楊 軍，劉 棟

（山東省濟南教育教學研究院；山東省濟南稼軒學校）

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）的頒布，驅(qū)動了考試評價從能力立意向素養(yǎng)立意的轉(zhuǎn)變.“隨機事件的概率”是初中數(shù)學學習的重點內(nèi)容之一，屬于“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域的一個主題.從2022年全國各地區(qū)中考“隨機事件的概率”相關(guān)試題的設(shè)計來看，更加關(guān)注對隨機現(xiàn)象的考查，強調(diào)用定量的方法刻畫隨機事件發(fā)生可能性的大小，重點考查學生的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念和應(yīng)用意識.文章結(jié)合《標準》的要求，在對60份選自全國各地區(qū)的2022年中考試卷中“隨機事件的概率”試題的各項數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計、分析和整理的基礎(chǔ)上，歸納了中考“隨機事件的概率”試題的主要特點和命制思路，并對2023年中考備考提出一些建議.

一、考查內(nèi)容分析

隨機事件的概率是對隨機現(xiàn)象的定量描述.隨機現(xiàn)象的特征是可能發(fā)生也可能不發(fā)生，且發(fā)生的可能性大小不確定.但是許多隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小是可以預(yù)測的.這是一種不確定的思維方式，主要培養(yǎng)學生從不確定的角度觀察現(xiàn)實世界的能力.《標準》對此部分內(nèi)容的要求是：（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機事件的概率；（2）知道通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率.

2022年全國各地區(qū)中考“隨機事件的概率”試題普遍選取了豐富的設(shè)問情境，從不同角度對“隨機事件的概率”內(nèi)容進行了全面考查，如表1所示.主要考點有三個：（1）隨機事件的相關(guān)概念及隨機現(xiàn)象的特點；（2）運用概率的古典定義求事件的概率；（3）從數(shù)據(jù)分析的角度用頻率估計概率.相關(guān)試題注重兩步試驗概率的計算，經(jīng)常與統(tǒng)計知識一起考查，用頻率估計概率的考查占比最小，隨機事件概念的考查較往年略有下降.

表1 60份試卷中“隨機事件的概率”試題考查內(nèi)容與題型

抽樣的2022年全國各地區(qū)中考“隨機事件的概率”試題涉及選擇題、填空題和解答題.其中，填空題約占36.2%，選擇題約占25.2%，解答題約占38.6%.填空題和選擇題主要考查學生隨機事件的概率相關(guān)的基礎(chǔ)知識和基本技能，以及對隨機事件的概率相關(guān)概念的簡單應(yīng)用；解答題則側(cè)重考查學生綜合運用隨機事件的概率相關(guān)知識的能力.從分值來看，全國各地區(qū)中考數(shù)學試卷的滿分多為120分或150分，在抽樣的60份的試卷中，“隨機事件的概率”試題的總分值為298分，對于卷面總分的平均占比為3.81%.其中，占比超過5%的試卷有21份，占比低于3%的試卷有26份.總體來看，所占比值與《標準》要求的“隨機事件的概率”課時占比基本相符.

2022年中考“隨機事件的概率”試題的考查內(nèi)容涉及多種數(shù)學思想和方法.例如，在“摸球”過程中以“放回”與“不放回”為基本數(shù)學模型，考查學生的建模思想和分類討論思想.該部分內(nèi)容還涉及對學生數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識、運算能力等素養(yǎng)的考查.對2022年全國各地區(qū)中考“隨機事件的概率”試題中涉及核心素養(yǎng)情況的統(tǒng)計如圖1所示，其中考查模型觀念占比最多，說明建立古典模型求概率仍然是此部分內(nèi)容考查的重點.

圖1

二、命題特點分析

1.全面考查基礎(chǔ)知識，突出對核心概念的理解

隨機事件的概念是認識隨機事件概率的基礎(chǔ)，以實際生活中常見的隨機現(xiàn)象為情境素材，設(shè)置判斷必然事件、隨機事件、不可能事件的問題是中考相關(guān)試題的一般性命題思路.隨機事件概率的意義一般從隨機事件在每次試驗中是否發(fā)生，以及發(fā)生的可能性大小的角度來考查.

例1（湖北·武漢卷）彩民李大叔購買1張彩票，中獎.這個事件是（ ）.

