方程與不等式中的常見錯(cuò)誤剖析

郭金網(wǎng)

方程與不等式是初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，在中考中具有十分重要的地位，主要包括一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程、分式方程、一元一次不等式（組）等。下面，老師結(jié)合幾道例題對(duì)方程與不等式中的易錯(cuò)點(diǎn)進(jìn)行剖析。

一、概念理解不透徹

例1 下列方程是關(guān)于x的一元一次方程的是（ ）。

A.ax+b=0

B.x（x+1）=x2+2x+1

C.x+y=2

D.x+[1x]=1

【錯(cuò)解】A（或C、D）。

【錯(cuò)因分析】本題出錯(cuò)的原因是對(duì)一元一次方程的概念理解不清。一元一次方程的定義是：含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次的整式方程叫作一元一次方程。根據(jù)定義我們知道，一元一次方程應(yīng)該包含三個(gè)條件：（1）一個(gè)未知數(shù)；（2）最高次數(shù)為一次；（3）整式方程。一元一次方程的一般式為ax+b=0（a≠0）。我們?nèi)绻袛嘁粋€(gè)方程是否為一元一次方程，可先將其化為一般式，再看它是否滿足上述三個(gè)條件。A選項(xiàng)未考慮a≠0；B選項(xiàng)應(yīng)先將其化為一般式再判斷；C選項(xiàng)有兩個(gè)未知數(shù)；D選項(xiàng)是分式方程。

【正確答案】B。

二、忽視隱含條件

例2 若關(guān)于x的分式方程[1x-2][+2x+2]=[x+2mx2-4]的解大于1，則m的取值范圍是 。

【錯(cuò)解】m＞0。

【錯(cuò)因分析】本題出錯(cuò)的原因是僅考慮方程的解大于1，而未考慮分式方程的隱含條件“分母不等于0”。方程與不等式的隱含條件主要有：一元一次方程ax+b=0中a≠0；一元二次方程ax2+bx+c=0中a≠0，利用韋達(dá)定理解題時(shí)要考慮b2-4ac≥0；分式方程中分母不等于0等。

【正確答案】解方程[1x-2][+2x+2]=[x+2mx2-4]，得x=m+1，

由題意得[m+1＞1，m+1≠2，m+1≠-2，]

解得m＞0且m≠1。

所以m的取值范圍是m＞0且m≠1。

三、臨界點(diǎn)理解有誤

例3 關(guān)于x的不等式組

[-x+a＜2，3x-12≤x+1]恰有3個(gè)整數(shù)解，則a的取值范圍是 。

【錯(cuò)解】2＜a＜3（或2＜a≤3、2≤a≤3）。

【錯(cuò)因分析】本題出錯(cuò)的原因是對(duì)問(wèn)題中的“恰有3個(gè)整數(shù)解”理解不到位，進(jìn)而在確定a的取值范圍時(shí)，對(duì)其臨界點(diǎn)理解有誤所致。……