位移法典型方程及數值分析在門窗多點鎖閉系統中應用

戴紅亮，邱銘，馬思遠，付相球，王全

（1.建筑安全與環境國家重點實驗室，北京 100013；2.建科環能科技有限公司，北京 100013）

0 引言

目前關于門窗多點鎖閉系統計算方法可供參考的資料極其匱乏，甚至在所有的門窗標準規范中也并未涉及，這無形中給從事門窗設計的同仁帶來不便。門窗多點鎖閉系統五金在建筑外窗的氣密性能、隔聲性能、保溫性能等方面發揮重要作用，所以多點鎖閉系統五金應用越來越廣泛，而多點鎖閉系統理論研究卻捉襟見肘，戴紅亮采用了力法對多點鎖閉系統五金進行解析，計算多點鎖閉系統五金單個鎖閉點的集中力及兩個鎖閉點間桿件的最大位移量[1]，這也是目前多點鎖閉系統五金在靜定結構計算中較為完整的計算方法[2]，但是該法計算過程較為復雜，在實際應用中并不方便。本文在以前文獻的基礎上采用位移法典型方程對多點鎖閉系統五金進行分析，此法較力法具有計算簡便、節省時間的優勢[3]。

1 多點鎖閉系統五金

門窗多點鎖閉系統五金配件是相對單點鎖閉五金配件而言，包含：傳動鎖閉器如圖1 所示、多點鎖閉器以及相關的內平開下懸五金系統等[4-5]。本文主要探討門窗開啟扇如圖2所示在風荷載作用下該如何確定其力學模型以及在此基礎上如何分析鎖閉點受力狀態，在此著重探討窗扇執手側邊梃上（受力桿件）配置4 點鎖如圖3 所示情況下[6]，在風荷載作用下鎖閉點的支座反力的計算方法。下面介紹一下4 點鎖的受力狀態，4 點鎖是在門窗執手（合頁）側的豎向邊梃上安裝具有4 個鎖點的傳動鎖閉器，關閉后，該邊梃與其對應的邊框通過鎖點與鎖座的搭接而實現鎖閉窗扇的功能[7]。通常情況下，端部鎖點距離邊梃端部為100～250mm，簡化力學模型如圖4 所示。

圖1 傳動鎖閉器

圖2 開啟扇

圖3 四點鎖

圖4 力學模型

2 四點鎖受力分析

為了更加清晰地說明多年鎖閉位移法典型方程在門窗多點鎖閉系統中的應用，采用四點鎖作為分析對象。此結構為二次超靜定結構且不等跨，靜力平衡方程無法求解，筆者選用位移法來分析計算。目前求解超靜定結構的經典方法有力法和位移法，而力法較位移法應用起來繁瑣，計算過程復雜，故采用位移法進行4 點鎖受力分析，4 點鎖就是在窗扇（門扇）的邊梃上安裝四個鎖點和鎖座，鎖點和鎖座視為多跨連續梁支座，4個鎖閉點就意味著有4 個支座。將豎向邊梃視為具有4 個鉸支座的多跨外伸梁，首先確定其力學模型，見圖4，下面計算4點鎖開啟扇邊梃在風荷載作用下的支座反力，即鎖閉點水平方向的剪力。

假設該門窗開啟扇的豎向邊梃為外伸多跨連續梁，該邊梃配置4 個鎖點，且受到的均布線荷載為2N/mm，各跨長度分別為：l0=130mm，l1=550mm，l2=200mm，l3=550mm，l4=130mm總跨度為1560mm，下面分析4 點鎖受力狀態。

2.1 基本未知量和基本體系確定

首先建立基本體系如圖6 所示，在原結構基礎上，支座B、C 處施加剛臂，限制支座轉動。根據節點B的角位移Z1，節點C的角位移Z2，節點B，C附加約束得到基本體系，為了選用位移法，將外伸梁兩邊跨l0，l4去掉，如圖5～8 所示。

