基于GeoGebra軟件構建《高等數學》曲面動態化圖形資源

邢維 裴紅梅

摘 要：GeoGebra是一款新興的功能強大的動態數學軟件，它可以直觀、形象、動態、交互地演示數學中的知識.《高等數學》曲面的教學過程中一般采用的是傳統的灌輸式方法，忽視曲面動態演示，學生會覺得曲面的知識枯燥乏味，不容易理解.使用GeoGebra軟件針對曲面這一節的內容進行動態資源建設，展示旋轉曲面、柱面的形成過程，以及常見的二次曲面的截痕，提高學生的學習效果.

關鍵詞：曲面；GeoGebra；動態演示

1 GeoGebra軟件介紹

GeoGebra是2002年由美國佛羅里達州亞特蘭大大學教授Markus Hohenwarter研發的一款數學軟件.它在全球190多個國家中有著廣泛的應用，被30多個國家寫入中小學的教科書.GeoGebra是由兩個英文單詞“Geometry”和“Algebra”組合成的，是一款兼具“幾何”和“代數”這兩個功能的軟件.它的優點如下：

（1） GeoGebra是一款具有中文簡體版本的免費軟件，操作簡單，不需要使用者擁有任何編程水平，也不需要學習專門的課程，自己領悟即可.

（2） GeoGebra不僅具有代數和幾何功能，還擁有表格、3D計算、概率統計、微積分等功能.GeoGebra是一款功能齊全的動態教學軟件，可以導出GIF圖像，不需使用視頻播放器就可以在PC端使用，方便教學.

（3） GeoGebra具備三維功能，作出的圖形不僅直觀形象并且交互性強.

2 《高等數學》曲面的地位與教學現狀分析

2.1 曲面在《高等數學》中的地位

曲面是《高等數學》的主要內容之一，有著非常重要的地位.曲面的價值有下列幾點：

（1） 促進學生理解數形結合的思想，將學過的多元函數和向量等知識聯系起來，形成系統的知識體系.

（2） 曲面在《高等數學》中，有著非常重要的作用，曲面的學習為學生后續學習多元函數的微分和積分提供基礎知識，使學生更好地計算多元函數微積分問題.

2.2 曲面的教學現狀

（1） 在目前的教學模式中，教師的教學方法采用的仍然是傳統的灌輸式為主的教學方法，不重視演示過程，忽視了學生對曲面思維能力的培養.

（2） 在課堂教學中，學生忽視曲面動態演示，覺得曲面的知識枯燥乏味，不容易理解，接受起來困難.

因此，不難發現曲面教學中存在的問題是教師雖然對知識體系理解深刻，但是信息技術水平有限，導致在課堂教學中一般采用傳統的教學方式，以灌輸為主，從而讓學生感到曲面的知識單調難以理解.

3 GeoGebra軟件構建曲面動態化圖形

曲面的知識是《高等數學》空間解析幾何的重要組成部分.將幾何圖形用代數語言描述，將幾何問題轉化為代數問題進行運算，得到結果，再將代數結果轉化為幾何結論，這就是曲面的核心思想，即數形結合的思想.

教師在講授曲面的過程中，注重公式方程的記憶，卻忽略了知識的生成，使學生對曲面的定義的理解不夠透徹，有畏難情緒.

下面設計基于GeoGebra環境下的曲面的動態化圖形.

3.1 旋轉曲面

定義1：平面上的一條曲線繞該平面上的某一直線旋轉一周后生成的曲面叫做旋轉曲面，該曲線稱為旋轉曲面的母線，直線稱為旋轉曲面的旋轉軸.

設曲線C為坐標面yOz上的一曲線，其方程為

f（y，z）=0，

該曲線繞坐標軸z軸旋轉一周，得到一以z軸為旋轉軸的旋轉曲面，其方程為

f（±x2+y2，z）=0.

下面用GeoGebra展示旋轉曲面的生成過程.

