劉金英

（天津市教育科學研究院）

2022年中考是教育部頒發《義務教育課程方案（2022年版）》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）后的首次中考，也是“雙減”政策實施后的第一次中考．落實育人為本、倡導知行合一、體現融合創新的學業質量評價，必然是中考命題的顯著特征.本文擬結合“綜合與實踐”專題內容，對2022年全國各地中考的典型試題進行評析，并提出2023年該專題的中考復習教學建議.

一、考查內容分析

2022年中考“綜合與實踐”試題，以問題為載體、以情境為依托、以探究為途徑，更加注重對綜合性、過程性、應用性和實踐性內容的考查.同時，優化了問題呈現的情境，注重引導，設置梯度，強化素養立意，整體實現了“以現實問題和跨學科實踐為主，采用項目式學習方式”的課程要求，體現了數學學科的育人價值．

1.考查內容概述

《標準（2022年版）》指出，初中階段綜合與實踐領域，可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的融合，積累數學活動經驗，體會數學的科學價值，提高學生發現與提出問題、分析與解決問題的能力，發展應用意識、創新意識和實踐能力．

與《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）相比，在課程內容的要求上，共同指向了以問題為載體，落實“四基”“四能”，體現綜合性、過程性和應用性的特征，即學生通過“綜合與實踐”專題的學習，可以體驗建立模型、解決問題的過程，了解學過的知識（包括其他學科知識）之間的內在關聯，發展應用意識和能力.所不同的是，《標準（2022年版）》進一步提出了以問題解決為導向的實踐活動的重點是“項目式學習方式”，突出了問題呈現的真實情境和跨學科內容的融合創新，強化了實踐性的要求．

2.考查要點分析

（1）設計理念.

依據《標準（2022年版）》和《標準（2011年版）》的課程理念，2022年全國各地區中考普遍從不同側面、不同角度對“綜合與實踐”專題內容進行了全面考查.例如，為考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力，在之前強調以問題為載體的基礎上，更加注重以問題解決為導向，綜合數與代數、圖形與幾何、統計與概率三個領域的知識內容，以及物理、地理、生物和體育等其他學科內容，重在知識之間的內在聯系；為考查學生基于“綜合與實踐”專題所達成的數學核心素養，重在從數學的角度發現和提出問題，用數學的思維方法有邏輯地分析和解決問題，用數學的語言和工具建立模型表達和描述現實世界.

（2）呈現方式.

2022年全國各地的中考數學試卷，包含省級統一命題的中考試卷（以下統稱“省卷”），也包含目前還未省級統一命題的中考試卷（以下統稱“地方卷”）.對于“綜合與實踐”專題：在題型方面，有重點從某種角度切入突出體現問題導向和現實意義的選擇題或填空題，也有體現探究過程或設計任務單等方式的解答題；在難度方面，容易題、中檔題和難題均有所涉及，省卷中安徽卷第23題、江西卷第23題、河南卷第23題、陜西卷第26題，以及地方卷中貴州遵義卷第23題、山東泰安卷第25題、湖南永州卷第26題、四川成都卷第26題等，均是壓軸題，有一定難度．

（3）典型示例.

用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界，是《標準（2022年版）》提出的數學核心素養.2022年全國各地中考在試題命制上進行了積極探索，省卷中涌現出許多典型試題，如表1所示．為呈現跨學科、項目式學習方式，2022年全國各地區中考命題人員做了新的嘗試，地方卷中有一些典型試題，如表2所示.