（A）必然事件 （B）確定性事件

（C）不可能事件 （D）隨機事件

答案：D.

考查目標：隨機事件、必然事件、不可能事件的概念.

命題意圖：此題主要考查學生對隨機事件、必然事件、不可能事件概念的掌握情況.在解決問題的過程中，側(cè)重引導(dǎo)學生意識到數(shù)學情境來源于現(xiàn)實生活，著重考查學生的數(shù)據(jù)觀念和應(yīng)用意識.

命題評價：此題屬于基礎(chǔ)題.通過對隨機事件、必然事件、不可能事件概念的考查，引導(dǎo)教師在教學活動中注重通過多列舉生活中常見的隨機現(xiàn)象來引導(dǎo)學生理解核心概念的意義，從而強化學生對基礎(chǔ)知識的掌握.

例2（湖北·襄陽卷）下列說法正確的是（ ）.

（A）自然現(xiàn)象中，“太陽東方升起”是必然事件

（B）成語“水中撈月”所描述的事件，是隨機事件

（C）“襄陽明天降雨的概率為0.6”，表示襄陽明天一定降雨

答案：A.

考查目標：事件的概率和事件發(fā)生的隨機性之間的關(guān)系.

命題意圖：通過“太陽東方升起”“水中撈月”“降雨的概率”“抽獎活動的概率”等生活實例考查學生對概率意義的理解，考查學生對事件的概率和事件發(fā)生的隨機性之間關(guān)系的掌握情況.在解決此類問題的過程中，需要運用到大量的生活常識和跨學科知識，著重考查了學生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

命題評價：此題屬于基礎(chǔ)題.在引導(dǎo)學生辨析事件的概率和事件發(fā)生的隨機性之間的關(guān)系的同時，教師要引導(dǎo)學生應(yīng)用數(shù)據(jù)觀念去分析生活常識及跨學科事例.

例3（貴州·貴陽卷）某校九年級選出三名同學參加學校組織的“法治和安全知識競賽”.比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序.主持人將表示出場順序的數(shù)字1，2，3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（ ）.

（A）小星抽到數(shù)字1的可能性最小

（B）小星抽到數(shù)字2的可能性最大

（C）小星抽到數(shù)字3的可能性最大

（D）小星抽到每個數(shù)的可能性相同

答案：D.

考查目標：基本事件發(fā)生的可能性大小.

命題意圖：此題以抽簽活動為背景，考查基本事件發(fā)生的可能性大小，考查學生在學習過程中獲得數(shù)學基本活動經(jīng)驗的情況，以及是否具備了應(yīng)用意識，是否能用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界.

命題評價：此題屬于基礎(chǔ)題.概率試題的問題情境都是生活中常見的隨機現(xiàn)象，且大部分情境在教材中都有所呈現(xiàn)，一般通過選擇題或填空題的形式進行考查.通過對基本事件發(fā)生的可能性大小的考查，引導(dǎo)教師在教學活動中要注重學生基本活動經(jīng)驗的獲得，并培養(yǎng)學生的“數(shù)學眼光”.

2.重點考查數(shù)學方法，突出模型觀念

（1）古典概型.

用列舉法求隨機事件的概率是定量研究隨機現(xiàn)象的重要內(nèi)容.通常以摸球、拋硬幣、抽撲克牌等學生熟悉的隨機試驗為載體，通過畫樹狀圖或列表呈現(xiàn)出基本事件及所求隨機事件的結(jié)果，用古典概型公式求解.從2022年中考“隨機事件的概率”部分的試題來看，在考查基本模型的基礎(chǔ)上，命題背景的設(shè)計更加新穎，突出考查了學生的建模思想和化歸思想.

例4（北京卷）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別.從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（ ）.

答案：A.

考查目標：古典概型——摸球模型.

命題意圖：讓學生在列出所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果（紅，紅），（紅，綠），（綠，紅），（綠，綠）后，根據(jù)結(jié)果（紅，綠）出現(xiàn)的次數(shù)，再利用概率公式進行計算.此題考查學生用畫樹狀圖法或列表法解決兩步試驗的概率問題的同時，考查學生區(qū)別兩步試驗中的“放回”和“不放回”模型的能力，以及學生的模型觀念和運算能力.

