聚焦生長特征 關注思維發展
——基于初中數學生長教學的思考

沈瑩琪，褚水林

（浙江省湖州市行知中學；浙江省湖州市南潯區教育教學研究和培訓中心）

著名教育家杜威認為，教育即生活，由于生活是一個發展過程、生長過程，所以教育即生長.在新課程改革背景下，課程目標也發展到了現在的核心素養.在核心素養視角下，目標立意更注重知識、方法、能力、思維、態度的統合與生長.因此，當下的教育教學應順應社會和學生的發展，以生長、發展的眼光去培養學生的必備品格和關鍵能力.對此，卜以樓老師提出了“生長數學”理念，主張讓學生學習具有生長力的數學.“生長數學”的實質是指以數學知識結構、思維方法、重要思想的生長形態與方法來建構數學課堂結構、形態的生長.褚水林在文獻［3］提出了生長型復習課的基本內涵和范式，并對生長路徑進行了詳細闡述.于是，眾多數學教師進行了生長型課堂的教學實踐.那么，“生長”是否就是“變式”？如何進行生長教學才能有效提升學生的思維能力？本文中，筆者結合浙教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“浙教版教材”），就這一話題談幾點思考，以期與同仁探討.

一、聚焦生長的結構性，發展思維的系統性

系統性思維是把物質系統作為一個整體加以思考的思維方式，對人們認識、研究復雜的事物具有重要意義.發展學生的思維系統性，需要在教學中培養學生以整體的視角理解數學知識的本質.《義務教育數學課程標準（2011年版）》中提出，數學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性.特別是在核心概念的教學中，如果教師進行結構化地生長教學，建構好與核心概念關聯的知識網絡，那么學生便能了解并理解“為什么會有這個知識點？”“這個知識點與其他知識點有什么關系？”“接下來將學習什么知識點？”等，從而厘清核心知識的內涵與外延，分清整體與局部的關系，掌握知識之間的結構體系.通過知識的生長過程，學生能拾級而上，形成“一覽眾山小”的體驗，從而看清數學知識的本質.

案例1：分式方程.

在浙教版教材七年級下冊“5.5分式方程”一節有以下一段文字.

“必須注意的是，解分式方程一定要驗根，即把求得的根代入原方程，或者代入原方程兩邊所乘的公分母，看分母的值是否為0.使分母為0的根我們說它是增根.”

這樣一段簡單的文字中出現了一個新的概念——增根.對于七年級學生來說，難以理解的是它與“方程的根”有什么關系.在作業中又會出現“分式方程無解”的情況.例如，這樣的一道習題：已知關于x的分式方程無解，求實數m的值.我們知道，分式方程需要轉化成整式方程才能進一步求解，而七年級學生學過的一元整式方程只有一元一次方程，且最多只有一個解（初中階段默認為實數解），所以一旦分式方程出現增根，那么該分式方程就會無解.在這樣的背景下，如果教師照本宣科，學生就會默認一個錯誤的結論：如果分式方程有增根，那么它就無解.從問題的根源來講，學生根本沒有弄清楚“分式方程的根”“分式方程的增根”“分式方程有解”和“分式方程無解”這四個概念之間的關系.

筆者通過所在區域的各級初中數學教研活動了解到，有很多學生存在這樣的問題.為了解決這一問題，教師需要從“生長”的視角重構本節課的教學，聚焦生長的結構性，建構分式方程的知識體系，并適當地補充一些簡單的一元二次方程等會出現多個實數解的一元整式方程，以思維導圖（如圖1）的形式讓學生清晰地了解與分式方程關聯的知識結構網，讓學生更好地理解相關概念之間的聯系與區別，從而系統地認識和理解“整式方程”和“分式方程”這兩個核心概念及相關知識.在這樣的整體視角下，學生也能更加清晰地理解“分式方程無解”的本質.

圖1

二、聚焦生長的自然性，發展思維的邏輯性

數學學科具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，數學學習必須通過思維去把握.思維的邏輯性培養很大程度上取決于教師在課堂中是否營造了“思維必然”.教材中大部分的數學結論都給出了合情推理或演繹推理的過程，教師則需要在教學中引導學生經歷觀察、猜想、驗證、歸納的過程，讓學生感受結論的自然生長和生成.但由于學生知識水平的限制，有些結論便由教師直接給出了.面對這樣的情況，教師也應該從“生長”的視角出發，以育人為根本目標，聚焦生長的自然性，搭建“腳手架”，營造思維必然，發展學生思維的邏輯性.

案例2：一次函數的圖象.

在浙教版教材八年級上冊“5.4一次函數的圖象”一節有以下一段文字.

“由此可見，一次函數y=kx+b（k，b都為常數，且k≠0）可以用直角坐標系中的一條直線來表示，這條直線也叫做一次函數y=kx+b的圖象.”

在浙教版教材中，“一次函數在坐標系中的圖象是一條直線”這個結論其實是在學生描了5個點后，通過觀察發現5個點幾乎共線的情況下直接給出的.這一過程看似合情合理，但八年級學生已經具備了一定的演繹推理和證明的經驗，他們在遇到5個點幾乎共線的情況下，仍然會思考“這5個點一定共線嗎？”“可以證明嗎？”等一系列質疑這個結論是否嚴謹的問題.如果教師忽略這個生長節點，默認“一次函數的圖象是直線”，勢必會造成學生思維鏈的斷裂.學生將帶著疑問且機械地用“兩點法”畫一次函數的圖象.

