一組根式化簡規律的猜想、證明與運用

湯曉麗

數式的運算在化簡后能得到一些規律（或性質）。比如乘法公式，我們在發現并證明之后，可以進一步運用乘法公式來簡化計算或求值。本文以二次根式的化簡為例，帶領同學們發現一些規律并證明其一般性，然后再將規律用于一些較難問題的快速求值。

【題組】觀察下列等式，回答問題：

①[1+112+122]=1[+11][-11+1]=[112]，

②[1+122+132]=1[+12][-12+1]=[116]，

③[1+132+142]=1[+13][-13+1]=[1112]，

……

（1）根據上面三個等式的信息，猜想[1+142+152]= ；

（2）請按照上式反映的規律，試寫出用n表示的等式；

（3）驗證你的結果。

【解析】（1）根據上面三個等式的信息，猜想[1+142+152]=[1120]。

（2）[1+1n2+1（n+1）2]

=1[+1n][-1n+1]。

（3）證明：[1+1n2+1（n+1）2]

=[［n（n+1）］2+（n+1）2+n2［n（n+1）］2]

=[［n（n+1）+1］2［n（n+1）］2]

=[n（n+1）+1n（n+1）]

=[n（n+1）+（n+1）-nn（n+1）]

=1[+1n][-1n+1]。

【回顧】上面的驗證過程中，有兩個重要的結論值得積累。

【結論1】若n為正整數，求證：[1n（n+1）]=[1n][-1n+1]；

【結論2】若n為正整數，求證：1[+1n2+1（n+1）2]=（[n+1n][-1n+1]）2。

“結論1”比較簡單，可直接通分計算等式右邊，即可獲得證明。“結論2”可以對右邊展開計算，整理成左邊的形式；也可以從左邊變形出發，得到右邊，即

1[+1n2][+1（n+1）2]

=（1+[1n]）2[-2n][+1（n+1）2]

=（[n+1n]）2[-2n][+1（n+1）2]

=（[n+1n][-1n+1]）2。

這樣也就再次解釋了上面“題組”的猜想：

[1+1n2+1（n+1）2]=[n+1n][-1n+1]

=1[+1n][-1n+1]。

接下來，運用上述結論解決一些有挑戰性的問題。