表1 省卷中體現數學核心素養的典型試題

表2 地方卷中體現項目式學習方式的典型試題

筆者認為，按照當前各地中考紙筆作答的形式，從命題的角度設計出能夠充分體現綜合性、跨學科、實踐性、多元化的“項目”，還需要一個不斷探索的過程.同時，基于本屆學情和教情的實際情況，其課程的主要內容要求依然是《標準（2011年版）》，表2中的項目給出了很好的樣例.大多數相關試題的設計均在積極落實《標準（2022年版）》的課程理念，力求在某些方面有所突破，傳承改進、融合創新．

二、命題特點分析

著力培養學生的核心素養，是數學課程的整體要求.2022年全國各地中考“綜合與實踐”專題分別從試題內容設計的綜合性、現實意義、承載的思想方法和應用價值等四個方面較好地體現了這一要求．

1.以問題解決為導向，重視綜合性和內在關聯

綜合性是“綜合與實踐”專題的顯著特征，需要以現實問題為載體，并基于問題之中要素與要素間的內在關聯，綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法予以解決，是命制這部分試題時常用的方法．

（1）問題來源于數學內部.

問題是數學的心臟．數學內部的問題，往往需要通過觀察、分析、探索、聯想等積極的思維活動尋求解決方案．

例1（江西卷）沐沐用七巧板拼了一個對角線長為2的正方形（如圖1（a）），再用這副七巧板拼成一個長方形（如圖1（b）），則長方形的對角線長為_______.

圖1

考查目標：該題以解決七巧板拼圖中的問題為依托，綜合等腰直角三角形、平行四邊形、矩形、正方形的性質及勾股定理的內容，重點考查了組合圖形中幾何要素之間的相互依存關系．

命題意圖：通過觀察分析、動手操作及合理運用依存關系解決問題，可以有效甄別學生理解幾何圖形基本性質的能力層次.該題中七巧板由5個等腰直角三角形、1個平行四邊形和1個正方形組成，題目的設計正是通過拼圖過程中基于圖形中邊、角之間的內在聯系獲得其中的位置關系和數量關系，當給定某條邊的長度時，由勾股定理就可以得到相關線段的長．

命題評價：七巧板是中國古代勞動人民的發明，被譽為“東方魔板”.以七巧板拼圖設計問題，在綜合考查基本圖形的基本性質的同時，進一步體現了其美學價值和中華優秀傳統文化的魅力.類似地，四川遂寧卷第21題綜合反比例函數和二次函數圖象上點的特征及函數的性質，解決了新定義的“黎點”及其相關問題；浙江麗水卷第16題綜合了矩形、代數式和整式的運算等內容，研究四個矩形不重疊地圍成新矩形的情境中線段之間的內在聯系．

（2）問題來源于其他學科.

數學是一門工具學科，在物理、生物、地理、體育等學科中有著廣泛的應用.解決來源于其他學科的問題，可以感受到數學作為一種通用的科學語言在其他學科中的應用，是發展學生數學應用意識的重要途徑之一．

例2（山西卷）根據物理學知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強p（Pa）是它的受力面積S（m2）的反比例函數，其函數圖象如圖2所示，當S=0.25m2時，該物體承受的壓強p的值為_________.

圖2

答案：400Pa．

考查目標：該題的問題來源于物理學科，綜合反比例函數的表達式及其圖象，重點考查了應用反比例函數解決物體承受的壓強問題．

命題意圖：能結合具體情境體會反比例函數的意義，并根據圖象上點的特征用待定系數法確定反比例函數的表達式是關鍵，體現了對模型觀念的考查．該題中物體承受的壓強p與它的受力面積S具有反比例函數的關系，表達的是一個量變化另一個量隨之變化，可以用具有一般性的反比例函數的表達式進行刻畫.這里S是自變量，p是關于S的函數，當給定S的一個數值時，對應的函數值p就有唯一確定的值與之對應．

命題評價：該題與物理學科知識緊密聯系，依托具有反比例關系的兩個變量之間的對應關系，由特殊到一般再到特殊，自然合理，水到渠成，體現了“函數是刻畫同一變化過程中兩個變量之間的單值對應關系的模型”的思想內涵．類似地，廣東卷第20題涉及了物理學科中“彈簧長度與所掛物體質量的數量關系”，需要綜合一次函數的知識予以解決；湖北宜昌卷第5題、浙江舟山卷第15題、山東臨沂卷第20題，均與物理學科知識相關；貴州遵義卷第15題研究“北緯28°緯線的長度”，與地理學科知識相關；臺灣卷第26題研究“綠藻細胞”，與生物學科知識相關．這些“問題”可以作為開展“綜合與實踐”專題項目式學習的素材．