圖5 原結構

圖6 基本體系

圖7

圖8

2.2 位移法方程

根據基本體系，建立位移法典型方程如公式（1）（2）所示。

2.3 計算 r1 1,r2 2,r2 1,r22

2.4 計算外荷載作用下彎矩R1P，R2P

基本體系在荷載作用下，計算桿端彎矩，荷載作用下MP圖如圖9 所示。

圖9 Mp

采用力法以及力矩平衡關系，結合圖9 可得如下固端彎矩值：

由節點B的力矩平衡可得：

由節點C的力矩平衡可得：

2.5 計算z1，z2

將i,i',i''及R1p,R2p代入公式（1）（2），可得公式（3）和（4）：

2.6 計算支座彎矩并作M 圖（如圖10 所示）

圖10 M 圖

3 計算鎖閉點支座反力

3.1 根據力矩平衡，可得：

3.2 計算鎖閉點支座反力

RA=757.42N，RB=802.58N，RC=802.58N，RD=757.42N。

4 數值法鎖閉點受力分析

本數值分析基于學生版ANSYS workbench 2021R1CAE仿真平臺，針對多點鎖閉系統五金的受力情況采用有限元法進行分析，有限元法是求解數理方程的一種數值計算方法，是將彈性理論、計算數學和計算機軟件有機地結合在一起的一種數值分析技術，是解決工程實際問題的一種有力的數值計算工具[8]。

通過有限元法與解析法對比，分析計算結果存在的差異及原因，以及在實際工程中該如何處理，為行業同仁在工作中遇到此類問題后提供一種有效解決途徑，至于選擇何種方式，筆者更加傾向于數值法，因解析法計算過程繁瑣，專業程度要求較高，筆者在此并不推薦。

門窗開啟扇受力桿件的截面為非對稱幾何圖形，在受到垂直玻璃版面方向的外力后，桿件發生兩個方向的位移，這就意味著有兩個方向的支座反力，這與解析法計算多點鎖閉系統五金內力及支座反力存在差異，解析法計算時默認桿件截面為對稱的等直桿。不必考慮桿件的截面型式，只需知道桿件的長度、支座型式及外荷載即可求解桿件內力及支座反力，但是數值計算中必須建立實體模型方可進行計算，理論上來講，數值計算更符合工程實際情況，而且計算效率較高，節省分析計算時間。為了更加詳細說明數值分析法在建筑門窗五金系統受力分析中的應用，筆者采用三種不同網格數量的分析模型進行計算，一種為系統默認網格劃分型式，其他兩種為加密網格劃分型式，通過三種分析法進行對比，分析網格數量對計算結果的影響，從而達到分析的科學性、合理性，為行業同仁在采用數值法分析時提供依據。

數值分析前，對門窗五金及窗扇做一下簡單介紹，便于大家更加深入了解門窗鎖閉系統及其力學模型的確定方法，窗扇不能獨立存在于實際工程中，其必須通過合頁（鉸鏈）將扇的邊梃和框連接在一起，并以合頁（鉸鏈）為軸自由轉動如圖11所示。鎖閉狀態下，鎖閉點及合頁（鉸鏈）將扇與框緊密連接在一起，形成一個完整的閉合體如圖12 所示，計算多點鎖閉系統五金受力時，窗扇鎖閉側的邊梃視為外伸多跨連續梁且各個跨度并不相等，1 個鎖點與1 個鎖座組成1 個鎖閉點，數值分析時可將鎖閉點視為鉸支座。

圖11 合頁連接

圖12 窗扇鎖閉

4.1 建立幾何模型

選用常用鋁合金型材斷面，CAD 軟件建立三維實體模型，設置四個約束，約束間距分別為：l0=130mm，l1=550mm，l2=200mm，l3=550mm，l4=130mm，總長度為1560mm，桿件截面及桿件長度見表1，分析模型見表1。

