重數軸理解 促概念生成
——基于“三個理解”的數軸概念教學

周太平，朱 哲

（浙江省嘉興市秀洲區教育研究和培訓中心；浙江師范大學教育學院）

數軸是體現數形結合思想的重要工具，能夠直觀反映數的大小、順序、正負信息等，是建立坐標系的基礎.在初中數學教學中，教師幫助學生正確理解數軸的概念是很有必要的.實際教學中，教師是如何理解數軸的？如何處理教材中的數軸知識呢？我們又應該對數軸教學有怎樣的分析和改進呢？本文對此進行探討.

一、教學中存在的認識數軸的誤區

對于數軸，即規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸，其中，原點、正方向和單位長度是數軸的三要素.據此，教師在教學過程中往往會給出如下畫數軸的方法：（1）畫直線，取原點；（2）標正方向；（3）選取單位長度再標數.從而畫出如圖1所示的比較標準的數軸．

圖1

對于圖2，根據數軸的表述，有很多教師認為它不是數軸，因為沒有標明原點和單位長度.對于圖3也一樣，理由是沒有標明原點和正方向.還有教師認為，數軸一定是水平方向的，豎直方向的、斜方向的不是數軸．產生這些誤區的原因，主要在于這些教師對建立數軸的必要性、數軸三要素和數軸抽象的理解不到位.在七年級教學中，教師要求學生畫數軸時必須畫出三要素，這種要求在學生初學數軸時是必要的.但是教師對數軸的理解不能這樣片面.對于數軸，它的三要素缺一不可，但并不是必須畫出來.如圖3所示的圖形，從數字的排列看，右邊一定是正方向，1左邊一個單位的位置就一定是原點，因此這個圖形已經給出了數軸的三要素，應該是數軸．規定正方向，并不要求一定向右或者必須畫出箭頭來，因此可以間接規定而不畫出來．

圖2

圖3

厘清這些認識，教師需要先明確數軸的作用，正確理解數軸的三要素和數軸概念的本質，結合學生現有的心理發展水平和知識結構，根據概念形成教學的理解，基于理解數學、理解學生和理解教學來思考如何設計數軸的教學過程.解決好這些問題，我們就能很好地實施數軸概念的教學．

二、從“三個理解”角度對數軸概念教學進行再認識

從理解數學、理解學生、理解教學的角度對數軸概念教學進行再認識，從而優化教學設計，促進學生對數軸概念的掌握和理解.

1.正確理解數軸

數軸是數學的核心概念之一，不僅是學習相反數、絕對值等知識的重要工具，也是學習不等式解法、函數等內容的必要知識基礎.理解數軸，需要體會數軸的作用、數軸的三要素規定的必要性和合理性.

（1）明確數軸的作用.

數軸是我們研究數的性質的重要工具，因此要以合理使用為主要目的.利用數軸，我們可以從整體上認識數的概念，包括數的大小，實數的有序性和稠密性，無理數的存在性，數與點的對應關系，坐標，等等.數軸的作用主要體現在以下幾方面.

①數軸體現了數與點的對應關系.

直線是連續的，實數集也具備相應的連續性，把每個點都對應唯一一個實數的直線稱為數軸，這樣實數就和數軸上的點一一對應了.在初中階段，我們應該理解實數與數軸上的點的一一對應關系.

②數軸反映了數的大小與點的順序關系.

利用這種關系能夠比較兩個數的大小，也可以說明不同點在數軸上的位置不同.這里需要強調原點的分界作用，給解不等式提供了一定的經驗基礎.在理解數的大小的基礎上，還要強化數可以根據數軸進行排序，可以按從小到大排序，也可以按從大到小排序，可以等間距排序，也可以變間距排序，為數列的學習提供經驗基礎．

③數軸有助于理解數學概念.

