猜想歸納方法在初中數學學習中的應用策略

摘 要：猜想歸納法是初中數學教學中一種常用的方法，旨在幫助學生通過實例推斷普遍規律，以提高他們的數學思維和問題解決能力.通過猜想歸納法，學生可以從具體實例中發現數學規律，并逐步建立數學概念和知識.文章介紹如何有效地引導學生運用猜想歸納法，培養邏輯思維、分析和解決問題的能力.同時，還會探討如何在教學中注重數學證明和推理的過程，培養學生的嚴謹性和批判性思維.通過教學實踐和創新，我們可以更好地應用猜想歸納法，提高學生的數學學習效果.

關鍵詞：猜想歸納；初中數學；分析能力；教學策略

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2023）35-0056-03

猜想歸納法是在初中數學學習中常用的方法，它可以幫助學生從單個例子中得出普遍規律［1］.通過猜想歸納法，學生可以從具體的實例中獲取信息，并推斷出潛在的數學規律，這樣，他們就能夠逐步地建立數學概念和知識.在數學學習中，掌握猜想歸納法是非常重要的，因為它可以培養學生的邏輯思維和分析能力，幫助他們更好地理解數學概念，提高解決問題的能力.本文旨在介紹如何在初中數學教學中有效地應用猜想歸納法，以便幫助學生掌握這一重要的數學思維工具.

1 數式規律中的猜想與歸納

數式規律的猜想歸納方法是數學學習中的重要思維方式.一般來講，數式規律的猜想和歸納分為3個步驟：觀察給定數字或運算式子的特點與規律；做出猜想，并通過若干個例子進行驗證；通過對現象的歸納總結，描述規律的特征或者寫出表達式.

通過觀察和猜想，學生可以主動探索數學規律，培養他們的邏輯思維和問題解決能力.通過多個例子進行驗證，并通過歸納總結，學生可以形成準確的規律描述，提高他們對數學概念的理解和運用能力.這種積極主動的學習方式，有助于學生自信地面對數學問題，并培養他們的數學興趣.

例1 觀察下面各式：

（x-1）（x+1）=x2-1；

（x-1）x2+x+1=x3-1；

（x-1）x3+x2+x+1=x4-1；

x-1x4+x3+x2+x+1=x5-1，…；

據此規律， 求 22 023+22 022+22021+…22+2+1 的個位數字是 （? ）.

A. 1? ?B. 3? ?C. 5? D. 7

解析 首先，觀察題目中的規律可知： （2-1）22 023+22 022+22 021+…22+2+1=22 024-1，接著，進行猜想，2n是由n個2相乘得到，因此，其個位數字可能有一定的規律，然后進行舉例驗證，得到：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，因此驗證得到其個位數字按照每4個進行1次循環.因為2 024÷4=506，所以22 024的個位數字是6，22 024-1的個位數字是5.

點評 本題中，根據題目的設問，進行大膽猜想是解題的關鍵.按照3個步驟嚴格執行，可以大大提升解題正確率.由于22 024是一個極大的數字，因此一定有規律可循，所以在第2步的猜想中，常規步驟為先猜想后驗證，但若無思路，可先舉例再總結，也不失為一種巧妙的方式.可見在數學學習中，不能“眼高手低”，多動筆多嘗試才是正確的解題方式.2 圖形變換中的猜想與歸納

圖形變換規律可以幫助學生培養觀察、思考和解決問題的能力.在圖形規律的學習過程中，學生需要通過觀察給定的圖形，發現其中的規律和特點；嘗試自己添加輔助線，通過不斷嘗試探索出規律；最終，學生需要用數學符號和語言來準確地闡述圖形規律，并通過實例來驗證.

圖形變換規律的學習可以培養學生的創新思維和問題解決能力.通過觀察和猜想，學生可以自主探索圖形規律，并提出自己的策略和想法，進一步提高他們的抽象思維能力.此外，圖形規律的學習也有利于學生了解和掌握各種數學概念和方法，為他們日后的學習打下堅實的基礎.

例2 如圖1所示，矩形ABCD的面積為

20 cm2，對角線交于點O，以AB、AO為鄰邊作平行四邊形AOC1B，對角線交于點O1，以AB，AO1為鄰邊作平行四邊形AO1C2B……依此類推，則平行四邊形AO2 022C2 023B的面積為（? ）.

解析 因為四邊形 ABCD 是矩形，所以AO=CO，BO=DO，DC∥AB，DC=AB，所以：

S△ADC=S△ABC=12S矩形ABCD=12×20=10 cm2；

S△AOB=S△BCO=12S△ABC=12×10=5 cm2；

S△ABO1=12S△AOB=12×5=52 cm2；

S△ABO2=12S△ABO1=54 cm2；

S△ABO3=12S△ABO2=58 cm2；

…………

所以平行四邊形 AOnCn+1B的面積為 52n-1，據此得到平行四邊形 AO2 022C2 023B 的面積為522 021 cm2.

