初中數學解題中整體思想的應用策略

摘 要：新課程改革背景下，在初中數學教學中，教師應注重數學思想的滲透.整體思想是一種重要的數學思想方法，它是從整體的角度，將某個式子或者圖形看作整體，根據已知條件與問題之間的聯系，有意識地從整體角度解決問題.文章結合例題，探究整體思想在初中數學解題中的應用，希望為教師提供參考.

關鍵詞：整體思想；初中數學解題；應用策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0059-03

初中數學教學中，常見的數學思想比較多，整體思想是其中重要的思想之一，在解題中被廣泛地使用，對解決數學問題有著重要的作用.整體思想是通過對問題進行整體處理來解決問題的方法，其形式比較多，如整體代換、整體變形、整體設元等.借助整體思想，對問題進行深入分析，化繁為簡，有效解決數學問題［1］.

1 利用整體思想，解決代數式求值問題

代數式求值問題是中考中的常見題型，一般來說，學生通常采取逐一求解，之后代入解題，這樣的解題方式計算量比較大，而且很容易因為過程繁瑣出現錯誤.因此，教師可以引導學生利用整體思想，結合問題的條件或者結論，將其看作一個整體，通過等價代換的方式，深入分析問題，化繁為簡，完成解題［2］.

1.1 整體求解

例1 若a=4+3，b=4-3，求aa-ab-ba+b的值.

分析 此題在解答時，如果直接代入a、b的值，計算過程比較繁瑣.如果能夠對目標式進行變換、化簡，將a、b兩式相加或者相減，可以得到a+b和a-b的數值，之后整體代入化簡后的目標式中，求解出代數式的值.

解 ∵a=4+3，∴a+b=8，a-b=23，原式aa-ab-ba+b=（a）2a（a-b）-ba+b=aa-b-ba+b=a（a+b）-b（a-b）（a-b）（a+b）=a+ba-b=823=433.

1.2 分式求解

例2 已知1m-1n=3，試求解3m+4mn-3nm-2mn-n的值.

分析 此題如果從條件入手，不能逐一求解m、n的值.觀察未知式，其與已知條件的聯系不明顯，因此，可以對未知式進行整理，構造成1m-1n的形式，整體代入求解.

解 ∵1m-1n=3，∴n-mmn=3，即n-m=3mn，∴m-n=-3mn

∴原式3m+4mn-3nm-2mn-n=3（m-n）+4mn（m-n）-2mn=3×（-3mn）+4mn-3mn-2mn=-5mn-5mn=1.

1.3 降次求解

例3 已知x滿足x2-x-1=0，求解代數式-x3+2x2+2 014的值.

分析 對于此類求值問題，學生通常是先求解一元二次方程，不僅過程比較復雜，而且求解的根是無理數，代入所求代數式，由于代數式最高次是3次，求解難度比較大.因此，可以采取整體思想求解，對所求代數式進行轉化，根據已知變形代入，完成求解.

解 ∵x2-x-1=0，∴x2-x=1，

∵-x3+2x2+2 014=-x（x2-x）+x2+2 014=x2-x+2 014=2 015.

2 借助整體思想，解決方程及不等式問題

在初中數學解題中，部分方程問題和不等式問題比較復雜，面對這些問題，學生常常會無從下手.因此，教師可以結合題目結構特點，引導學生利用整體思想，明確問題解題思路，有效簡化解題過程，強化學生數學解題思維［3］.

2.1 解答方程（組）

例4 在實數范圍內解方程：2x2+3x-4=52x2+3x.

分析 在解此類方程問題時，不少學生會按照常規方式解題，先去分母，之后求解.這樣的解題方式出現的最高次是4次，解題的難度比較大.因此，可以采取整體思想進行解題，通過對方程進行觀察，利用整體換元的方式，將分式方程轉化為整式方程解題.

解 設y=2x2+3x，

∴方程2x2+3x-4=52x2+3x可以轉化為y-4=5y，即y2-4y-5=0，解得y=5或y=-1，當y=5時，2x2+3x=5，解得x1=-52，x2=1.

當y=-1時，2x2+3x=-1，解得x3=-12，x4=-1.

例5 如果關于x、y的二元一次方程組3x-my=52x+ny=6的解是x=1y=2，求解關于a、b的方程組3（a+b）-m（a-b）=52（a+b）+n（a-b）=6的解.

