高中數(shù)學(xué)中有關(guān)恒成立問題的解題策略探析

王灝

摘 要：在高中數(shù)學(xué)問題中，常見的一個問題就是恒成立的問題.面對這個問題，很多學(xué)生找不到合適的解題思路，從而感覺這類問題較難.實際上在面對這類問題的過程中可以合理采用方程和函數(shù)的思想通過一些數(shù)學(xué)方式實現(xiàn)對這個問題的解決.本文結(jié)合例題來對高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的解題策略與技巧進行說明，希望對高中學(xué)生解決恒成立問題提供一定的幫助.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；恒成立問題；解題策略

高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題主要出現(xiàn)在函數(shù)當(dāng)中，在已知條件下，不管題型中的變量出現(xiàn)怎么樣的變化，最后的解惑和命題都能夠成立.這種恒成立的問題主要考察的是學(xué)生的抽象思維能力、推理能力以及數(shù)形結(jié)合能力，所以恒成立問題能夠有效地培養(yǎng)學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力，但是恒成立問題的解決過程中需要找到合理的解題思路和方式，并且能夠在解題的過程中靈活運用相應(yīng)的公式，從而實現(xiàn)問題的解決.以下將結(jié)合例題對恒成立問題進行說明.

1?一次函數(shù)的恒成立問題

例1?已知一次函數(shù)f（x）=（m-6）x+3m+4，若對任意x∈［-2，2］，則f（x）＞0恒成立，求m的取值范圍.

解析：通過對這個問題的觀察，首先要滿足一次函數(shù)f（x）=（m-6）x+3m+4，就需要m-6≠0，即m≠6.同時根據(jù)任意x∈［-2，2］，則f（x）＞0恒成立這個條件就可以將問題進行轉(zhuǎn)化成（m-6）x+3m+4＞0在x∈［-2，2］下恒成立.要使這樣的關(guān)系成立就需要 f（-2）＞0， f（2）＞0成立，從而進一步計算就能夠得到m的取值范圍.

例2?已知實數(shù)a滿足｜a|≤1，要使x²+ax+1＞2a+x恒成立，則x的取值范圍是？

分析：通過對例題2的分析可以發(fā)現(xiàn)在這個式子中出現(xiàn)了兩個字母a和x，所以在解題的過程中進行變量的選擇就是非常重要的.根據(jù)題意實數(shù)a滿足|a|≤1，所以就可以將a來作為自變量，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)換成在［-1，1］內(nèi)關(guān)于a的一次函數(shù) f（a）=（x-2）a+x²-x+1＞0恒成立.這樣就可以得到 f（-1）=x²-2x+3＞0， f（1）=x²-1＞0繼續(xù)求解就可以得到x的取值范圍.

回顧：兩個例題都是關(guān)于一次函數(shù)的恒成立關(guān)系的問題，當(dāng)y=f（x）在［x₁，x₂］內(nèi)恒有f（x）＞0這樣的情況就可以根據(jù)一次函數(shù)的特性來得到f（x₁）＞0，f（x₂）＞0這樣的關(guān)系，反之若在［x₁，x₂］內(nèi)恒有f（x）＜0，則可以得到f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，這樣就能夠?qū)﹃P(guān)系式中另一個未知數(shù)的取值范圍進行計算，從而得到所求未知數(shù)的取值范圍.

2?二次函數(shù)的恒成立問題

例3?函數(shù)f（x）=x²-2ax+2≥0在x∈［-1，1］上恒成立，求a的取值范圍.

分析：通過對題意的分析，可以將本題理解為二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化成求最值問題，來對對稱軸和區(qū)間的關(guān)系進行討論.這樣就需要對原函數(shù)進行變形處理得到f（x）=（x-a）²-a²+2，所以該函數(shù)的對稱軸為x=a，然后對 f（x）的最小值進行分析，所以如果函數(shù)的對稱軸在［-1，1］的左邊，也就是a＜-1時， f（x）的最小值就是f（-1），這樣就能夠得到一個關(guān)于a的取值范圍；如果對稱軸在［-1，1］內(nèi)，也就是-1≤a≤1時，這時f（x）的最小值就是f（a），同樣能夠得到一個關(guān)于a的取值范圍；如果函數(shù)的對稱軸在［-1，1］的右邊，也就是a＞1時，這時f（x）的最小值就是f（1），這樣又得到一個關(guān)于a的取值范圍.然后對范圍進行綜合就能夠得到a的取值范圍.

例4?函數(shù)f（x）=x²-2ax+2≥-1在x∈［-1，1］上恒成立，求a的取值范圍.

回顧：關(guān)于二次函數(shù)的恒成立問題，解題思路需要結(jié)合實際情況來進行轉(zhuǎn)變，如果是關(guān)于二次函數(shù)在全體實數(shù)上恒成立問題，就需要對二次函數(shù)的開口方向以及Δ這兩個問題進行討論.相對來說是比較簡單的.如果是關(guān)于二次函數(shù)在一個區(qū)間上恒成立問題就需要將問題進行轉(zhuǎn)化.例題3和例題4就是關(guān)于二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題，在解題的過程中分別采用了兩種不同的方式來進行求解，這也是解決這類問題常用的兩種方式，能夠很好地解決恒成立問題.

3?變量分離的恒成立問題

例5?若對任意的實數(shù)x，sin²x+2kcosx-2k-2＜0恒成立，求k的取值范圍.

分析：首先對題目進行觀察可以發(fā)現(xiàn)sin²x+2kcosx-2k-2＜0中有sin²x，cosx這兩個同角三角函數(shù)，所以需要將兩者轉(zhuǎn)換成相同的表達方式，根據(jù)sin²x+cos²x=1這樣的三角函數(shù)關(guān)系就可以將原函數(shù)變形為cos²x-2kcosx+2k+1＞0.這樣就可以通過換元的方式來處理原函數(shù)，令cosx=a，a∈［-1，1］，原函數(shù)轉(zhuǎn)化為a²-2ka+2k+1＞0在［-1，1］上恒成立，令f（a）=a²-2ka+2k+1，并對函數(shù)f（a）進行變形處理：f（a）=（a-k）²-k²+2k+1，所以函數(shù)的對稱軸為a=k，這樣就將函數(shù)恒成立的問題轉(zhuǎn)化成求最值，討論函數(shù)對稱軸于區(qū)間的關(guān)系.這時后續(xù)的求解過程就與例題3相同.

回顧：本題主要是考查學(xué)生對三角函數(shù)關(guān)系和三角函數(shù)的定義域以及二次函數(shù)恒成立問題的考察.在同角三角函數(shù)中sin²x+cos²x=1，這是一個非常重要的關(guān)系，靈活應(yīng)用這個關(guān)系可以有效地解決三角函數(shù)的相關(guān)問題.同時需要注意的是x是任意實數(shù)，那么必然就存在-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1這樣的關(guān)系.所以在例題5的解題過程中不能夠忽略這個問題.如果忽略了這個三角函數(shù)值的范圍就會導(dǎo)致后續(xù)的計算會出現(xiàn)錯誤，導(dǎo)致最后的結(jié)果也出現(xiàn)錯誤.

4?結(jié)語

綜上所述，文章通過例題的方式來說明了高中數(shù)學(xué)中恒成立問題的形式，然后通過詳細的例題分析以及例題解析來對恒成立問題進行了詳細的解題說明.恒成立問題在高中數(shù)學(xué)中有著非常重要的地位.采用正確的解題方式來對這類問題進行解答能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)成績.本文希望能夠為學(xué)生解決恒成立問題提供一定的幫助.

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