淺談化歸思想在解方程組中的應用

何玉龍

摘 要：化歸思想是中學數學中一種常見的數學思想，在每年的中考中都有涉及.本文以蘇科版七年級下冊解方程組為例，在學生有了對一元一次方程認識的基礎上，對二元一次方程組的代入消元法進行探索，培養學生主動學習的能力，激發學生的求知欲，讓學生初步體驗化歸思想，有效強化學生對化歸思想在解方程組中的認識與把握.

關鍵詞：化歸思想；解方程組；代入消元法

化歸思想在我們的日常生活中經常會被用到.所謂化歸思想，即是轉化和歸結，化未知為已知，化繁為簡，化難為易.回顧我們處理數學問題的過程和經驗不難發現，化歸其實是將沒有見過或者復雜的問題轉化成已學過的或者簡單的問題來解決.往往我們在對一些陌生問題不知如何下手時，就需要將它轉化成比較熟悉的問題情境，這樣既可以解決問題，又能調動學生的學習熱情.化歸方法是我們解決問題的一種常規方法，其基本思想是：當遇到一個沒有見過的數學問題時，通常會將這個待解決的問題A借助于某種方法轉化為我們熟悉的問題B，而問題B是可以解決的或者可以繼續轉化為我們熟悉的問題，這樣就可以通過解決一個熟悉問題得到原問題的答案.用框圖可直觀表示為：

下面就化歸思想在中學數學《解二元一次方程（1）》中的應用，談談自己的教學設計.

1 教學概述

《解二元一次方程組（1）》是我們對七年級下冊解一元一次方程的鞏固和延伸，在這里面我們通過利用等式的基本性質，將兩個不同的未知數轉化為一個未知數，這種方法是解方程組的一種基本解法，也為今后學習解多元方程組的內容奠定基礎.

2 教學目標

1. 通過具體實例，感受解二元一次方程的必要性；

2. 會用代入消元法解二元一次方程組；

3. 了解二元一次方程組的消元方法，經歷從“二元”到“一元”的轉換過程；

4. 體會解二元一次方程組中化“未知”為“已知”的轉化思想.

3 教學環節

3.1 創設情境，出示問題

問題1：參考學校籃球的比賽規則，每一場比賽都需要決出勝負，而且獲勝的一隊可以加2分，輸的一隊加1分.如果某學校想要取得靠前的名次，想在12場比賽中獲得20分，請問：這個隊勝、負場數應該各是多少？

師生活動：學生根據已有的經驗，通過列一元一次方程求解后，得出結論.

解：設這個隊勝了x場，負了（12-x）場.

根據題意，得2x+（12-x）=20.

解得x=8.

12-x=12-8=4

答：這個隊勝了8場，負了4場.

教師總結：這其實就是由問題到方程的模型，體會方程在解決實際問題中的作用與價值.

追問1：運用以前的方法，我們還能想出其他辦法嗎？

師生活動：這一環節中，教師應該留出充足的時間，讓學生自主思考、探究，嘗試，通過不同同學的講述，不斷引導、更正，不少學生可以觀察出，一個未知數可以，同樣兩個未知數也行，進而大膽地列出兩個不同的方程.如果這個隊勝了x場，負了y場，根據題意，得x＋y＝12，

2x＋y＝20.教師首先肯定學生的做法，然后告知學生解應用題不但可以用一元方程，同樣也可以用二元方程組.

設計意圖：在這個題目方法中，老師可以借助這兩種方法的比較來激發學生的求知欲，讓學生能夠清楚地認識到一元一次方程和二元一次方程組都能解決我們生活中的實際問題.

追問2：那么怎樣求二元一次方程組的解呢？

師生活動：學生觀察、思考、感悟. 教師說明解二元一次方程組是這節課的重點.

3.2 探索比較，體會化歸

問題2：二元一次方程組x＋y＝12，

2x＋y＝20與一元一次方程2x+（12-x）=20之間有什么關聯？

師生活動：學生通過對比觀察發現：二元一次方程組中有兩個未知數，可以利用等式的性質將方程x+y=20變形為y=12-x，將方程2x+y=20中的y換為12-x，這個方程就轉化為一元一次方程2x+（12-x）=20.

教師總結：二元一次方程組可以轉化為解一元一次方程，這里面運用了消元的化歸方法，也就是把沒有學過的知識點向已有的知識轉化，把復雜的問題簡單化.

