“八會”奠基礎，能力全提升

顧彥

摘 要：二項式定理在近年高考數學試卷中經常出現，在面對創新性強，運算量大的問題時，要注意系統掌握破解二項式定理的技巧方法，結合條件加以正確處理.本文結合實例，就二項式定理的“八會”技巧方法加以剖析，形成知識網絡體系，引領并指導數學學習與復習備考.

關鍵詞：二項式定理；公式；技巧；賦值；分類討論

二項式定理是高中數學中較為獨特的一部分知識，也是高考數學中的一個重要考點，教材只是簡單地講述該定理的推導、性質及應用等，往往導致教師與學生產生簡單化傾向，只是停留在熟記公式、會代公式等初步階段.認真分析教材和習題，就能發現二項式定理的相關內容豐富地展示了待定系數法、構造法、特殊值法和逆向思維等中學數學的基本思想與方法，是學習數學思想方法、提高思維能力的好機遇.結合實例，從二項式定理學習的“八會”入手，充分學好二項式定理.

1 會正用公式

公式的正向應用，從左到右，實現公式自身的一個合理思維過程.

正用公式，就是直接正向套用二項式定理的公式，或利用二項式定理直接展開，或利用展開式的通項公式加以運算與應用等.

例1 （2021年高考數學天津卷·11）2x3+1x6的展開式中，x6的系數是_____________.

分析：根據條件，利用二項式定理的通項公式加以展開與化簡，令其中自變量x的指數為6，構建關系式進而確定參數r的值，代入化簡后的展開式的通項公式即可確定所求項的系數.

解析：由展開式的通項公式Tr+1=Cr6·（2x3）6-r·1xr=Cr6·26-r·x18-4r，

令18-4r=6，解得r=3，因此x6的系數是C36·23=160，故填答案160.

點評：熟練掌握二項式定理的展開式或展開式的通項公式，為正用公式提供最為堅實的基礎.正用二項式定理的公式，也是最基本、最簡單的應用方式之一，要做到正確、靈活、熟練.

2 會逆用公式

公式的逆向應用，從右到左，從另一個視角實現公式自身的一個合理思維過程.

逆用公式，即逆向套用二項式定理的公式，在展開式的化簡、求值、整除等一些方面的應用中經常涉及.熟練掌握二項式定理，并合理把握展開式中的元素關系，為逆用公式的逆向思維提供廣闊的空間.

例2 設n∈N*，則C0n·1n·80+C1n·1n-1·81+C2n·1n-2·82+C3n·1n-3·83+…+Cn-1n·11·8n-1+Cnn·10·8n除以9的余數為（? ）.

A. 0

B. 8

C. 7

D. 2

分析：根據題設條件，充分把握條件中展開式的結構特征與變化規律，借助二項式定理，通過逆用二項式定理的公式加以轉化與化簡，進而得以簡單快捷判斷相應的整除性質與應用問題.

解析：由于C0n·1n·80+C1n·1n-1·81+C2n·1n-2·82+C3n·1n-3·83+…+Cn-1n·11·8n-1+Cnn·10·8n=（1+8）n=9n，

所以上式除以9的余數為0，故選A.

點評：逆用公式是在正用公式的基礎上進一步加以提升與深入的，要求具備更加靈活多變的觀察力與把握力.逆用公式是逆向思維的訓練與展示，能充分加深學生對二項式定理的理解和應用，培養學生的觀察能力與綜合應用能力.

3 會變用公式

公式的變形是借助公式自身的特點，合理巧妙恒等變化，用于處理一些特殊情況下的數學問題.

在解決一些復雜的創新綜合應用問題時，有不少問題需要將數或式進行合理變形后，通過變用公式，再運用二項式定理加以綜合與處理.變用公式經常涉及配湊法、整體思維法、拆分法等技巧的應用.

例3 已知（x+1）4+（x-2）8=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a8（x-1）8，則a3=（? ）.

A. 64

B. 48

C. -48

D. -64

分析：根據題設條件，通過條件中的等式左邊與右邊展開式的特征與關系，以x-1為整體確定對應的元素，進而將等式左邊中的二項式進行合理配湊，構建涉及元素x-1的展開式，進而加以分析與處理.

