解讀隱含條件，避免化簡(jiǎn)出錯(cuò)

周瀾

對(duì)于二次根式，我們要注意被開方式的取值范圍，特別是在一些較復(fù)雜問(wèn)題中。

例1 已知實(shí)數(shù)n滿足[（2-n）2]+[n-5]=[n2]，求n的值。

【錯(cuò)誤解法】將等式兩邊平方，得（2-n）2+n-5=n2，4-4n+n2+n-5=n2，化簡(jiǎn)得3n=-1，n=[-13]。

【糾錯(cuò)】如果將結(jié)果n=[-13]代回到等式中，會(huì)使得式子沒(méi)有意義！問(wèn)題出在何處呢？從第一步看，等式兩邊平方就出錯(cuò)了。等式左邊不可能是（2-n）2+n-5，根據(jù)完全平方式展開，左邊應(yīng)該是（2-n）2+n-5+2[（2-n）2]·[n-5]，所以后面全部是錯(cuò)誤的。

【思路分析】那就從n的取值范圍出發(fā)，發(fā)現(xiàn)[n-5]隱含著n-5≥0，容易得出n≥5。

將等式化簡(jiǎn)為含絕對(duì)值符號(hào)的形式，[2-n]+[n-5]=|n|，結(jié)合n≥5，得n-2+[n-5]=n，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為[n-5]=2，即可解得n=9。

【變式】已知實(shí)數(shù)a滿足[2019-a]+[a-2020]=a，求代數(shù)式a-20192的值。

【思路分析】觀察等式，發(fā)現(xiàn)隱含著a-2020≥0，即a≥2020。于是等式左邊的[2019-a]可以去掉絕對(duì)值符號(hào)，得a-2019

+[a-2020]=a，進(jìn)一步化簡(jiǎn)為[a-2020]=2019，這樣兩邊平方，得a-2020=20192，即a=20192+2020，代入代數(shù)式a-20192，可求出值為2020。

例2 化簡(jiǎn)求值：已知y=[8x-1]+[1-8x][+12]，求代數(shù)式[xy+yx+2]

[-xy+yx-2]的值。

學(xué)生1的解法：

由[8x-1≥0，1-8x≥0，]得x=[18]，

∴y=[12]。

[xy+yx+2][-xy+yx-2]

=[x2+y2+2xyxy][-x2+y2-2xyxy]

=[（x+y）2xy][-（x-y）2xy]

=[（18+12）218×12][-（18-12）218×12]

=[14]×[58][-14]×[38]

=[116]。

學(xué)生2的解法：

先求出x=[18]，y=[12]。

[xy+yx+2][-xy+yx-2]

=[（x+y）2xy][-（x-y）2xy]

=[（x+y）-（x-y）xy][xy]

=[2yxy][xy]

=[2x][xy]

=[218]·[18×12]

=16×[14]

=4。

【糾錯(cuò)】學(xué)生1的思路是先根號(hào)內(nèi)通分，然后代入x、y的值，但在計(jì)算過(guò)程中處理分?jǐn)?shù)的運(yùn)算出錯(cuò)（最后兩步出錯(cuò)）；學(xué)生2的主要思路是根號(hào)內(nèi)通分，配成完全平方式后化為最簡(jiǎn)二次根式，但第二步就出錯(cuò)，因?yàn)閷⒏?hào)內(nèi)（x-y）2開方時(shí)沒(méi)有加絕對(duì)值，即[x-y]，而是跳步驟直接寫成了x-y，從而出現(xiàn)“高位錯(cuò)誤”，究其原因是忽略了x、y的值已被確定，x-y是一個(gè)負(fù)數(shù)。我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生1若不是計(jì)算出錯(cuò)，應(yīng)該能獲得正確結(jié)果（答案為1）；而學(xué)生2是對(duì)二次根式性質(zhì)[a2]=[a]的理解不夠透徹，忽略了對(duì)被開方式中底數(shù)a的正負(fù)情況討論。

為了鞏固這個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，給出如下一道習(xí)題，作為跟進(jìn)訓(xùn)練。……