發現，ad+bc+ac+a（b+c）+bc的和小于0，而此結果與題目條件相互沖突，因此上述假設并不成立。也就是說，a大于0、b大于0，同時c的數值也必須大于0，完成證明。

二、高中數學中不等式的性質解題技巧

在對不等式進行解析的過程中，可以實現對不等式性質的合理運用。實際上，這一解題方式是最為基礎的，能夠在很多類型的題目中得到應用。例如：不等式具有傳遞性，如果a大于b，b大于c，則意味著a大于c。另外，不等式還具備可加性的特點，加深a大于b，那么a+c必然大于b+c，同時ac也同樣大于bc。結合如下例題，實現對不等式性質應用方式的分析。

例2：已知有n個圓，每兩個圓會在兩點相交，每3個圓不會在同一點相交。請證明：這n個圓將平面分成的部分為f（n）=n2-n+2。

解析：在證明f（n）=n2-n+2公式成立的過程中，可以采用歸納法的方式。等n等于1時，f（1）等于2。因此，當n等于1時，存在公式n2+n+2等于2成立，因此命題是成立的。另外，也可以假設n等于k，同時第k+1個圓的圓心用O表示，并結合題目的條件進行后續的證明。通過以上兩種不同的方式，均可以證明f（n）=n2-n+2成立，其中實現了對不等式性質的合理運用，從而有效降低題目的難度，對于獲取正確的證明結果具有重要意義。

三、高中數學中不等式的換元解題技巧

在分析不等式的過程中，可以將其式子看作整體，然后使變量對其進行替換，從而讓問題的解題更加簡便。此種解題方式，便可以稱之為換元法，實現對不等式的轉化。在這一過程中，需要重視置換元、構建元兩個要素。具體而言，換元法是以等量代換為基礎的進一步延伸，可以實現對研究對象的變換，實現對問題的轉移。另外，換元法還可以叫做輔助元素法，即在不等式中引入全新的變量，實現對分散條件的綜合處理，并使其中的隱藏條件凸顯出來?；蛘呓忸}期間將結論、條件結合起來，使其成為最為熟悉的結構，為解題提供便利。

例3：已知a大于b大于c，請證明：[1（a-b）+1（b-c）≥4（a-c）]。

解析：結合題目的條件與換元法的原則，可以令a-b等于x、b-c等于y。因此，a-c等于x+y，同時x、y的數值均大于0。在對原不等式進行轉化以后，可以得出如下不等式：1/x+1/y大于等于4/（x+y）。因此，在證明不等式的過程中，只需要確保（x+y）/x+（x+y）/y大于等于4，1+y/x+1+x/y大于等于4即可。同時，還需要證明y/x+x/y大于等于2且恒成立。通過此種方式，便可以結合的題目條件與換元法的方式，完成對[1（a-b）+1（b-c）≥4（a-c）]的證明。

四、結語

綜上所述，不等式是高中數學的重點、難點，經常會出現在習題、考試中。為了避免此種問題的出現，需要結合題目的類型，實現對不同解題技巧的合理應用，從而以最快、最準確的方式得到最終結果。

（責編 ?唐琳娜）