很多數學概念可以通過數軸幫助理解，這里可以提出一些創新性的概念，也可以直觀地理解舊概念.例如，理解平均數時，可以把這些數表示在數軸上，再看這些數的位置與平均數的位置之間的關系.從平均數對應的點所處的具體位置來理解什么時候需要求平均數；還可以用平均數解釋一組數據的其他性質，定義對稱數、等距數等新概念，為絕對值等概念的學習提供經驗基礎．

④數軸可以解決一些實際問題的表述.

將實際問題表述到數軸上，建立已知和未知的聯系，從而達到解決實際問題的目的.小學階段，實際問題的線段圖表述的是定量水平，若將線段改成數軸，可以用“數形結合”方法來解決一些實際問題，也可以解決一些抽象的數學問題．

例如，如圖4，在一條筆直的公路上有7個村莊，其中A，B，C，D，E，F離城市的距離分別為4，10，15，17，19，20（單位：km），而村莊G正好是AF的中點.現要在某個村莊建一個活動中心，使各村到活動中心的路程之和最短，探索活動中心的建造位置.

圖4

假設以城市處為原點，向右為正方向，點P為活動中心，則點A，B，G，C，D，E，F，P分別表示數4，10，12，15，17，19，20，x，于是這7個村莊到活動中心的距離之和就可以表示為：|x-4|+|x-10|+|x-12|+|x-15|+|x-17|+|x-19|+|x-20|，經過直觀分析可以得到：當x取15時，這7個村莊到活動中心的距離之和最小.

（2）正確理解數軸的三要素.

數軸的三要素——原點、單位長度和正方向是規定一個確定數軸的必要條件.這里用的詞是“規定”，所以這種規定是有必要性的.沒有明確的規定，數與直線上的點就不會出現一一對應的關系，規定了三要素就可以用點的位置關系直觀地描述數的大小關系．

①原點.

原點是基準點，畫數軸時，我們在直線上任意取一個點確定為原點，這個點把這條直線分成兩條射線.原點表示的數是“0”，“0”表示起點，是正負數的分界點，由射線的方向可以體會從原點往左或往右時數的大小變化趨勢.在教學中，教師需要讓學生充分地從數和形兩個方面感知原點的確定對數軸上的數的表示的影響，體會數與形之間的聯系.

②正方向.

正方向是指實數從小到大的方向.我們一般要求向右為正方向，但這不能讓學生理解為正方向只能是向右.直線在平面上是任意方向的，因此數軸的方向可以指向任意方向，而不是左右兩個方向，更不是只有向右的方向才是正方向.但基于現實問題情境和后續平面直角坐標系等知識學習的需要，我們通常規定從原點向右（或上）為正方向，從原點向左（或下）為負方向.

③單位長度.

單位長度是規定了表示1的點與原點的距離.規定了0和1，就可以唯一確定2，3，4，…，在反方向上，可以唯一確定-1，-2，-3，….這樣就確定了每一個實數的唯一位置，它體現了數系擴充的思想．我們強調的單位長度，是抽象的單位1，把誰看作單位1，要看具體的實際問題.它不僅包括物理中的長度單位，還應該包括任意長度.

2.正確理解學生

學生在小學階段就學過數軸，數（整數、小數、分數）可以用數軸上的點來表示，應用數軸可以比較數的大小，等等.有了小學階段這些初步的數軸知識，到初中階段就應該提升學生對數軸的理性認識和對數域擴充的理解.由于學生對剛剛學習的正負數概念的理解還不深刻，加上數軸和數之間對應的抽象性，造成了學生理解上存在困難.

學生對數軸的直觀認知容易與生活中直線方向上物體的位置、溫度計等相聯系，學生也比較容易理解將有理數用數軸上的點表示.但學生比較難理解數軸上的點與實數的一一對應關系，這就需要教師強化引入過程，突出幾何直觀.將數軸的學習過程通過由溫度計、行程路線圖等提煉出數軸的一般結構，建立有理數與直線上點的對應關系.在這個提煉過程中，強化將數直觀地表示在直線上的經歷，同時強調在直線上可以具體地研究數的性質，使得學生能夠主動建構數軸的概念，解決理解上的難點.