2.以設置情境為依托，關注真實性和現實意義

《標準（2022年版）》指出，在社會生活和科學技術的真實情境中，結合方程與不等式、函數、圖形的變化、圖形與坐標、抽樣與數據分析等內容，經歷現實情境數學化，探索數學關系、性質與規律的過程，感悟從數學的角度發現問題和提出問題，逐步形成“會用數學的眼光觀察現實世界”的核心素養.因此，從數與代數、圖形與幾何、統計與概率的角度，在真實情境中觀察與分析現實世界，并將其轉化為恰當的數學問題，感受數學學科內容的現實意義，必然成為命題的重要方面．

（1）從數與代數的角度觀察現實世界.

例3（重慶B卷）圖3是小穎0到12時的心跳速度變化圖，在這一時段內心跳速度最快的時刻約為（ ）.

圖3

（A）3時 （B）6時

（C）9時 （D）12時

答案：C．

考查目標：該題給出了心跳速度變化圖，考查能根據函數圖象分析實際問題中變量的信息，并結合圖中信息對變量的變化趨勢進行初步推測．

命題意圖：該題意在引導學生從數學的角度觀察現實世界，感受數學作為一種通用的科學語言在其他學科中的應用價值．

命題評價：該題給出了心跳速度變化圖，圖中每個點的橫、縱坐標都是具有單值對應關系的兩個變量，“心跳速度最快”表示其函數值取最大時的情況，對應的自變量的值即為所求.此題的設計思路與《標準（2022年版）》附錄中的“例89體育運動與心率”是一致的，均需要利用數學的方式觀察、表達現實世界中變量與變量之間的對應關系.類似地，北京卷第25題選用的“單板滑雪大跳臺”、河南卷第10題選用的“呼氣式酒精測試儀”、湖南長沙卷第16題選用的“二維碼”等，都是非常好的現實情境，均可以作為“數與代數”主題中項目學習的切入點．

（2）從圖形與幾何的角度觀察現實世界.

例4（天津卷）在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形.下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（ ）.

答案：D．

考查目標：該題以社會主義核心價值觀公民層面的美術字為素材，主要考查了軸對稱圖形的概念．

命題意圖：該題選自人教版教材八年級上冊第十三章軸對稱“數學活動1 美術字與軸對稱”，讓學生認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱圖形，使學生感受到軸對稱圖形無處不在．

命題評價：該題依托數學學科內容，通過選取社會主義核心價值觀的基本內容和要求，突出了數學內容所承載的文化和價值取向.類似地，福建卷第4題、湖南永州卷第3題、山東臨沂卷第2題、四川自貢卷第6題選取的窗花，融入了中華優秀傳統文化元素；山西卷第2題選取的航天圖標，展現了中國航天科技的新高度；重慶B卷第2題、湖南婁底卷第4題、四川內江卷第4題選取了第24屆北京冬奧會的圖案；等等.另外，湖北鄂州卷第14題選取中國象棋某次對弈的殘局圖、浙江金華卷第7題選取城市某區域的示意圖，設計思路與《標準（2022年版）》附錄中的“例90 繪制公園平面地圖”是一致的.這樣的素材，根植中華優秀傳統文化，展現當代中國科技的進步，弘揚社會主義核心價值觀，能夠有效激發學生的愛國情懷，增強學生的民族自信心和自豪感，開闊學生的視野，培養學生的應用意識，可以作為“圖形與幾何”主題中項目學習的切入點．

（3）從統計與概率的角度觀察現實世界.