命題評價：此題屬于基礎(chǔ)題.此類問題屬于概率部分的重點問題，在中考試題中經(jīng)常出現(xiàn).在教學中，教師要引導(dǎo)學生經(jīng)歷“建模—識模—用模”的過程，注重讓學生在過程中獲得數(shù)學經(jīng)驗、提升模型觀念.

例5（山東·濟南卷）某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“5G時代”“北斗衛(wèi)星”“高鐵速度”三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是（ ）.

答案：C.

例6（江西卷）某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團員，其余3人均是共產(chǎn)黨員.醫(yī)院決定用隨機抽取的方式確定人選.

（1）略；

（2）若需要從這4名護士中隨機抽取2人，試用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都是共產(chǎn)黨員的概率.

考查目標：可以化歸為摸球模型的古典概型.

命題意圖：例5和例6可以化歸為摸球模型，考查了學生識模、用模的能力.注重考查學生正確識別，并利用樹狀圖或列表表示“放回”模型和“不放回”模型的能力.在解決問題的過程中，學生應(yīng)該具備模型觀念和應(yīng)用意識.

命題評價：例5屬于基礎(chǔ)題，例6屬于中檔題.兩道試題都突出了數(shù)學在實際生活中的應(yīng)用價值.通過畫樹狀圖法或列表法求概率依然是今后中考考查的重點內(nèi)容，命題設(shè)計更加重視試題情境的隨機性和等可能性，注重基本模型的抽象，考查學生的轉(zhuǎn)化思想、抽象能力和模型觀念.采用解答題的形式考查此部分內(nèi)容，能夠呈現(xiàn)出隨機試驗的基本事件結(jié)果和隨機事件結(jié)果，充分體現(xiàn)《標準》的要求.復(fù)習中，教師要引領(lǐng)學生基于核心要素，剝?nèi)ァ氨尘啊钡耐庖拢プ?shù)學內(nèi)容的本質(zhì)；教學中，教師要注重培養(yǎng)學生的模型觀念，注重讓學生經(jīng)歷獲得數(shù)學經(jīng)驗的過程.

例7（遼寧·阜新卷）如圖2，是由12個全等的等邊三角形組成的圖案，假設(shè)可以隨機在圖中取點，那么這個點取在陰影部分的概率是（ ）.

圖2

答案：D.

考查目標：幾何概型.

命題意圖：此題考查學生對幾何概型和古典概型的共同點是隨機事件發(fā)生的等可能性，以及幾何概型中隨機事件發(fā)生的可能結(jié)果的無限性的認識情況.

命題評價：此題屬于基礎(chǔ)題.命制試題時，常常用線段長度、圖形面積、幾何體體積作為基本事件和隨機事件的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式計算.《標準》對此部分內(nèi)容要求不高，各版本的教材對這部分內(nèi)容的處理也不一樣，這就要求教師在復(fù)習教學中應(yīng)該注意題目不宜過難，要將教學重點放在將其轉(zhuǎn)化為古典概型上，以加深學生對隨機事件的概率的理解.

（2）用頻率估計概率.

刻畫隨機事件概率的方法有兩種：古典概型公式和用頻率估計概率.用頻率估計概率更具有一般性.《標準》對此部分內(nèi)容的要求是：知道通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率.此類試題一般給出試驗的數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)估計概率，考查的目的是求概率不能停留在對古典概型的訓練上，而應(yīng)該培養(yǎng)學生的一般觀念，即隨機思想.滲透隨機思想是把握“可能性”的重點，引導(dǎo)教師在教學中強調(diào)讓學生經(jīng)歷試驗活動，在試驗活動中積累活動經(jīng)驗，培養(yǎng)數(shù)據(jù)觀念.

例8（甘肅·蘭州卷）2022年3月12日是我國第44個植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，表2是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).

表2

估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是____.（結(jié)果精確到0.1.）

答案：0.9.

考查目標：通過大量重復(fù)試驗，用頻率估計概率.

命題意圖：學生對用概率刻畫隨機事件發(fā)生可能性的大小有了一定的體會，但是對其反映的隨機性的內(nèi)涵認識不足，容易停留在“比值”層面.此題考查學生對在大量重復(fù)試驗的過程中頻率所呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性和規(guī)律性、頻率與概率之間的關(guān)系，以及利用頻率估計概率的掌握程度.