分析 在此題解答時，如果將x、y的值代入原方程，得出m、n的值，之后代入到第二個方程中求解a、b的值，解題過程比較繁瑣，很容易出現解題錯誤.因此，通過對第二個方程進行觀察分析，未知項的系數與原方程的相同，因此，可以將a+b、a-b各看作整體，它們的值與x、y相同，可以快速得出a、b的值.

解 根據題意得出a+b=1a-b=2，解得a=32b=-12.

2.2 解不等式（組）

例6 已知x+2y=4k+12x+y=k+2，且0＜x+y＜3，求k的取值范圍.

分析 此題解題時，如果直接求解方程組，之后代入不等式，求解k的取值范圍，從理論上來說是可行的，但是這樣的解題過程非常麻煩，難度非常大.因此，可以將題目中x+y看作一個整體，對方程組進行整理，再進行分析求解，解題過程比較簡單容易.

解 根據題意x+2y=4k+1……①2x+y=k+2……②，將①+②得出3x+3y=5k+3，

即x+y=53k+1，∵0＜x+y＜3，

∴0＜53k+1＜3，解得-35＜k＜65.

3 利用整體思想，解答圖形與幾何問題

圖形與幾何問題是初中數學解題中的重要題型，對于一些問題，采取常規方式很難解答.因此，教師可以引導學生觀察整體結構特點，從整體角度分析問題，化繁為簡，幫助學生快速找出解題思路，提高學生解題效率［4］.

3.1 求解圖形面積

例7 如圖1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，分別以AC、BC作為直徑畫半圓，求解圖中陰影部分的圖形面積.（結果保留π）

分析 此題如果采取常規方式解題，先分別計算陰影面積，之后求和，但由于陰影部分是不規則圖形，很難利用標準圖形面積公式進行計算.因此，可以利用差值方式，結合標準圖形解題.

解 設各個部分的面積為S1、S2、S3、S4、S5，如圖2所示，

∵兩個半圓的面積為S1+S4+S5+S2+S3+S4，△ABC的面積是S3+S4+S5，陰影部分的面積是S1+S2+S4，

∴圖中陰影部分的面積是兩個半圓的面積減去三角形的面積，即

S陰影=12×π×4+12×π×1-12×4×2

=52π-4.

3.2 解答幾何問題

例8 如圖3所示，在△ABC中，∠BAC=50°，BD是∠ABC的平分線，CD是∠ACB的平分線，求解∠BDC的度數.

分析 常規的解題方式是先求解出∠DBC、∠DCB，然后求解出∠BDC的度數.但是，根據題目中的已知，無法求解出相應角的度數，因此，可以采取整體思路，將∠DBC、∠DCB的度數看作整體，求解出兩個角的度數和，完成解題.

解 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，

∵∠BAC=50°，

∴∠ABC+∠ACB=130°，

∵BD是∠ABC的平分線，CD是∠ACB的平分線，

∴∠DBC=12∠ABC，∠DCB=12∠ACB，

∴∠DBC+∠DCB=12（∠ABC+∠ACB）=65°，

在△BDC中，∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°，

∴∠BDC=115°.

在初中數學解題中，教師需要注重數學思想的滲透，引導學生分析題目整體結構，明確問題解題方向，看出問題的本質，有效利用整體思想解題.在具體的教學中，教師應當結合具體例題，引導學生總結和反思，靈活利用數學思想，鍛煉學生數學思維，有效培養學生核心素養.

參考文獻：

［1］ 魏爽.整體思想在初中數學解題中的妙用［J］

.數理天地（初中版），2022（17）：87-88.

［2］ 程小芹.整體思想在初中數學解題中的應用［J］.語數外學習（初中版），2020（4）：28-29.

［3］ 林芹，陳豫眉.整體思想在初中數學解題中的應用：以“圖形與幾何”問題為例［J］.數學學習與研究， 2022（17）：62-64.

［4］ 張志華.登高望遠，學以致用：談“整體思想”在初中數學解題過程中的策略達成［J］.中學數學（初中版），2020（7）.60-61.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：湯永梅 （1977.9-），女，江蘇省灌云人，本科，中學一級教師，從事初中數學教學研究.