例5（吉林卷）為了解全國常住人口城鎮化率的情況，張明查閱相關資料，整理數據并繪制如圖4所示的統計圖.

圖4

回答下列問題：

（1）2017—2021年年末，全國常住人口城鎮化率的中位數是_______．

（2）2021年年末全國人口141260萬人，2021年年末全國城鎮常住人口為_______萬人．（只填算式，不計算結果.）

（3）下列推斷較為合理的是_______（填序號）．

①2017—2021年年末，全國常住人口城鎮化率逐年上升，估計2022年年末全國常住人口城鎮化率高于64.72%；

②全國常住人口城鎮化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年年末增加0.83%，全國常住人口城鎮化率增加幅度較小，估計2022年年末全國常住人口城鎮化率低于64.72%．

答案：（1）62.71%；（2）141260×64.72%；（3）①.

考查目標：該題選擇“全國常住人口城鎮化率”的問題為背景，主要考查學生對反映數據集中趨勢的統計量“中位數”意義的理解，以及通過統計圖所提供的數據信息進行合理推斷的能力．

命題意圖：通過收集現實生活中的數據、整理繪制統計圖，以及觀察、分析隨機現象的變化趨勢，使學生感悟到從不確定的角度認識客觀世界的思維模式和解決問題的方法．

命題評價：該題通過設計“張明查閱相關資料，整理數據并繪制統計圖”提供的信息，呈現數據的數字特征和現實意義，幫助學生感知大數據時代的特征，體會數據分析的重要性，發展了學生的數據觀念.該題設計思路與《標準（2022年版）》附錄中的“例91國內生產總值（GDP）調研”是一致的.類似地，云南卷第20題“學校藝術節上，判斷用游戲的方式確定表演的節目是否公平”，甘肅威武卷第23題“北京冬奧會時，討論小明和小穎被分配到同一場館做志愿者的概率”，湖南湘潭卷第20題“主題比賽活動中，研究兩人恰好講述同一名科技英雄故事的概率”，這些問題均綜合了概率內容，通過分析簡單隨機事件的所有可能的結果，引導學生體會現實世界中大量存在的隨機現象．這樣的設計真實、自然，與學生的實際生活密切相關，具有較強的現實意義，可以作為“統計與概率”主題中項目學習的切入點．

3.以探究路徑為重點，強調過程性和研究方法

《標準（2022年版）》指出，用數學的思維方法，運用數學與其他相關學科的知識，綜合地、有邏輯地分析問題，經歷分工合作、試驗調查、建立模型、計算反思、解決問題的過程，提升思維能力，逐步形成“會用數學的思維思考現實世界”的核心素養．因此，通過模擬研究路徑和方法，呈現有邏輯的思考、設計可操作的任務，為學生提供綜合應用所學知識、方法解決數學學科內部或現實問題的機會，從而幫助學生獲得完整的探究活動的結構，是命題的關鍵環節．

（1）重在呈現有邏輯的思考.

例6（河南卷）綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動．

（1）操作判斷.

操作1：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作2：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM．

根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖5中一個30°的角：_______．

圖5

（2）遷移探究.

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ．

①如圖6，當點M在EF上時，∠MBQ的度數為_____，∠CBQ的度數為______；

圖6

②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖7，判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由．

圖7

（3）拓展應用.

在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ=1cm時，直接寫出AP的長．

答案：（1）∠MBC（答案不唯一）.

（2）①15°，15°；②∠MBQ=∠CBQ，理由略.

考查目標：該題是河南卷壓軸題，以“矩形的折疊”為主題開展數學活動的形式，設置了“操作判斷—遷移探究—拓展應用”的探究過程，主要涉及正方形、矩形、直角三角形的性質及三角形全等的判定和性質．

命題意圖：該題源自人教版教材八年級下冊第十八章“平行四邊形”中的“數學活動1 折紙做60°，30°，15°的角”，考查學生能否通過軸對稱變換的方式研究基本圖形中要素之間的位置關系和數量關系，能否將已有的研究經驗和方法遷移至新的問題情境中，并用于解決更加復雜的問題.