3.正確理解數軸教學

《義務教育數學課程標準（2022年版）》關于第四學段中對“數軸”相關的描述是這樣的：理解有理數的意義，能用數軸上的點表示有理數，能借助數軸理解相反數和絕對值的意義，了解實數與數軸上的點一一對應.因此，教學中，“數軸”第1課時的課堂教學目標可以設定為：（1）通過對溫度計等生活中的實物進行觀察和思考，抽象出數軸的三要素；（2）能夠根據數軸的三要素正確畫出數軸；（3）能借助實例探索有理數與實數上的點的對應關系，并在“點與數的對應”過程中體會數形結合思想.對于數軸，教學的重點和難點應該是通過一系列的感知活動使學生理解建立數軸的必要性，并抽象出數軸的概念，體會原點作為數軸基準點的特殊地位，以及正方向、單位長度對數的對應關系的作用及數形結合思想．

三、基于“三個理解”的數軸概念教學案例及分析

數軸概念教學中的理解數學，即理解數軸，也就是要正確理解數軸的概念.而數軸概念的核心就是“三要素”的內涵：原點是區分方向的基準，單位長度是一個統一標準的度量線段單位，正方向需要結合現實中的“相反意義的量”和“相反方向”來理解.在此基礎上設置教學目標，體現以“概念形成”的方式設計教學的基本環節，通過設計適當的問題情境來引導學生體會數形結合思想.

1.教學案例

下面以浙教版《義務教育教科書·數學》七年級上冊“1.2數軸”中對數軸概念的引入和對“三要素”理解的教學過程為例進行闡述.

觀察：仔細觀察溫度計的示數，它有什么特點？你會讀溫度計上的示數嗎？

生1：有均勻的刻度，有數字，有零刻度.

生2：零刻度以上是零上溫度，零刻度以下是零下溫度.

生3：它有方向，上正下負.零刻度以上用正數表示，如零上20°C記作+20°C；零刻度以下用負數表示，如零下5°C記作-5°C.

……

【設計意圖】學生通過觀察溫度計的示數，分析溫度計的示數結構，討論并直觀感受溫度計上的三要素（零刻度線、均勻刻度值、溫度高低方向），經歷第一次抽象，將溫度計的刻度、零刻度線、溫度的高低抽象出數軸的三個要素（原點、單位長度、正方向）.

操作：在一條東西向的馬路上，有一個汽車站牌，汽車站牌東3m和6m處分別有一棵柳樹和一棵楊樹，汽車站牌西3m和4m處分別有一棵槐樹和一根電線桿，試畫圖表示這一情境．

師生活動：學生畫圖、討論、交流.

生4：用一條直線將汽車站牌、柳樹、楊樹、槐樹和電線桿串起來，把它們分別看成一個個點表示在這條直線上.

生5：在直線的右端標上箭頭，規定向右為東.

師：規定的目的是什么？這與我們前面學過的知識有聯系嗎？

生5：是為了能區分東邊和西邊，它和前面表示相反意義的量有關.

生6：把最東邊的和最西邊的兩棵樹之間的距離平均分為5份，每個單位長度為2 m.

師：畫圖時，用什么長度作為一個單位呢？

生7：用1cm可以，1.5 cm也可以，只要是相等的距離而且能表示這些點就可以了.

生8：把汽車站牌作為基準點，以2 cm為單位長度，基準點右邊距離汽車站牌1.5個單位、3個單位的點分別是柳樹和楊樹，基準點左邊距離汽車站牌1.5個單位、2個單位的點分別是槐樹和電線桿.