解析：由（x+1）4+（x-2）8=［（x-1）+2］4+［（x-1）-1］8=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a8（x-1）8，

可得a3·（x-1）3=C14·（x-1）3·2+C58·（x-1）3·（-1）5，

所以a3=8-C58=-48，故選C.

點評：抓住題設條件中不同關系式之間的特征與關系，加以合理配湊、整體思維、拆分等處理，進而變用公式，達到靈活巧妙應用二項式定理的目的.變用公式，對于學生的問題分析能力、觀察能力等都有較高的要求，還要求熟練掌握一些基本的變形技巧.

4 會特殊賦值

二項式定理中的二項展開式，是同類問題中的一個基本形式，在具體解決問題中，經常可以結合題目條件加以特殊化處理，這也是一般性思維與特殊性思維之間的聯系.

特殊賦值是通過自變量x取特殊值（經常是0，1，-1等）代入二項式，進而加以進一步分析與求解，經常會有多次特殊賦值的情況發生.二項式定理的特殊形式，是在特定參數取值情況下對應成立的一個等式，也是從一般到特殊的數學思維方法訓練與考查的一個絕好場景.

例4 （2022年高考數學北京卷·8）若（2x-1）4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，則a0+a2+a4=（? ）.

A. 40

B. 41

C. -40

D. -41

分析：根據二項展開式的特征，分別令x=1，x=-1，代入二項式得到兩個相應的等式，結合所求的結論，再把兩個等式對應相加并整理即可求解.正確洞察所求代數式與二項展開式之間的關系，為特殊賦值提供條件.

解析：令x=1，代入可得1=a4+a3+a2+a1+a0；令x=-1，代入可得81=a4-a3+a2-a1+a0.

以上兩式對應相加，則有2（a4+a2+a0）=82，解得a4+a2+a0=41，故選B.

點評：特殊賦值在二項展開式中涉及一些求解參數值、代數式的值等方面都有很好的表現.破解的關鍵就是敏銳觀察二項展開式與所求結論之間的聯系，通過特殊值可以構建兩者之間的聯系，進而為特殊賦值的應用提供場所.在特殊賦值過程中，可以充分培養學生的觀察能力和靈活性.

5 會分類討論

分類討論思想作為數學學科中一個最基本的思想方法，在很多問題中都有其應用的場景，關鍵是合理分類，不遺漏不重復.

涉及二項式定理的乘積、加減等運算問題中，經常離不開分類討論思想的應用.抓住問題實質，主次合理分開，條件綜合考慮，分類討論靈活應用，化繁雜為精細，先分再合，逐一分析，最后綜合求解.

例5 （2022年高考數學新高考Ⅰ卷·13）1-yx（x+y）8的展開式中x2y6的系數為_____________（用數字作答）.

分析：根據題設條件，在二項式定理的創設情境下，要將求解“展開式中x2y6的系數”問題進行簡化，通過兩代數式1-yx與（x+y）8的展開式之間的乘積，分類討論進行化繁為簡處理.

解析：由于（x+y）8的通項公式為Tr+1=Cr8x8-ryr，

當r=6時，T7=C68x2y6；當r=5時，T6=C58x3y5，

所以展開式中x2y6的系數為C68-C58=28-56=-28，故填答案-28.

點評：借助分類討論來處理二項式定理中的相關問題，經常是將復雜問題加以細化，轉化為幾個互不影響的式子，通過分類討論進行逐一分析，從而降低思維難度與知識層次，先分開再綜合，進而確定對應代數式的系數或其他相關問題，從而實現問題的解決.

6 會活用系數

概念之間的聯系與區分，對于問題的分析與解決起著決定性的作用，特別是一些比較容易混淆的概念，要加以正確理解與應用.

二項式定理中展開式的二項式系數與系數，是其靈活應用的重要體現，合理構建關系式，是高考考查的一個重點內容.

例6 （2022年高考數學上海卷·7）二項式（3+x）n的展開式中，x2項的系數是常數項的5倍，則n=_____________.

分析：根據二項式定理中對應項展開式的系數與常數項的關系，靈活確定相關的系數，結合題設條件合理構建對應的關系式，通過組合數公式的應用以及方程的求解，進而確定對應的參數值.

解析：依題意，可得C2n×3n-2=5C0n×3n，即n（n-1）2=5×9，解得n=10，故填答案10.

點評：正確區分二項式定理展開式中的相關項的二項式系數與系數的區別，以及二者與常數項等的概念，靈活應用對應的公式來正確確定相關的系數，為進一步的綜合與應用提供條件.