命題評價：該題的問題設計逐層深入，環環相扣；探究路徑既有從一般到特殊，也有從特殊到一般；研究方法既有圖形中要素間的位置關系和數量關系，也有在“做數學”的過程中所呈現的有邏輯的思考方式，將所要考查的知識隱匿于操作、探究活動的過程之中，使學生在解決問題的過程中體會到如何基于圖形的變化進行探究、應循著怎樣的路徑去探究，有助于學生養成合乎邏輯的思維習慣.善學會用，引導學生積累活動經驗，學會探究、遷移和應用，是該題的亮點．

這樣的設計，在2022年全國各地的中考試題中所占比例較高.例如，設計為壓軸題的，有山東泰安卷第25題，通過“問題探究—遷移運用”，將探究三角形中線段之間關系的經驗和方法應用于研究圓內接四邊形中線段之間的關系；有四川成都卷第26題，通過“嘗試初探—深入探究—拓展延伸”，討論圖形變化中的不變性；還有貴州遵義卷第23題，通過“提出問題—探究展示—反思歸納—拓展探究”，討論四點共圓的條件.再如，湖南岳陽卷第23題的“特例發現—探究證明—拓展運用”，湖南湘潭卷第25題的“特例體驗—規律探究—嘗試應用”，湖北黃岡卷第23題的“問題背景—應用拓展”，貴州黔東南州卷第25題的“探究發現—拓展遷移”，均呈現了豐富的數學思維活動的展開方式，為開展項目式學習提供了很好的問題解決著力點．

（2）重在設計可操作的任務.

例7（浙江·溫州卷）根據表3中的素材，探索完成任務.

表3

答案：以拱頂為原點建立平面直角坐標系，可得拋物線的函數表達式為，完成任務1；任務2，懸掛點的縱坐標的最小值是-1.8，橫坐標的取值范圍為-6≤x≤6；任務3，由拋物線的軸對稱性，可以從頂點處開始懸掛燈籠，共掛7盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是-4.8，也可以從對稱軸兩側開始懸掛燈籠，共掛8盞燈籠，最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是-5.6．

考查目標：該題設置了一個現實生活中的真實情境，需要運用所學的數學知識設計拱橋景觀燈的懸掛方案，主要涉及建立適當的平面直角坐標系，確定拋物線的函數表達式及二次函數的性質與應用，重點考查根據已知條件建立數學模型，并結合模型中變量的現實意義分析滿足條件的點的坐標特征．

命題意圖：一方面，基于真實情境，讓學生體會數學學科與現實生活的密切聯系；另一方面，試題呈開放式設計，選取的平面直角坐標系不同，所確定的拋物線的函數表達式不同，設計的方案也就不同.學生可在運用不同方法解決實際問題的過程中，感受數學的應用價值．

命題評價：該題以任務單的方式，把問題解決的過程呈現出來，便于學生理解和參與，設計新穎，可操作性強，對于學生理解實際問題中變量之間對應關系的現實意義、體會模型觀念具有重要意義.這里綜合運用數學、建筑、藝術等內容進行探究的過程與方法，同樣為開展項目式學習提供了很好的問題解決著力點．

4.以核心素養為根本，突出實踐性和應用價值

《標準（2022年版）》指出：用數學的語言，將現實問題轉化為數學問題，經歷用數學方法解決問題的過程，感悟科學研究的過程與方法，感受數學在與其他學科融合中所彰顯的功效，積累數學活動經驗，逐步形成“會用數學的語言表達現實世界”的核心素養.因此，在現實情境中，提出能引發學生思考的數學問題，體會數學是認識、理解、表達現實世界的工具、方法和語言，養成良好的學習習慣，是命題的基本原則.

（1）用數學語言表達現實世界.