設計意圖：留給學生足夠多的獨立思考和小組討論的時間和空間，讓他們探索不同的方法.學生能根據已有的知識儲備，在老師的啟發下觀察出問題的本質，關注方程之間的內在聯系，讓學生突破自己，尋求新的解決問題的策略，為掌握代入消元法解二元一次方程組的步驟及依據埋下伏筆，進而體會到化歸思想在數學學習中的地位.

問題3：從前面兩種方法的研究中，我們發現了什么？

師生活動：教師引導學生觀察兩個方程之間的聯系，并讓學生嘗試表達，當學生之間意見不一致時，可以采取小組討論的辦法最后一起得出答案.

教師總結：以后我們在解決問題的時候，往往不止一個未知數，那么就需要我們將多個未知數變的少一點、再少一點，變成一個未知數的想法就是消元思想，先將方程組中的一個未知數通過等式的性質變成含有另一個未知數的代數式，再代入另一個方程中去，這樣可以減少一個未知數，也就把解二元一次方程組的問題就轉化成了一元一次方程，這種方法統稱為代入消元法，簡稱代入法.

設計意圖：讓學生能從不同的方法中，找到內在的聯系.學生通過親自參與、小組的共同完成，最后的總結歸納，不斷加深對數學化歸思想的認識.

3.3 例題教學，示范引導

問題4：例1.用代入消元法解方程組

x＝y＋3，①

3x-8y＝14.②

師生活動：教師通過對學生的提問和學生的回答，最后給出規范的例題格式的書寫，引導學生發現和思考以下問題.

1. 需不需要利用等式的性質將一個未知數用另一個未知數表示？其目的是什么？

2. 方程①能否直接代入②？目的達到了嗎？

3. 只求出y＝-1，方程組解完了嗎？把y＝-1代入哪個方程求x的值較簡便？

4. 怎樣知道你運算的結果是否正確呢？

在學生的回答中，教師總結歸納易錯的地方.

設計意圖：教師展示例題，規范步驟及方法，起到示范作用.教師指出學生容易犯錯的地方，用不同顏色標記，引起學生的關注，起到正向引導的作用.同時在教學中教師要注重引導學生關注化歸思想在解二元一次方程組中的價值.

師生活動：學生獨立完成，教師請個別學生到黑板上板書，教師巡視，收集問題，并通過投影訂正.教師重點關注學生是否會將二元一次方程組轉化為一元一次方程，是否能準確求出結果.

設計意圖：鞏固練習，讓學生掌握這一類題的解法.

問題5：例2.用代入法解方程組2x-y＝5，①

3x＋4y＝2.②

師生活動：本環節比例1加深了一定難度，可以以教師為主，起到示范作用，也可以讓學生回答，教師板書，關注學生書寫過程中的問題，及時糾正.

設計意圖：通過和例1的比較，讓學生知道通常選擇系數比較簡單的二元一次方程來變形，這樣可以減少出錯率，也便于消元，為本節課的難點解決有效地縮短了時間.

3.4 鞏固練習，深化化歸

問題6：研究下面的方程，你能否用一個未知數來表示另一個未知數？

（1） 2x-y=3;

（2） 3x+y-1=0.

問題7：用代入法解方程組x-y＝3，

3x-8y＝14.

師生活動：學生獨立完成上面題目，并講解思路，教師也可以引導學生進行解二元一次方程組的驗證過程，將解代入到原方程組中即可.

設計意圖：問題6的設置是比較簡單的，便于學生操作，為代入消元作準備，這也是本節課的重點；問題7讓學生通過實踐，體會用代入消元法解方程組的一般過程及化歸思想，引發學生積極思考，使新知識更加系統化.

3.5 回顧反思，課堂小結

問題1：代入法的基本思路是什么？

問題2：小組合作，歸納代入法的一般步驟是什么？

問題3：代入法的主要思想是什么？

師生活動：對于問題1，學生可以自己總結，得到代入法的實質是消元，使兩個未知數轉化為一個未知數；對于問題2，教師可以引導學生回顧本節課例題的解題過程進行歸納；對于問題3，教師可以引導學生認識化歸思想，從已知到未知，由陌生向熟悉轉化這一重要化歸思想是研究數學問題的基本方法之一，接下來我們在學習解三元一次方程組的解法時也會用到.