表1 分析模型

4.2 網格劃分

4.2.1 網格尺寸

網格劃分見表2。

表2 網格劃分

4.2.2 分析模型

分析模型見表3。

表3 分析模型

4.3 計算過程

4.3.1 荷載工況

將執手側邊梃視為多跨外伸連續梁，并滿布均布荷載，其值為2N/mm，從左到右支座的施加約束型式為：A 支座限制其三個方向的平動約束，釋放繞Y、Z 軸的轉動約束；B、C、D 支座限制Y 和Z 方向的平動約束，釋放X 軸方向的平動約束，同時釋放繞Y、Z 軸的轉動約束[9]，荷載及約束具體情況見表4。

表4 約束型式

4.3.2 支座反力及彎矩（默認網格）

（1）支座反力

鎖閉點支座反力見圖13 所示。

圖13 鎖點支座反力

通過數值分析計算，可以得出四個鎖閉點的支座反力值，分別是：RA=760.29N，RB=799.71N，RC=799.71N，RD=760.29N。

（2）剪力、彎矩圖

剪力及彎矩圖如圖14 所示。

圖14 剪力、彎矩圖

最大彎矩發生在接近最大跨度的跨中，其值為：45145N·mm。

4.3.3 支座反力及彎矩（5mm 網格）

（1）支座反力

鎖閉點支座反力如圖15 所示。

圖15 支座反力

通過數值分析計算，可以得出四個鎖閉點的力值，分別是：RA=758.81N，RB=801.19N，RC=801.19N，RD=758.81N。

（2）剪力、彎矩圖

剪力、彎矩圖如圖16 所示。

圖16 剪力彎矩圖

最大彎矩發生在靠近跨中的支座處，其值為：45 308N·mm。

4.3.4 支座反力及彎矩（2.5mm 網格）

（1）支座反力

鎖閉點支座反力如圖17 所示。

圖17 支座反力

通過數值分析計算，可以得出四個鎖閉點的力值，分別是：RA=758.8N，RB=801.2N，RC=801.2N，RD=758.8N。

（2）剪力、彎矩圖

剪力、彎矩圖如圖18 所示。

圖18 剪力、彎矩圖

最大彎矩發生在跨度最大值的跨中，其值為：45 301N·mm。

5 結果對比

經過以上分析，理論計算結果與數值分析結果基本吻合，差異在2‰以內，說明理論分析計算與數值分析方法均可行。

5.1 支座反力

支座反力如表5 所示。

表5 支座反力

5.2 彎矩

彎矩值如表6 所示。

表6 彎矩值

6 結論

基于以上分析，解析法計算過程較為復雜，效率較低。建議采用數值法進行多點鎖閉系統五金計算。通過理論分析及數值計算，得出這樣結論，即在外荷載作用下，當最大跨度滿足正常使用功能極限狀態時，鎖閉點分布并非等跨或近乎等跨布置最為合理，而是跨中的鎖點間距應小于與其相鄰跨的鎖點間距，即隔跨相等或近乎相等原則，這樣方可使鎖閉點受力更加趨于均勻，減小受力差異。分析中不難發現建筑門窗多點鎖閉系統五金受力分析較為復雜，鎖閉點數量越多計算強度越大，這也是多點鎖閉系統五金受力分析困難所在。正因如此，選擇分析方法變得尤為重要，分析計算時有三種方法可供選擇，力法是最基本的計算方法，但是最為繁瑣 ；位移法是建立在力法之上的另一種有效途徑，復雜程度略優于力法；數值法則是獨立于力法與位移法之外的另一種可供選擇的有效途徑，同時其對操作者專業程度要求有限；筆者推薦使用數值法，此法的最大優勢是計算簡便、節省時間。然而在門窗五金應用設計中，必須通過合理的分析計算方能做出合理配置方案，而具體選用何種方法也是因人而異。希望通過本文介紹，能夠為行業同仁提供一種解決門窗超靜定結構計算的思路，提升門窗設計水平。