7 會數學建模

數學建模就是一個把實際問題經過相應的分析、抽象、概括后，借助數學語言、數學概念、數學符號或數學公式等來表述成數學問題，進而借助數學知識來解決的過程.

在解決一些復雜的二項式定理問題中，經常借助一些給出展開式相關項的特征來進行合理的數學建模，利用組合的數學模型（或其他模型）特征來分析與處理問題，是數學建模解決二項式問題的一種技巧方法.

例7 2x+1x-35的展開式中常數項是_____________.

分析：根據題設條件，通過組合的數學模型的構建，將二項展開式看作對應的五個關系式相乘，利用展開式中常數項的不同構建情況分三種情況來展開與正確抽取，結合組合來分析與求解.

解析：2x+1x-35表示五個2x+1x-3相乘，則展開式中的常數項由三種情況產生，

一種是從五個2x+1x-3中分別抽取2個“2x”，2個“1x”，1個“-3”，則此時的常數項為C25·C23·22·（-3）=-360；

第二種情況是從五個2x+1x-3中都抽取“-3”，則此時的常數項為C55（-3）5=-243；

第三種情況是從五個2x+1x-3中分別抽取1個“2x”，1個“1x”，3個“-3”，則此時的常數項為C15·C14·21·（-3）3=-1080.

所以展開式中常數項為-360-243-1080=-1683，故填答案-1683.

點評：以上問題中，根據組合模型特征，從相關二項式所對應的因式中按要求提取相關的因式進行數學建模處理，通過組合計數的合理建模達到滿足條件的目的.巧妙將題設場景與對應的數學模型加以合理構建，是運用數學建模處理數學問題的關鍵步驟與精華.

8 會求導轉化

導數的應用，為解決函數的基本性質問題提升了高度與寬度，當然在解決一些與函數有關的三角函數、數列、排列組合與二項式定理等問題中，也有其應用的場所.

在解決一些復雜的二項式定理的創新綜合應用問題中，由于問題考慮的復雜性或多面性，經常可以合理構建二項展開式，進行式子的兩邊求導處理，利用求導（或二次求導等）后的關系式特征，結合相關的技巧方法來進一步分析與處理.

例8 （2021年普通高等學校招生全國統一考試模擬演練（八省聯考）數學·6）（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展開式中x2的系數是（? ）.

A. 60

B. 80

C. 84

D. 120

分析：利用求導法破解本題的關鍵是設出二項展開式，把確定展開式中x2的系數問題轉化確定a2的值問題，利用等式兩邊同時取導數處理，兩次求導解決，加以賦特殊值處理，進而得以確定a2的值.

解析：設二項式（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a9x9，

以上等式兩邊同時取導數，可得2（1+x）+3（1+x）2+…+9（1+x）8=a1+2a2x+3a3x2+…+9a9x8，

以上等式兩邊再次同時取導數，可得2+3×2（1+x）+…+9×8（1+x）7=2a2+3×2a3x+…+9×8a9x7，

令x=0，可得2+3×2+…+9×8=2a2，即a2=12（2×1+3×2+4×3+5×4+6×5+7×6+8×7+9×8）=120，故選D.

點評：在一些有規律的多項式的加式、積式等綜合應用中，合理采用求導法，可以進行降冪處理，綜合特殊賦值法的應用，往往在解決一些特殊二項式定理問題中有奇效.求導法處理二項式定理問題，也為破解二項展開式中的相關問題提供更加廣闊的場景.

9 總結

在二項式定理的教學與學習中，應認真做好基本方法的梳理工作，精心配置例題和習題，進行二項式定理的相關知識、方法和技巧的訓練，通過對二項式定理中二項展開式的正用、逆用、變用等，進而學會合理賦值處理、分類討論，更加深入地活用系數、數學建模以及求導轉化等，才能真正全面理解、掌握與應用二項式定理.同時，二項式定理的應用技巧方法與策略，對我們數學思維的發展、數學能力的提升和數學素養的培養等都是十分有益的.

參考文獻：

［1］ 王位高.二項式定理高考考法探析［J］.廣東教育（高中版），2022（11）：20-23.

［2］ 孫承輝.二項式定理典型考題例析［J］.中學生數理化（高考數學），2022（11）：33-34.