命題評價：此題屬于基礎(chǔ)題.在教學中，教師要引導(dǎo)學生經(jīng)歷大量重復(fù)試驗的過程，讓學生在過程中體會頻率所呈現(xiàn)出的穩(wěn)定性和規(guī)律性，進而認識到頻率與概率之間的關(guān)系，并進一步運用頻率估計概率.

3.加強應(yīng)用性，體現(xiàn)試題情境的育人價值

《標準》要求命題要突出知識的應(yīng)用性，考查學生分析問題和解決問題的能力.數(shù)學教育承載著立德樹人的根本任務(wù)，不僅體現(xiàn)在課堂教學中，也體現(xiàn)在考查目標里.以數(shù)學文化為素材的概率試題逐漸成為中考試卷的一個亮點.

例9（內(nèi)蒙古·包頭卷）2022年2月20日北京冬奧會大幕落下，中國隊在冰上、雪上項目中，共斬獲9金4銀2銅，創(chuàng)造了中國隊冬奧會歷史最好成績.某校為普及冬奧知識，開展了校內(nèi)冬奧知識競賽活動，并評出一等獎3人.現(xiàn)欲從小明等3名一等獎獲得者中任選2名參加全市冬奧知識競賽，則小明被選到的概率為（ ）.

答案：D.

例10（山西卷）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界譽為“中國第五大發(fā)明”.小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四張郵票中的兩張送給好朋友小樂.小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），如圖3，讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再從中隨機抽取一張，則小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）.

圖3

答案：C.

考查目標：德育背景下的古典概型.

命題意圖：通過可以轉(zhuǎn)化為摸球模型的概率問題，考查學生的模型觀念和應(yīng)用意識.與此同時，例9以冬奧會為背景，通過介紹我國體育事業(yè)的發(fā)展來樹立學生的民族自信；例10以“二十四節(jié)氣”為背景，彰顯我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深，樹立學生的文化自信.

命題評價：例9和例10都屬于基礎(chǔ)題.試題情境已經(jīng)成為評價試題的重要維度.2022年中考“隨機事件的概率”相關(guān)試題，特別突出應(yīng)用性，在情境設(shè)置上更加豐富，選取了與日常生活、環(huán)保健康、傳統(tǒng)文化、民俗風情、社會熱點問題相關(guān)的情境，將社會主義核心價值觀和優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入試題中，充分發(fā)揮了中考試題的育人功能.教學中，教師應(yīng)該注重教學情境的設(shè)置，以充分發(fā)揮數(shù)學學科的育人價值與作用.

例11（江蘇·鹽城卷）如圖4，電路圖上有A，B，C共3個開關(guān)和1個小燈泡，閉合開關(guān)C或同時閉合開關(guān)A，B都可以使小燈泡發(fā)亮.任意閉合其中的1個開關(guān)，小燈泡發(fā)亮的概率是________.

圖4

例12（四川·南充卷）老師為幫助學生正確理解物理變化與化學變化，將6種生活現(xiàn)象制成看上去無差別卡片（如圖5）.從中隨機抽取一張卡片，抽中生活現(xiàn)象是物理變化的概率是________.

圖5

考查目標：求解以跨學科情境為背景的概率問題.

命題意圖：通過以跨學科情境為背景命制的概率試題，考查學生運用跨學科知識解決問題的能力.例11以物理學中的電路圖為背景命制；例12以化學中的物理變化和化學變化為背景命制，考查學生綜合運用數(shù)學和其他學科知識與方法解決問題的能力，考查學生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

命題評價：例11和例12都屬于中檔題.2022年中考“隨機事件的概率”相關(guān)試題不僅關(guān)注了學生情感、態(tài)度和價值觀的發(fā)展，還設(shè)置了跨學科的情境問題，這是中考改革的一個重要方向.數(shù)學與物理、化學、生物等學科聯(lián)系密切，在學科交會處命制試題有較多的素材可選擇.教學中，教師要注重引導(dǎo)學生體會不同情境中蘊含的數(shù)學問題.

4.注重知識的綜合性，體現(xiàn)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的考查

2022年中考“隨機事件的概率”試題的綜合性有所提升.通過知識的交叉、滲透和組合來考查數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，考查相關(guān)知識與方法、能力與素養(yǎng).