如何解決這一問題？筆者認為，教師應該聚焦結論的自然生長，適切地為學生搭建思維的“腳手架”.本案例中，教師可以引導學生對一次函數y=kx+b（k＞0）形成這樣的理解：每當x增加（減少）n（n＞0）個單位長度時，y總是增加（減少）nk個單位長度，并將這樣的理解賦予“形”的解釋.如圖2，AB∥CD∥Ox，BC∥DE∥Oy，AB=CD=n，BC=DE=nk，根據“SAS”可以判定△ABC≌△CDE，那么∠A=∠ECD，從而得∠ACB+∠BCD+∠ECD=180°，即A，C，E三點共線.由于n具有任意性，依此類推，函數y=kx+b（k＞0）的圖象是一條直線.

圖2

這樣的啟發和引導，既考慮了學生的認知水平，又順應了結論的自然生長，讓學生理解了一次函數的圖象為什么是一條直線.同時，讓學生在經歷從變量同幅度增減到圖象以直線呈現的過程中，發展了思維的邏輯性和深刻性.

三、聚焦生長的自主性，發展思維的創造性

創造性思維是以感知、記憶、思考、聯想、理解等能力為基礎，以綜合性、探索性和求新性為特征的高級心理活動.在數學教學活動中，教師常用類比、變式等方式引發學生進一步思考，試圖發展學生思維的創造性.而這一目標的落實，其根本在于學生具有自主類比、探究的意識和能力.“生長數學，生命成長”的視角強調學生數學學習既是知識、方法、經驗、思維生長的過程，更是學生生命體成長的過程.教師的教學應該通過環境創設、氛圍營造、問題聚焦、活動組織等途徑，喚醒學生的生長意識、激發學生的生長動力、積聚學生的生長潛能，實現學生的知識、能力、情感、態度、價值觀等自發、自由、自主地生長.然而，知識點的教學要以數學課程標準和教材為依據，需要教師的引導和組織才能完成，學生在這個過程中自主生長的空間有限，而例題和習題的可改編性強，可挖掘的價值大，學生自己也可以進行創編.因此，例題和習題的變式教學成了學生自主生長的主要陣地.

案例3：相似三角形的性質及其應用.

在浙教版教材九年級上冊“4.5相似三角形的性質及其應用（3）”一節中有以下一道課后練習題.

如圖3，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120 mm，高線AD=80 mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上.問加工成的正方形零件的邊長為多少？

圖3

該習題可挖掘的價值很高，2014年中考浙江紹興卷第20題就是基于此題進行改編的.正因為如此，筆者觀摩的“相似三角形的應用”的復習課中，幾乎每一節課都會引用此習題.有的教師將此習題進行縱向變式，將三角形內的正方形PQMN弱化成矩形，然后利用相似三角形和二次函數的性質解決矩形面積的最值問題.究其原因，是因為這樣的變式從特殊到一般，由靜到動，層層遞進，滲透了建模、轉化等思想.但這樣的變式教學仍然由教師在主導，學生只是在教師設定的“變式1”到“變式n”之間來回“刷題”，強化知識點而已，學生的思維缺乏發散性和創造性.這樣缺乏自主生長的教學，終究無法落實數學育人的目標.

在一次研修活動中，筆者以培養學生的自主生長能力為目標執教了一節探究課——內接正方形的生長探究.這節課以這道教材習題引入，在學生回顧該習題的解決思路后，筆者讓學生針對該題再提出一個疑問.其中有如下三個問題比較有探究價值.

（1）為什么已知三角形的底和高就能求出內接正方形的邊長？是否存在一個公式？

（2）在一個已知的三角形中，不通過計算，怎樣才能畫出這樣的正方形？

（3）如果將這個外接三角形改為扇形，那么這個內接正方形的邊長該怎么求？

在這節課中，筆者選取了問題（1）和學生一起進行了探究學習，從特殊到一般地歸納出了三角形的底和高與正方形邊長之間的數量關系，并在課后讓學生繼續探究其余兩個問題.

相比前一種教學，這樣的教學方式更突出以學生為主體.教師主要創設環境、營造氛圍，引導學生從不同的角度發現問題、提出問題，激發學生的生長潛能，而當學生自發、自主地提出問題時，這便是一種“思維必然”.由于思維的差異性，學生的自主生長探究會更具層次性，擺脫了固定模式的變式，學生的思維生長也更具發散性和創造性.

四、結束語

“生長數學”理念以育人為根本，順應課程改革和時代發展，以“生長數學，生命成長”的視角重構初中數學教學具有重要意義.在基于“生長數學”的教學過程中，教師要以發展學生的思維為目標，凸顯數學教學的育人價值.在教學過程中，教師應該深入研究教材，在教學中聚焦生長的結構性、自然性和自主性，讓學生理解知識的發生、發展過程，以整體的視角看清數學知識的本質，并自主探索求新，從而發展學生思維的系統性、邏輯性和創造性.