基于“本原性問題”驅動的習題教學案例分析與思考

［摘? 要］ “題不在多，經典即可”，這句話闡釋了習題教學中例題選擇的重要性. 對典型問題的深度探索，不僅能突出數學本質，還能有效培養學生舉一反三的能力. 文章以一道經典習題為例，從“呈現原題，調研分析”“解法探索，交流反思”“變式應用，拓展延伸”三方面具體探討如何利用質樸的本原性問題驅動習題教學，并談一些思考.

［關鍵詞］ 本原性問題；習題教學；思維

本原性問題是指數學問題的基本構成要素，作為思考的首要問題，體現在教師將實質性的數學問題“教學法化”的過程中. 簡而言之，就是將問題的本質融入教學情境，達到揭示、理解與欣賞的境界. 學生在本原性問題的引領下，往往能逐步觸及知識的本質. 究竟該如何利用本原性問題驅動學生的思維呢？筆者以一道經典習題為例，談一些具體的做法與思考，共勉.

課堂實錄

1. 呈現例題，調研分析

例題 已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，同時滿足c=1，，則△ABC面積的最大值是______.

筆者將本題安排在“基本不等式的綜合運用”的學案中，通過對學生解題正確率的統計，發現只有10%的學生完全做對了. 這個結論出乎意料. 若認為本題難度較大不進行講解，對于學生而言則沒有滿足他們釋疑的心理需要，也無法體現本題的價值；若進行講解，該從何處著手呢？究竟該如何提出本原性問題以激發學生的思維呢？經過權衡，最后決定將本題作為課堂教學的重點.

2. 解法探索，交流反思

解法1 三角法.

師：（投影例題與生1的解題過程）本題的正確率很低，觀察到不少同學因為想不到解法，就干脆放棄了本題；也有幾位同學的解法很有特點，接下來我們一起觀察生1的解法，并聽一聽他在解題時是怎么考慮的.

師：非常好！從三角函數的角度解決本題，思路很清晰，值得表揚！大家再觀察這個解答過程，有沒有什么地方需要完善的？

（沉默片刻，一位學生主動舉手發言）

生2：我認為解決本題，第一步無需使用余弦定理，如果直接在等式2sinBcosC=3cosBsinC兩邊同時加上2cosBsinC，可得2sin（B+C）=5cosB·sinC，再借助正弦定理，容易得到a=cosB.

（學生一致點頭，贊同生2的意見）

師：太棒了！你是怎么想到這個好方法的呢？

生2：想要得到a=cosB，就要獲得a，找到sinA，但是2sinBcosC=3cosB·sinC移項只能獲得sin（B-C），說明這個思路行不通，而2sinBcosC=3cosB·sinC兩邊同時加上2cosBsinC，就能輕松地解決這個問題.

師：這個想法不錯，從結論出發對成立的必要條件進行分析，這是解決問題常用的一種方法，也是值得關注的一種思維方式，今后要多嘗試. 現在請大家繼續思考本題的解答過程，看看還有沒有其他更好的建議.

學生感到困惑：生2的解法已經非常簡潔了，難道還有更好的解法嗎？課堂此時陷入了沉默. 筆者鼓勵學生勇敢地站出來表達自己的想法，即使錯了也無妨. 一位學生在筆者的鼓勵下，遲疑地表示自己的解法沒有比生2簡單，但愿意說出來與大家分享，也好讓同學幫忙分析他的解答思路.

師：你為大家又提供了一條新的解題思路，非常好！現在請同學們選擇一種自己喜歡的解法，獨立規范地完成本題.

課堂說明 解題過程本身就是一個探索過程，出現錯誤是正常現象. 面對錯誤，該采取怎樣的應對措施是一門學問. 解后反思是提升解題能力的重要途徑，而真正高效的解后反思需在教師循循善誘的引導下進行.

波利亞認為，好的解題思路往往源于過去良好的解題經驗與知識儲備. 因此，我們應經常回顧經典實例，為形成良好的解題思路奠定基礎. 事實證明，好的解題思路往往與一題多解有著千絲萬縷的聯系. 通性通法的總結常能促進學生思維的升華，讓學生形成觸類旁通的解題能力.

解法2 幾何法.

師：（投影生4的解答過程）通過以上探究，可見大家的思維都很活躍. 現在我們一起來看看這位同學的解法，并讓他跟我們分享一下解答思路.

看著生4的解法，聽著生4的解說，學生自主進入了討論狀態，不少學生將生4的解法與之前的解法進行了比較.

生5：這個解答過程并不是最簡潔的，生4設置了k與x兩個變量，其實設一個變量也是可以的.

師：哦？將你的想法寫到黑板上，與大家分享.

生5的解法通俗易懂，前部分應用的是初中所學內容，最后一步才涉及高中知識，所有學生都看懂了他的解答思路，這種解法獲得了學生的認可.

課堂說明 雖然生4的解法是正確的，卻不夠精簡. 將生4的解法展示出來進行討論，一方面是對他的肯定，另一方面是讓所有學生從中汲取精華、改進不足，從而優化解題思維，增強解題能力.

幾何法的探究過程，滲透著遇到挫折不放棄的思想. 學生面對生4的解答思路，自主進入討論狀態，是一種互相啟發、互相促進的過程. 學生之間的交流，能碰撞出更多思維火花，這是教師“一言堂”無法企及的效果.

解法3 解析法.