師：基準點這個說法很好！能不能以其他點為基準點呢？

(4) 施工工藝與質量。盾構施工不可避免地將擾動土體，如盾構施工狀況、施工管理、襯砌背后同步注漿等都會使土體結構的應力應變狀態發生較大變化。

生8：用其他點作為基準點也可以，表示是不是會復雜一點？

師：基準點是參考，是作為確定其他數據位置的“參照”，是為了更加簡潔、方便地表示它們的位置，大家可以嘗試一下不同的基準點的選取方法.

【設計意圖】學生將問題場景中的情況進行作圖分析，作圖的分析過程中涉及原點的選擇、刻度的設置、正方向的設定等問題，思考的過程就是對數軸三要素理解和再認識的過程.學生在作圖中思考、感悟數軸三要素的必要性，在抽象過程中強化對數軸概念中三要素的理解.

合作：教師展示部分學生的作圖情況，并組織大家討論圖5～8的圖形都能清楚地表示題目中的這個情境嗎？（規定：單位長度為1m，向右為東邊.）

圖5

圖6

圖7

生9：圖5、圖6沒有基準點，好像不可以？……

生9在猶豫.

生10反駁：圖5、圖6是可以的.雖然沒有標基準點，但很顯然圖5中站牌的位置就是0的位置，圖6中電線桿左邊一個單位處就是基準點.

生11：我也同意生10的說法，因為已經規定了向右為正方向，所以這幾個圖都可以很清楚地表示它們之間的相對位置.就像圖8中雖然沒有標箭頭，但我們看趨勢就知道向右為正方向.

圖8

……

師：上面四個圖形清晰地表示了題目中的情境，生10和生11對三要素的理解也是正確的.但圖5和圖6是不完整的數軸畫法，作圖時我們還是需要像圖8一樣標出原點、單位長度和正方向.

【設計意圖】學生怎樣畫數軸，怎樣把數表示在數軸上，怎樣把數軸上的點用數表示出來，這些關鍵點的解決都需要對數形結合的理解，需要建立數與點的對應關系.合作環節中，通過對學生所作圖形的展示、辨析，從多角度對三要素進行辨析，使學生強化概念理解，掌握規范作圖.

2.案例分析

在這個教學片斷中，學生是自主發現“三要素”（基準點、方向和與單位長度）在刻畫事物相對位置中的作用的，感悟到用直線上的點來表示數的便利，經歷用0表示“基準點”，并借助負數概念引入表示“相反意義的量”的體驗.教師在學生經歷過這些認知、沖突和思考后，再進行數軸概念的歸納，數軸三要素的必要性和畫圖規定的要求就水到渠成了，這樣的概念理解才會合情合理、自然生成.

理解概念是理解概念教學的前提.概念的理解需要重視概念的自然生長，因需要而定、以變化而成、從解決而用.無論是人教版教材、蘇科版教材中的情境“馬路上的故事”，還是浙教版教材、北師大版教材中的情境“溫度計”，數軸概念的引入都是結合學生的生活實際，從學生已有的知識經驗中生長出來，解決用數來刻畫位置的問題.數軸概念的教學還需要關注概念引入的合理性，使學生感受用數刻畫位置的必要性.弗賴登塔爾認為要將數軸作為一種形象化工具.數軸教學中，教師要引導學生將數軸的這種形象、直觀與抽象性結合，引導學生感悟建立數軸的意義和規定三要素的必要性．

理解學生是促進概念教學實施的重要條件.概念的形成或者同化都需要抽象和概括，它是一個數學建模的過程.而現階段的學生的抽象能力正好處在相對薄弱的時候，創設符合學生認知規律的情境，重視新舊知識之間的聯系就很重要和必要.教師在教學設計時，需要在理解學生的基礎上理解數軸和數軸教學.這樣的教學設計才能夠提升學生的數學核心素養，培養學生運用數軸解決各種數學問題的能力．

基于“三個理解”的概念教學需要從“理解”的角度來思考教學定位、確定教學內容、優化教學方法、設計教學流程，不斷實踐、反思，使概念教學更合理、自然、流暢、有效.