例8（安徽卷）如圖11，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米.以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規定一個單位長度代表1米.E（0，8）是拋物線的頂點．

圖11

（1）求此拋物線對應的函數表達式；

圖12

圖13

圖14

②現修建一個總長為18米的柵欄，有如圖13和圖14所示的修建型或型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時點P1的橫坐標的取值范圍（P1在P4右側）．

考查目標：該題設置了“在隧道截面內修建柵欄”的現實情境，考查二次函數的表達式、圖象和性質，函數值及其應用.同時，考查學生綜合運用矩形性質、平行線性質、解一元二次方程等內容解決實際問題的能力．

命題意圖：意在引導學生用數學的語言和工具解決現實問題，體會數學應用的普遍性．

命題評價：該題以真實情境為背景，以問題解決為導向，將數學與現實生活中的問題有機融合，提出能引發學生思考的數學問題，從函數圖象出發，結合圖象上點的特征，討論點、線段和拋物線的函數表達式之間的相互轉化，從“數”與“形”兩個角度審視同一問題，是數形結合思想方法的具體體現.同時，通過對不同設計方案的選擇，可以引導學生學會用數學符號建立方程和函數表示問題中的數量關系和變化規律，并在求出結果及討論結果現實意義的基礎上，養成理論聯系實際的習慣，發展實踐能力.這樣的設計承載了項目式學習的重要觀點．

（2）用數學工具解決現實問題.

例9（四川·自貢卷）某數學興趣小組自制測角儀到公園進行實地測量，活動過程如下.

（1）探究原理.

制作測角儀時，將細線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G.測量時，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖15），繞點O轉動量角器，使觀測目標P與直徑兩端點A，B共線（如圖16），此時目標P的仰角∠POC=∠GON.試說明兩個角相等的理由．

圖15

圖16

（2）實地測量.

如圖17，公園廣場上有一棵樹，為測量樹高，同學們在觀測點K處測得樹頂端P的仰角∠POQ=60°，觀測點與樹的距離KH為5米，點O到地面的距離OK為1.5米.求樹高PH.（≈1.73，結果精確到0.1米.）

圖17

（3）拓展探究.

公園高臺上有一涼亭，為測量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖18），同學們經過討論，決定先在水平地面上選取觀測點E，F（點E，F，H在同一直線上），分別測得點P的仰角α，β，再測得E，F間的距離m，點O1，O2到地面的距離O1E，O2F均為1.5米.求PH（用α，β，m表示）．

圖18

答案：（1）由圖形中角與角之間的位置關系，根據同角或等角的余角相等可得；

（2）樹高PH約10.2米；

考查目標：該題主要考查銳角三角函數和解直角三角形的內容.全面掌握直角三角形的組成要素（邊、角）之間的關系，在現實場景中合理使用工具，綜合運用已學知識解決與直角三角形有關的測量問題是解題的關鍵．

命題意圖：通過設置貼近學生實際的現實背景和呈現方式，使學生體會到數學就在身邊，感受到數學知識的工具性作用，并在解決實際問題的過程中形成并發展運算能力、推理能力和模型觀念，是該題的設計意圖．

命題評價：該題源自于人教版教材九年級下冊第二十八章“銳角三角函數”中的“數學活動1 制作測角儀，測量樹的高度”和“數學活動2 利用測角儀測量塔高”.該題依托真實情境，有一定的活動性，操作性較強，從“探究原理”明確仰角的含義出發，到測量底部能夠到達的“實地測量”樹的高度，再到測量底部不能到達的涼亭的高度，親切自然，有理有據，科學合理，增強了學生對同類問題的認識，提高了學生解決問題的能力.從數學角度來看，解直角三角形解決了與直角三角形有關的度量問題，是初中數學的重要內容.事實上，該題第（3）小題的設計，給出了這類問題的一般解法和結論，具有普適性，充分發揮了銳角三角函數和解直角三角形在解決實際問題中所起的作用．