點評 本題的解題關鍵在于找到圖形每次“變換”后的規律.這道題的規律和特點較為明顯，即每次得到的平行四邊形，都是從上一個平行四邊形的“中心”引平行線，因此，在底邊長度不變的情況下，每次得到的平行四邊形面積都為上一個平行四邊形面積的一半.如直接觀察不易察覺，則可自行添加一個平行四邊形的輔助線進行規律的“體驗”.

3 周長面積中的猜想與歸納

在學習周長面積規律時，學生需要關注圖形的數量、形狀和組合方式等特征，進而發現并做出周長或面積相關規律的猜想.最終，通過歸納和總結，學生能夠得到周長或面積之間的關系，并編寫公式以便計算.周長面積規律的學習有助于學生理解圖形的屬性，通過觀察和實踐，學生能夠深入理解圖形周長或面積的規律，同時也能夠應用所學的知識進行問題解決和計算.

例3 如圖2所示，在△ABC中，點E是AB邊上的點，且AE：EB=2：3，點D是BC邊上的點，且BD：DC=1：2，AD與CE相交于點F，若四邊形BDFE的面積是16，則△ABC的面積為（? ）.

解析 連接 FB， 如圖3所示：

設S△BDF=a，S△BEF=b，因為AEEB=23，所以S△AEF=23b，因為BD∶DC=1∶2，所以S△CDF=2a，S△ABD=12S△ACD=16+23b，S△ACE=23（16+2a），又S△ACF=S△ACD-S△CDF=S△ACE-S△AEF，所以32+43b-2a=23（16+2a）-23b，得到10a-6b=64，因為a+b=16，5a-3b=32a+b=16，解得 a=10b=6.所以S△ABC=S△ACD+S△AEF+S四邊形BDFE=32+43b+23b+16=40+20=60.

點評 本題以面積的規律為例，通過三角形“等高”時，面積比等于底邊長度比，得到面積的一般規律，進而將其轉化為代數式進行求解.該類猜想歸納與前述找規律類的猜想歸納有些差異，該類猜想歸納是圍繞“特定條件或者性質”進行的推理，并將推理所得的表達式進行求和或者變形.其中，推理是猜想，求和或變形是歸納，在數學學習中，該類猜想歸納的技巧需要掌握.

4 點的坐標規律中的猜想與歸納

在學習點的坐標規律時，學生需要觀察圖形上點的坐標變化規律，特別是注意橫縱坐標之間的關系，進而做出猜想并通過實例進行驗證.比如，移動圖形、增加點數量、改變圖形形狀等.最終，通過歸納和總結，學生能夠得到點的坐標規律，并編寫公式以便進行計算.點的坐標規律的學習有助于培養學生的觀察力.通過觀察和實踐，學生能夠發現和理解點在平面上的位置變化規律，并通過歸納總結建立起數學模型.掌握點的坐標規律，不僅對于幾何學和代數學的學習具有重要作用［2］，還可以應用于實際問題的解決，如地理測量、航空航天等領域.

例4 如圖4所示，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1）.規定“把平行四邊形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個單位”為一次變換.如此這樣，連續經過2 023次變換后，平行四邊形ABCD的頂點D2 023的坐標變為（? ）.

A.（-2 019，-3）?? B.（-2 019，3）

C.（-2 020，3）D.（-2 020，-3）.

解析 由于四邊形ABCD是平行四邊形，

A（-1，3）、B（1，1）、C（5，1），所以D（3，3），把平行四邊形ABCD先沿x軸翻折，再向左平移1個單位后，得到D1（2，-3），觀察，發現規律：D0（3，3），D1（2，-3），D2（1，3），D3（0，-3），D4（-1，3），所以對于橫坐標，每次變換減1，對于縱坐標，奇數次變換為-3，偶數次變換為3，經過2 023次變換后，D2 023（-2 020，-3）.

點評 本題考查翻折變換、點坐標的規律性.先利用平行四邊形的性質求出點D的坐標，再將前幾次變換后Di（i=1，2，3，…）點的坐標求出來，觀察規律即可求解.解題的關鍵是先求出D的坐標，再利用變換的規律求解，在求解的過程中，列舉實例依然是最佳的找規律的手段，由此可見，數學的學習過程并不是僅靠天賦，更多還是要依靠勤于動筆.

參考文獻：

［1］ 肖偉華. 初中生合情推理能力的培養策略研究［D］.南昌：江西師范大學，2022.

［2］ 史新景.中考數學中的“歸納猜想”［J］.初中生世界，2016（31）：17-19.

［責任編輯：李 璟］

收稿日期：2023-09-15

作者簡介：王海珠（1978.9-），男，甘肅省民樂人，中學一級教師，從事初中數學教學研究.