理清關系，探尋思路巧解答

朱月紅

定義是解決問題的基礎

數學是講道理的。計算、證明過程的每一步都要嚴密、有理有據。定義是數學計算、推理的基礎。利用定義解題，可提高解題效率，取得事半功倍的效果。

例1 若m是方程2x2-3x-1=0的一個根，則6m2-9m+2019的值為 。

【分析】根據一元二次方程的解的定義即可求出答案。

解：根據題意，得2m2-3m-1=0，

∴2m2-3m=1。

∴原式=3（2m2-3m）+2019=2022。

故答案是2022。

【小貼士】本題考查一元二次方程的解，解題關鍵是正確理解一元二次方程的解的定義。同學們，你有沒有先解方程再分別代入求值？這樣的話，既費時又易錯。

數學思想是解題的靈魂

數學思想是數學知識、數學技能、數學方法的本質體現，是形成數學能力、數學意識的橋梁，是靈活運用數學知識、方法的靈魂。方程與不等式之間存在聯系，在求解時隱含了各種思想方法，這些思想方法是架設在數學知識間的橋梁。

例2 解方程：[1x-2]=[4x+1]。

【分析】方程兩邊可同乘（x-2）（x+1），化成整式方程求解。

解：方程兩邊同乘（x-2）（x+1），得

x+1=4（x-2），

∴x=3。

檢驗：將x=3代入（x-2）（x+1），得

（x-2）（x+1）≠0。

∴x=3是原方程的解。

∴原方程的解是x=3。

【小貼士】本題考查了分式方程的求解。解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程。特別要注意，解分式方程時一定要驗根。

例3 若方程組[3x+2y=k+1，2x+3y=4k-1]的解滿足x＞y，求k的取值范圍。

解法1：用含k的代數式分別表示x、y，得[x=-k+1，y=2k-1。]

∵x＞y，∴-k+1＞2k-1。

∴k＜[23]。

解法2：觀察所給方程組的未知數系數，不難發現，兩個方程中未知數x、y的系數進行了互換。若將兩個方程相加，得到5x+5y=5k，則未知數x、y的系數相同；若將兩個方程相減，得到x-y=2-3k，則未知數x、y的系數互為相反數，特殊的系數特征會有特殊的解法?！?br>