該題的設計，有真實情境，有重要觀點，有探究路徑，有一般性結論，如果將真實情境設置為與中國文化古跡、風景園林建筑、植物生態分布等內容相關，并將活動的過程設計為“學習任務—學生活動—教師組織—活動意圖”，應該就是一個非常好的項目式學習的教學案例．

三、復習教學建議

通過上述對2022年全國各地中考典型試題的分析，可以看到，關于“綜合與實踐”專題的考查，既強調數學學科內部知識的關聯，又重視與其他學科內容的有機融合；強調以問題解決為導向，依托真實情境，考查學生在動手操作、實踐檢驗、推理論證中合理選擇已有學習經驗、有效應用數學知識的能力和水平；同時承載了數學的思維方式，彰顯了數學學習的應用價值.因此，以重要觀念為統領，注重結構化、實踐性、整體性是“綜合與實踐”專題復習教學的重要方面.

1.明確新課程理念，樹立大概念意識

數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分，在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用．

在“綜合與實踐”專題教學中，教師要充分發揮《標準（2022年版）》為數學教學改革和實踐“定標”的作用，基于大概念設定教學目標，引導學生在跨學科的背景下用數學的眼光觀察現實世界，用數學的語言表達現實世界中事物的概念、關系和規律，幫助學生感悟數學與現實世界的聯系，發展實踐能力和創新精神，增強社會責任感，樹立正確的世界觀、人生觀和價值觀，以便更好地發揮數學課程的育人功能．

2.基于結構化內容，精選好問題資源

數學知識不是孤立的、分散的個體，存在著其自身的產生與來源、結構與聯系、價值與意義，具有整體性、邏輯性和思想性等特點.開展“以現實問題和跨學科實踐為主，采用項目式學習方式”的教學，就是要打破“一個個地教”“一個個地學”的定式，使學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，從數學概念、原理及法則之間的聯系出發，對內容進行重組和優化，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識．

在“綜合與實踐”專題教學中，教師要基于結構化內容，精選“好問題”資源.例如，在知識交會處設計問題，體現綜合性；在學生思維的最近發展區內提出問題，引導學生進行積極的數學思考；在學生的實驗操作過程中分解問題，即將復雜問題進行有序分解，讓學生在操作中思考，在思考中發現，在問題分解的過程中獲得解決問題的基本策略和經驗，體現“做數學”的過程和方法．

3.落實實踐性要求，采用項目式學習

《標準（2022年版）》強調：改變單一講授式教學方式，注重啟發式、探究式、參與式、互動式等教學方式，探索大單元教學，積極開展跨學科的主題式學習和項目式學習等綜合性教學活動.根據不同的學習任務和學習對象，選擇合適的教學方式或多種方式相結合，組織開展教學.通過豐富的教學方式，讓學生在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中感悟基本思想，積累基本活動經驗，發揮每一種教學方式的育人價值，促進學生數學核心素養的發展．

在“綜合與實踐”專題教學中，教師可創設真實情境，從社會生活、人文科學及學生已有的數學經驗等方面入手，引導學生開展豐富多樣的實踐活動，通過經歷觀察、思考、抽象、預測、推理、反思等過程，幫助學生學會發現、學會探究、學會實踐，逐步達到對數學知識的意會和感悟，使學生能夠在一點一滴的實踐經驗的基礎上，體會數學是認識、理解、表達現實世界的工具、方法和語言，養成良好的學習習慣.

