突出核心·注重過程·感悟思想·提升能力
——2022年中考“圖形與坐標”專題命題分析

2023-03-25 08:49:30莊宇

中國數學教育(初中版) 2023年4期

莊宇

（遼寧省沈陽市教育研究院）

“圖形與坐標”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）第四學段“圖形與幾何”領域的重要教學內容，主要包括“圖形的位置與坐標”和“圖形的運動與坐標”兩部分內容.“圖形與坐標”是在平面直角坐標系中通過量化的方式來研究圖形和圖形之間的關系，它是用代數方法研究圖形的起始與基礎.“圖形與坐標”在初中數學中的地位主要體現在兩個方面：其一，它是數形結合的另一種重要形式；其二，它是溝通許多幾何問題與代數問題的紐帶和橋梁.因此，掌握這部分知識是發展學生數形結合意識和思想的重要途徑.在具體現實情境中，使學生學會從幾何的角度發現問題和提出問題，會用數形結合的方法分析問題和解決問題，進一步培養學生的應用意識和創新意識，提升學生的幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等.

下面結合《標準（2022年版）》的要求，對2022年全國各地區中考試卷中“圖形與坐標”試題的考查內容和命題特點進行分析，并在此基礎上給出復習教學建議和典型模擬題.

一、考查內容分析

通過抽取2022年全國各地區129份中考試卷進行統計、分析，發現與“圖形與坐標”專題有關的試題的設置與《標準（2022年版）》的要求基本一致.題型及題量方面，在統計的379道試題中，選擇題有96道，填空題有75道，解答題有208道.

“圖形的位置與坐標”和“圖形的運動與坐標”兩部分內容的試題命制情況如圖1所示，考點是“圖形的位置與坐標”的試題有選擇題79道、填空題60道、解答題177道，考點是“圖形的運動與坐標”的試題有選擇題17道，填空題15道，解答題31道.可以看出，無論哪種題型，考點是“圖形的位置與坐標”的試題都遠多于考點是“圖形的運動與坐標”的試題，選擇題和填空題中兩個考點的同類型試題的比例在4∶1左右，而解答題中兩個考點的比例在6∶1左右.這說明在綜合性較高、難度較大的解答題中，更多中考試題選取“圖形的位置與坐標”考點.

圖1 “圖形與坐標”試題題型分布圖

試題的題量統計如圖2所示.每份試卷設置的題量在2～5道題，更多的是設置2～3道題，占比為76%，有24%的試卷設置了4～5道試題，如湖北鄂州卷、荊門卷，四川巴中卷、廣安卷、內江卷.

圖2 “圖形與坐標”單卷試題數量統計圖

試題的分值統計如圖3所示.在統計的379道試題中，2～4分的有173道，約占46%，都是選擇題和填空題；5～9分的有62道，約占16%，基本都是解答題（極個別試卷是填空題，分值為5分），試題難度不大；10分及以上的有144道，約占38%，基本都以壓軸題的形式出現.

圖3 “圖形與坐標”試題分值統計圖

試題的難度統計如圖4和圖5所示.總體上看，試題易、中、難的比例約為2∶4∶4.其中，選擇題和填空題的易、中比例相當，且占比較大.難度較大的試題占比很少，考查的知識點多數為“圖形的位置與坐標”單元中與二次函數相結合的試題.解答題中容易題較少，綜合性強、難度大的試題較多，這與其處在壓軸題的位置有關，考查的知識點多數為函數與幾何圖形（性質、運動）相結合，主要涉及函數的新定義，三角形、四邊形等圖形的面積最值及存在性，以及圖形的平移、旋轉、折疊等運動變化問題.

圖4 “圖形與坐標”試題難度統計圖

圖5 “圖形與坐標”試題題型難度統計圖

通過統計分析，“圖形與坐標”專題的命題注重點與坐標關系的考查，試題通過設置合理的實際背景確定實際問題中物體的位置；注重點的坐標與圖形運動關系的考查，通過在平面直角坐標系中利用圖形變換引入動點，突出了對利用點的坐標量化圖形變換及圖形變換本質認識的考查.這是數形結合應用的典型體現，這樣的考查過程有助于學生感悟數形結合思想，從而會用數形結合的方法分析和解決問題，提升學生的幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等素養.

二、命題特點分析

1.命題意圖分析

與往年相比，2022年中考“圖形與坐標”試題的命題思路總體上保持了相對穩定，體現了許多相同的特點：全面覆蓋《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準（2011年版）》）中的主要內容，重點考查學生的基礎知識和基本技能；在問題解決的過程中實現對學生數學思想和基本活動經驗的考查.在穩定的基礎上，基于《標準（2022年版）》的理念，命題思路有所創新，強化以核心知識為載體，在具體現實情境中對學生的學科素養目標的達成情況進行考查.以下結合典型例題進行分析.

（1）緊扣課程標準，突出核心知識的考查.

①由點的位置寫出坐標.

例1（貴州·銅仁卷）如圖6，在矩形ABCD中，A（-3，2），B（3，2），C（3，-1），則D的坐標為（）.