例13（廣東·深圳卷）某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優(yōu)秀”“良好”“合格”“不合格”.

（1）本次抽查總?cè)藬?shù)為_______，“合格”人數(shù)的百分比為_______；

（2）補全如圖6所示的條形統(tǒng)計圖；

圖6

（3）如圖7，扇形統(tǒng)計圖中“不合格”人數(shù)的度數(shù)為_______；

圖7

（4）在“優(yōu)秀”中有甲、乙、丙三人，現(xiàn)從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為_______.

答案：（1）50人，40%；（2）略；（3）115.2°；（4）

考查目標：同領(lǐng)域主題間的概率問題.

命題意圖：此題考查學生對條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，以及頻數(shù)和樣本概念的理解.同時，全面考查學生的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、運算能力和應(yīng)用意識.

命題評價：此題屬于中檔題.同領(lǐng)域主題間的知識綜合是中考命題的一種趨勢.教學中，教師要注重知識上的融合，并逐步在知識的內(nèi)在聯(lián)系與融合上實現(xiàn)創(chuàng)新.

例14（廣西·玉林卷）問題情境：在數(shù)學探究活動中，教師給出了如圖8所示的圖形及下面三個等式：①AB=AC；②DB=DC；③∠BAD=∠CAD.若以其中兩個等式作為已知條件，能否得到余下一個等式成立？

圖8

解決方案：探究△ABD與△ACD全等.

問題解決：

（1）當選擇①②作為已知條件時，△ABD與△ACD全等嗎？_________（填“全等”或“不全等”），理由是________；

（2）當任意選擇兩個等式作為已知條件時，試用畫樹狀圖法或列表法求△ABD≌△ACD的概率.

例15（江蘇·常州卷）在5張相同的小紙條上，分別寫有語句：①函數(shù)表達式為y=x；②函數(shù)表達式為y=x2；③函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；④函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；⑤函數(shù)值y隨自變量x增大而增大.將這5張小紙條做成5支簽，①②放在不透明的盒子A中攪勻，③④⑤放在不透明的盒子B中攪勻.

（1）從盒子A中任意抽出1支簽，抽到①的概率是__________；

（2）先從盒子A中任意抽出1支簽，再從盒子B中任意抽出1支簽.求抽到的2張小紙條上的語句對函數(shù)的描述相符合的概率.

考查目標：隨機事件的概率與圖形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象及性質(zhì)等知識的綜合.

命題意圖：例14和例15分別是對隨機事件的概率與圖形的性質(zhì)、函數(shù)的圖象及性質(zhì)相結(jié)合的跨領(lǐng)域內(nèi)容的考查，設(shè)計新穎、難度適中，通過畫樹狀圖或列表解決問題.試題實現(xiàn)了跨領(lǐng)域內(nèi)容的考查，是對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的綜合考查.

命題評價：例14和例15都屬于中檔題，都是跨領(lǐng)域主題的綜合試題，具有一定的難度.教學中，教師要注重培養(yǎng)學生的綜合能力，注重培養(yǎng)學生靈活運用數(shù)學基本活動經(jīng)驗和基本思想解決問題的能力，注重培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，從而讓學生在解決問題時能做到舉一反三、觸類旁通.

三、復(fù)習教學建議

1.立足“四基”“四能”，堅持“依標定教”

結(jié)合上文的分析，筆者認為2023年中考“隨機事件的概率”試題的命制仍然會保持穩(wěn)定中有所創(chuàng)新，堅持考查“四基”“四能”，試題以簡單題和中等難度題為主，內(nèi)容主要涉及隨機事件的概念、隨機事件概率的意義、用畫樹狀圖法或列表法求概率和用頻率估計概率.復(fù)習教學中，教師要認真研讀《標準》，進一步明確《標準》對隨機事件的概率的學習要求和質(zhì)量評價標準，準確把握復(fù)習內(nèi)容的深度、廣度和難度，不隨意超標或提高難度.例如，對于隨機事件概念的復(fù)習，由于它是從小學階段的定性描述逐步轉(zhuǎn)向初中階段的定量分析，故應(yīng)該通過設(shè)置簡單易懂的情境，引導(dǎo)學生感悟隨機事件.復(fù)習教學中，教師要選擇生活中常見的隨機現(xiàn)象加深學生對隨機事件概念的理解，不要以過多的數(shù)學知識為背景，避免削弱學生對隨機事件概念的理解.在利用畫樹狀圖法或列表法求隨機事件的概率時，建議以兩步試驗為主，不要涉及三步及以上的隨機試驗問題，以免加大學生求解概率的計算量.教材是教學的主要載體，立足基礎(chǔ)就要回歸教材，挖掘和改編教材例題和習題，充分發(fā)揮教材例題和習題的功能.