4.增強整體性指導，實現“教—學—評”一致

《標準（2022年版）》注重實現“教—學—評”一致性，細化了評價與考試命題建議，切實加強了對教學與評價的指導，增加了相關案例，不僅明確了“為什么教”“教什么”“教到什么程度”，而且強化了“怎么教”的具體指導，以形成育人合力．

建議在“綜合與實踐”專題教學中，一是要關注所有學生的學習過程，發揮每個項目的作用，結合學生的學習特點，不斷豐富教學與評價的方式和維度；二是要精選好的項目，以任務驅動、持續探究、學生參與、學科融合等方式開展教學實踐活動；三是要合理利用評價結果，通過提煉重要觀點，明確其學業成就的具體表現特征及能力層次的要求，更多地關注學生的進步，關注學生已有的學業水平與提升空間，充分發揮評價的激勵作用．

四、典型模擬題

提出問題：黃瓜銷售的純收益與上市時間具有怎樣的關系？以某蔬菜種植基地為例，假設市場銷售價格減去種植成本就是純收益．

探究發現：通過收集、整理歷年黃瓜市場銷售價格和種植成本的情況，發現從1月1日開始的300天內（包括第300天），每25 kg一袋的黃瓜，市場銷售價格y1（單位：元/袋）與上市時間t（單位：天）的關系能用一條折線上的點表示，如圖19所示；種植成本y2（單位：元/袋）與上市時間t（單位：天）的關系能用拋物線的一部分上的點表示，如圖20所示.那么y1，y2關于t的函數表達式分別是什么？

圖19

圖20

分析推理：如果不考慮其他因素的影響，按照上述市場銷售價格y1和種植成本y2關于上市時間t的變化規律，判斷何時上市的黃瓜純收益最大？最大值M是多少？

拓展延伸：如果調整市場銷售方案，當115≤t≤120時，規定：上市時間t從1月1日開始的第115天開始，每增加1天，市場銷售價格在上述y1的基礎上每1kg提高0.2元.試進一步討論，若還是按照上述種植成本y2關于上市時間t的變化規律，試判斷在價格調整期間黃瓜銷售純收益的最大值能否超過調整前的最大值M？

命題意圖：以函數內容為主題，綜合運用經濟、社會、文化等知識，討論現實生活中產品的市場銷售與上市時間之間的關系．

試題答案：由圖19，可得黃瓜市場銷售價格y1與上市時間t的函數關系式為：當0≤t＜200，y1=-t+300；當200≤t≤300時，y1=2t-300.由圖20，可得黃瓜的種植成本y2與上市時間t的函數關系式為y2=+100，其中0≤t≤300.

當0≤t＜200和200≤t≤300，根據市場銷售價格減去種植成本就是純收益，依次得到黃瓜純收益y與上市時間t的函數關系式為（0≤t＜200）和y=+100（）200≤t≤300，結合t的取值范圍，可依次得到所對應的函數最大值，比較它們的大小，可知從1月1日開始的第50天時，上市的黃瓜純收益最大，最大值M是100元/袋.

進一步討論，在調整銷售方案后，可知在價格調整期間黃瓜銷售純收益的最大值能超過調整前的最大值M.

教學提示：教學中，以上述問題解決為背景，可從經濟效益、社會需求、傳統節日等方面提出與產品（這里是“黃瓜”）的市場銷售或上市時間有關的問題，作為項目式學習活動的主題.例如，在中華優秀傳統文化節日期間，對市場銷售方案做出適當調整，通過計算、判斷、推理某種產品銷售純收益取得最大值的情況，以體會不同調整方案的可行性，并對該產品的上市時間做出最好的安排.也可以通過重新收集、整理歷年某產品的市場銷售與上市時間的關系的情況，繪制圖象、建立函數模型進行分析和預測．在這樣的學習活動中，學生經歷基于真實情境進行分析和解決問題的過程，經歷發現、探索、推理、調整等研究過程，有助于形成并發展學習能力和實踐能力，感悟數學的應用價值．

綜上所述，基于2022年全國各地中考命題分析，可以看到，“綜合與實踐”專題的教學與評價，著力培養學生的數學核心素養是目標，采用項目式學習的方式是重點，強化綜合性、過程性、應用性和實踐性是關鍵，融入跨學科知識內容、在真實情境中體會數學的科學價值是進一步改革的方向.落實育人為本、倡導知行合一、體現融合創新，幫助學生感受數學的美好，是我們始終秉持的教育情懷！