設計意圖：這里的合作學習，讓學生充分觀察、討論，然后自然地歸納出步驟，比教師機械化地講給學生聽，要好得多，能讓學生完成知識的整合和提升.接下來，學生在討論交流的過程中，小組間可以發現問題，提出問題，然后所有學生一起參與進來并分析問題，最后可以形成良好的總結和歸納.學生這樣能夠很容易地接受代入消元法，體會化歸思想在解方程組中的重要性.最后教師通過對本節課用代入法解決二元一次方程組的歸納總結，讓學生在以后的解方程中更加得心應手，為以后解三元一次方程組以及多元方程組埋下伏筆.

4 教學反思

4.1 數學教學要注重數學思想和方法的培養

俗話說：“授人以魚，不如授人以漁”.數學知識很重要，但更重要的是以數學知識為載體所體現出來的數學思想和方法.就以本文為例，教師以生活情境籃球比賽規則問題為導向，經過和學生的互動，得到兩種不同的方程解法.第一種一元一次方程方法學生已經學過，處理起來比較簡單.第二種方法老師引導學生用兩個未知數列二元一次方程組來解決問題，學生不知道怎么解.這個時候老師就應該滲透數學思想——化歸.化歸的目的是在于通過向已有的知識經驗轉化，將一些陌生、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范、程序化、簡單的問題.解二元一次方程組可以利用等式的基本性質將一個未知數用另一個未知數表示，從而轉化成數學的一元一次方程.平時的教學經驗告訴我們，在教學的過程中，應該靈活運用化歸思想，正確引導學生不斷反思、總結，在不同問題中發現通法，學會舉一反三.同時，要求教師在平時的教學過程中，要從學生的認知發展水平和已有的知識經驗出發，實施有效的學習方法，在摸索中不斷總結歸納，從而完成本節課的教學任務.有效的教學課堂是以教師為主導，學生為主體的課堂，是師生共同互動的課堂.這樣有助于知識的火花不斷地碰撞、修正，從而催生出生動活潑的有效課堂.總之，化歸思想已經滲透到我們的日常的生活和課堂中.

4.2 數學教學要注重學生能力和品質的提升

化歸是一種數學思想，是對一些未知的、復雜的問題進行變形，而這種變形其實是有方向可循的.因此，我們要盯緊“目標”，轉化為已學過的知識來解決問題.本文以前面解一元一次方程已有的知識為起點，以兩個未知數方程組“如何解”為問題導向，讓學生通過研究發現可以通過減少未知數的個數，逐漸過渡到用一個未知數來表示另一個未知數，最終得到本課的思想方法——代入消元法，從而培養學生知識遷移的能力.本課關鍵是要抓住對“消元”“化歸”思想方法的講授，過程中應該注重學生的創新能力以及小組探究能力，有利于提高學生學習興趣，培養學生之間的合作能力，促進學生主體的發展［1］. 在向學生展示知識的發生、發展的過程中，應盡力向學生滲透化歸思想，培養學生運用化歸思想的能力，充分發揮化歸思想方法的指導作用.這對于學生形成良好的思維品質大有益處，也是進一步落實素質教育，培養學生的創新能力所必需的.

4.3 數學教學要注重師生關系和地位的建設

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者［2］.教師在數學教學的過程中，應該重視學生主體性和個性差異化的發展，摒棄傳統的教學模式，采用啟發式的教學模式.教師在教學的過程中應采用引導式、討論式等各種不同的教學方法，將知識以多種形式呈現給學生，這樣有助于培養學生發現問題的能力，通過小組之間自主學習、合作學習、探究學習，引導學生提出問題和分析問題，最后找到解決問題的方法.在教學過程中.教師要發揮主導作用，不能一味將知識硬塞給學生，要讓學生體驗“先發現、有想法、有思路、講出來”的過程，激發學生課堂主人翁的意識，這樣才能有效促進課堂的靈動性.

教材應為學生提供豐富的問題情境、充分的思考空間，讓學生經歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等數學活動過程，幫助學生感悟基本思想，積累基本活動經驗［2］.在數學教學過程中，教師必須要牢牢地抓住書本，了解這個階段學生的基礎認知水平，尋找符合學生的生活情境，發揮老師在課堂中的組織者、引導者、合作者的作用，打造一個生動活潑的課堂，讓學生真正認識到自己是學習的主人，同時教師也需要不斷地給自己充電，不斷加強個人業務能力的學習，提高自己的專業化水平和個人魅力，這樣才能積極調動學生的自主性、能動性和差異性，才能使課堂得到充分的展示.

參考文獻：

［1］ 齊欣.注重過程教學 促進主體發展：有理數加法運算律教學設計及反思［J］. 中學數學雜志，2018（4）：23-26.

［2］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.