2.突出思想方法，堅持素養(yǎng)立意

《標準》要求在教學設(shè)計和實施時要堅持素養(yǎng)導(dǎo)向，充分關(guān)注核心素養(yǎng)在教學中的達成情況.因此，復(fù)習教學更要指向?qū)W生核心素養(yǎng)的發(fā)展.“隨機事件的概率”內(nèi)容中蘊含著隨機思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想、模型思想等豐富的數(shù)學思想.在沒有學習排列組合知識的情況下，畫樹狀圖和列表是解決古典概型計算問題的重要方法.在復(fù)習教學中，一方面，可以讓學生畫思維導(dǎo)圖或魚骨圖建立知識結(jié)構(gòu)，明確知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟數(shù)學本質(zhì)和基本思想；另一方面，可以圍繞基本模型，通過對具有典型性、拓展性和探究性的變式題的練習，將其內(nèi)化為學生的認知結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、抽象能力、運算能力等素養(yǎng).

3.注重綜合應(yīng)用，堅持育人導(dǎo)向

《標準》指出，要適當提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例，題目設(shè)置要注重創(chuàng)設(shè)真實情境.因此，2023年中考“隨機事件的概率”試題仍然會密切結(jié)合生活實際和社會熱點進行命制.復(fù)習教學中，教師要重點選擇統(tǒng)計與概率綜合的題目，并兼顧與其他領(lǐng)域知識聯(lián)系的綜合性題目，以及從不同角度考查學生的思維能力、體現(xiàn)數(shù)學內(nèi)涵和價值的題目.同時，還要關(guān)注情境的教育性，注意挖掘能激發(fā)學生愛國情懷、弘揚數(shù)學文化的素材，真正實現(xiàn)復(fù)習教學激發(fā)興趣、培養(yǎng)習慣、立德樹人的目標.

四、典型模擬題

1.如圖9，湖邊建有A，B，C，D共4座涼亭，某同學計劃將這4座涼亭全部參觀一遍，從入口處進，先經(jīng)過涼亭A，接下來參觀涼亭B或涼亭C（已經(jīng)參觀過的涼亭，再次經(jīng)過時不作停留），則最后一次參觀的為涼亭D的概率為（ ）.

圖9

答案：C.

2.如圖10，有4張反面無差別的卡片，其正面分別印有國際數(shù)學家大會的會標，現(xiàn)將4張卡片正面朝下放置，混合均勻后從中隨機抽取2張，則抽到的卡片正面圖案都是中心對稱圖形的概率為（ ）.

圖10

答案：C.

3.林業(yè)部門要考查某種樹苗在一定條件下的移植成活率，表3是這種樹苗在移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù).估計該種樹苗在此條件下移植成活的概率為_______.（結(jié)果精確到0.01.）

表3

答案：0.88.

4.中華文化源遠流長，在文學方面，《西游記》《三國演義》《水滸傳》《紅樓夢》是我國古代長篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”.某中學為了了解學生對四大古典名著的閱讀情況，就“你讀完了幾部四大古典名著”的問題在全校學生中進行了抽樣調(diào)查.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制成如圖11和圖12所示的兩個不完整的統(tǒng)計圖，試結(jié)合圖中信息解決下列問題.

圖11

圖12

（1）本次調(diào)查一共抽取了_______名學生；扇形統(tǒng)計圖中“1部”所在扇形的圓心角的度數(shù)為_______；

（2）被抽取學生閱讀四大名著的平均本數(shù)為_____；

（3）若該中學有1 000名學生，試估計至少閱讀3部四大古典名著的學生有多少？

（4）沒有讀過四大名著的2名學生準備從四大古典名著中各自隨機選擇一部來閱讀，求他們選中同一名著的概率.

答案：（1）40，126°；（2）2.05；（3）350名；（4）