師：前面從三角法與幾何法兩個角度去分析了本題的解答思路，大家都有一種豁然開朗之感. 接下來，我們再一起看生6的解法，并由他給我們講一講解答思路（投影生6的解法）.

生6：其實我就是建立了一個平面直角坐標系，而后結合本題條件獲得高y，最后利用基本不等式得到結論.

師：平面直角坐標系可以說是代數與幾何的橋梁，幫助我們順利應用代數法來解決幾何問題，這就是解析法. 解析法能有效減少推理過程，讓解題變得更加得心應手. 接下來，請大家獨立用解析法做一遍本題.

（學生自主解題，一位學生舉手）

話音未落，教室里就傳來一片贊嘆聲，大家都為這位學生的發現而感到高興. 甚至有學生口中念念有詞：太神奇了，竟然能這么簡單獲得結論，數學真的是一門有意思的學科.

課堂說明 生6是本班初始唯一一個應用解析法解題的學生，但凡能想到這種解法，都是難能可貴的. 他的解題思路清晰、過程明確，值得推廣. 至于生7提出的解法，是筆者課堂預設外的收獲.

從課堂中的意外生成可以看出：在習題教學中，要引導學生關注所選的解題思路能否解決問題，解題運算是否簡潔，這些需要經過反復探索與嘗試去總結. 同時，對于多條件問題，應擇優使用一些條件，使得解題過程最簡.

當然，習題教學的目的不僅僅是促進學生掌握“四基”，更重要的是引導學生學會分析與解決問題的常規思路，通過不斷優化來提煉解題規律，以促進學生數學思維的發展. 因此，教師應站在學生的角度思考問題，才能在“共情”中實現教學相長.

3. 變式應用，拓展延伸

本題與原題有異曲同工之妙，解題的關鍵是對問題條件與結論的分析，將條件進行變形，同時將結論表示成tanβ的函數，經換元后應用基本不等式獲得結論. 本題的特點在于問題和解法都有一定的拓展性，這對學生而言是一個挑戰，同時也是促進學生思維發展的契機.

章建躍認為，習題教學的主要目的在于提高學生發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力（“四能”）. 因此，教師應提供讓學生獨立思考的機會，讓學生在自主分析與探索中探尋解題路徑，從真正意義上發展學生的“四基”與“四能”.

教學思考

1. 挖掘本原性問題，促進思維發展

笛卡爾認為，數學教學需按次序引導學生的思維，讓學生從最簡單且容易辨認的對象開始，逐層遞進地上升到對復雜對象的認識，即使遇到看似毫無次序的問題，教師也需結合實際情況為它們設定一個次序，以便于學生理解. 這句話簡要地概括了本原性問題教學的宗旨，即由淺入深地進行引導，讓學生的思維隨著問題拾級而上.

本節課，筆者以一道題為線索，從三角法、幾何法與解析法三個層次推動課堂，實現思維的啟發. 學生對三角法比較熟悉，是大部分學生首選的解法，因此筆者將三角法放在課程開始階段與學生一起探索；對于本題來說，解析法雖然簡單，但對學生的思維要求較高，對于大部分學生而言是一個挑戰，因此將它放在最后階段研究.

2. 利用本原性問題，實施優化教學

對于得分率過低的問題不講或一帶而過是教師慣用的伎倆，如此大費周章地講這么一道題，是否有浪費時間的嫌疑？何以體現課堂的優效性？這是本節課之前筆者所糾結的問題. 考慮到高中數學教學的優效性在于培養學生的“四基”“四能”與“三會”等. 而本題的教學，能從很大程度上發展學生的“四基”與“四能”，讓學生積累良好的解題經驗，并從一題多解中獲得通用通法，實現思維的提升.

筆者若不講本題或一帶而過，必然會因為忽視學生的釋疑需求，而消減學生學習的積極性，更談不上解題經驗的積累與核心素養的發展. 一系列本原性問題，使得學生對三類解題方法有了更深層次的認識，更有甚者，在解題中自主發現了更優的解題方法. 因此，本原性問題驅動下的習題教學，不僅能優化課堂教學，還能促進學生思維的發展，讓學生體驗到數學學習的成就感與幸福感.

3. 關注探索過程，觸及問題本質

布魯納認為，探索是數學的生命線. 利用習題的本原性進行教學，整個課堂都緊緊圍繞一個問題而展開，不僅能深化學生對本題所涉及的知識的認識，還能讓學生在問題的探索、拓展與引申（變式）中積累解題經驗，感知數學學科的魅力. 因此，借助典型例題作為教學載體，通過由淺入深、逐層遞進的剖析，常能讓學生觸及問題的本質.

當學生對難度較大的問題理解透徹后，再回過頭來解決一些普通問題，會有一種“一覽眾山小”之感. 縱觀本節課的教學，課堂一直處于民主、和諧、進取的狀態，尤其是預設外的生成（比如生7的解法），充分展示出課堂富有生命力的一面.

總之，習題教學不論從選題來說，還是在教學方式來看，都需要教師細細琢磨. 就題論題遠遠不能滿足學生對知識的需求，提煉解題方法、總結解題思路才是王道. 本原性問題驅動下的習題教學，應注重立意、選題與提煉三點，讓學生的素養、思想、能力與意識都有所發展.

作者簡介：景暉（1986—），本科學歷，中小學一級教師，從事高中數學教學工作.