首先選擇一條合適的曲線，其參數方程表達式為

x=0y=t24+1z=t， -2.5≤t≤2.5，

要使用基本語法：曲線（＜表達式＞，＜表達式＞，＜表達式＞，＜參變量t＞，＜起始值＞，＜終止值＞）.在曲線上任意取一個點，使用基本語法：描點（＜對象＞）.這樣的點可以在幾何對象上任意移動.創建滑動條，使用基本語法：角度，區間最小0°，最大360°，增量1°.打開3D繪圖區，在輸入框依次輸入上述指令.

繪制曲線上的點繞z軸旋轉一周之后的軌跡，用滑動條控制動態旋轉過程.使用基本語法：曲面（＜曲線＞，＜度|弧度＞，＜直線＞）.這就完成了曲線繞坐標軸旋轉一周形成的旋轉曲面的動態過程.

控制滑動條，利用GeoGebra動態展示旋轉曲面的生成過程，通過動態演示體現曲線上任一點的旋轉軌跡和曲線的旋轉軌跡之間的關聯性，有助于學生形成完整的知識體系.

3.2 柱面

定義2：一條直線L沿著曲線C平行移動后形成的軌跡稱為柱面，該曲線C稱為柱面的準線，直線L稱為柱面的母線.

下面以拋物柱面為例，通過GeoGebra動態展示拋物柱面的生成過程，有助于學生數形結合思想的形成.

設置點C為焦點，直線f為準線，構造一條拋物c.使用基本語法：描點（＜數值列表＞），拋物線（＜點＞，＜直線＞）.滑動條基本語法：數值，區間最小0，最大1，增量0.1.沿著z軸平移拋物線形成拋物柱面，使用基本語法：平移（＜對象＞，＜向量＞），通過控制滑動條，動態演示拋物線c沿z軸平移生成拋物柱面的過程.

3.3 二次曲面

F（x，y，z）=0三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面.通常采用截痕法來研究二次曲面的形狀.

下面以橢圓拋物面為例，通過GeoGebra動態展示用截痕法確定其形狀.

橢圓拋物面方程為x2a2+y2b2=z.

GeoGebra繪制橢圓拋物面基本語法：x^2/（a^2）+y^2/（b^2）=z.創建滑動條a和b，基本語法：數值，區間最小-5，區間最大5，增量0.1，滑動條a和b控制橢圓拋物面的“胖瘦”.

通過GeoGebra軟件動態演示平面x=m與橢圓拋物面的截痕.基本語法：0*y+x+0*z=m，創建滑動條m，基本語法：數值，區間最小-2，區間最大2，增量0.1.通過控制滑動條m，動態演示平面x=m與橢圓拋物面的截痕為拋物線.

通過GeoGebra軟件動態演示平面y=n與橢圓拋物面的截痕.基本語法：y+0*x+0*z=n，創建滑動條n，基本語法：數值，區間最小-2，區間最大2，增量0.1.通過控制滑動條n，動態演示平面y=n與橢圓拋物面的截痕為拋物線.

通過GeoGebra軟件動態演示平面z=p與橢圓拋物面的截痕.基本語法：0*y+0*x+z=p，創建滑動條p，基本語法：數值，區間最小0，區間最大2，增量0.1.通過控制滑動條p，動態演示平面z=p與橢圓拋物面的截痕為橢圓.

通過GeoGebra軟件的動態演示，可以更好地幫助學生理解橢圓拋物面的概念.

在傳統的曲面教學過程中，教師只是將知識灌輸給學生，學生總是被動地接受知識，這樣不能夠幫助學生主動的構建知識.然而利用GeoGebra軟件輔助曲面的教學，不僅為學生提供了一個良好的學習環境，同時也促進了學生對曲面知識的主動構建，使學生更好地認識和理解數學知識的本質.

4 總結

利用GeoGebra軟件輔助曲面教學可視化效果更好，不僅將概念的形成過程可視化，讓學生更好地吸收，同時讓學生參與到知識的探索中，培養學生的探索精神和創新思維，增加了課堂的趣味性和學生的活躍性.

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