圖6

（A）（-2，-1）（B）（4，-1）

（C）（-3，-2）（D）（-3，-1）

答案：D.

考查目標：該題主要考查了《標準（2022年版）》中“圖形的位置與坐標”單元提出的“在給定的平面直角坐標系中，能根據坐標描出點的位置，由點的位置寫出坐標”“對給定的圖形，會選擇合適的平面直角坐標系，寫出它的頂點坐標”等核心知識.

命題意圖：試題以矩形為載體，通過矩形的性質確定頂點的坐標.試題雖然簡單，但其命題意圖直指學生對基礎知識和基本技能的掌握情況，以及對“圖形的位置與坐標”核心知識的理解.

命題評價：此類試題命制的背景多為特殊平行四邊形，融入了對特殊平行四邊形性質的考查，在全國各地的中考試卷中多以選擇題和填空題的題型呈現，難度不大.例如，遼寧盤錦卷第9題和山東泰安卷第14題等.

②建立平面直角坐標系.

例2（浙江·金華卷）圖7是城市某區域的示意圖，建立平面直角坐標系后，學校和體育場的坐標分別是（3，1），（4，-2），下列各地點中，離原點最近的是（）.

圖7

（A）超市（B）醫院

（C）體育場（D）學校

答案：A.

考查目標：該題主要考查了《標準（2022年版）》中“圖形的位置與坐標”單元提出的“在實際問題中，能建立適當的平面直角坐標系，描述物體的位置”等核心知識.

命題意圖：試題以城市某區域的示意圖為載體.根據題意可以畫出相應的平面直角坐標系，然后根據勾股定理分別得到點O到超市、學校、體育場、醫院的距離，再比較大小即可．試題的命題意圖在于考查學生如何建立平面直角坐標系并確定原點的位置（即由坐標轉換為位置），如何確定超市和醫院的坐標（即將位置轉換成坐標）.在這個實際問題的解決過程中，較好地考查了學生對點與坐標關系的理解.

命題評價：此類試題的命制需要結合學生的認知水平和生活經驗，創設合理的情境.以選擇題、填空題和解答題等不同形式呈現，有效控制了實際背景試題的難度.在注重考查學生解決問題能力的同時，避免學生死記硬背、機械刷題.類似的試題還有廣西柳州卷第11題、湖北宜昌卷第10題、甘肅蘭州卷第14題和貴州六盤水卷第25題等.

③極坐標思想的滲透.

例3（山東·煙臺卷）如圖8，某海域中有A，B，C三個小島，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏東35°方向，且B，C到A的距離相等，則小島C相對于小島A的方向是（）.

圖8

（A）北偏東70° （B）北偏東75°

（C）南偏西70° （D）南偏西20°

答案：A.

考查目標：該題主要考查了《標準（2022年版）》中“圖形的位置與坐標”單元提出的“在平面上，運用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置”等基礎知識.

命題意圖：試題以某海域中A，B，C三個小島的位置關系為實際背景，編制了一道考查學生結合具體情境應用數學知識解決實際問題的試題.在問題解決中，學生先將現實生活中A，B，C三個小島的位置關系抽象為點與點之間的位置關系，這是用數學的眼光觀察現實世界的體現.然后利用方位角和距離確定位置的知識，再結合等腰三角形的性質進行推理探究，這是用數學的思維思考現實世界的體現.最后，使用方位角表示出小島C相對于小島A的方向，這是用數學的語言表達現實世界的體現.而利用方位角和距離刻畫兩個物體的相對位置，實際上是極坐標定位，是極坐標思想的滲透.因此，此題的命制在貼近教材的同時，體現《標準（2022年版）》理念的落實.

命題評價：此類試題的命制借助了教材中學生常見的實際背景，意在考查學生對知識本質的認識能力和方法的遷移能力.這類試題在每年的中考試題中都有出現，但呈現出越來越少的趨勢.有些試題考查單一利用方位角的知識解決基本圖形問題，如湖南益陽卷第15題；有些試題結合三角函數知識考查學生利用方位角和距離解決實際生活中的點和點之間的距離或點到直線的距離問題，如遼寧撫順卷第15題.

④平移運動后點的坐標.

例4（海南卷）如圖9，點A（0，3），B（1，0），將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，則點D的坐標是（）.

圖9

（A）（7，2）（B）（7，5）

（C）（5，6）（D）（6，5）

答案：D.

考查目標：該題主要考查了《標準（2022年版）》中“圖形的運動與坐標”單元的內容，命題緊扣《標準（2022年版）》中“在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形依次沿兩個坐標軸方向平移后所得到的圖形和原來圖形具有平移關系，體會圖形頂點坐標的變化”等核心知識.

命題意圖：此題是對北師大版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“北師大版教材”）八年級下冊“3.1圖形的平移”中例2的改編，試題將教材中的四邊形改為一條線段，使圖形變得更簡潔，更加直觀地考查學生對平移變換中“對應頂點的坐標之間的關系”的理解是否達到學業水平考試的要求，突出了教材在教學中的范本功能.

命題評價：此類試題的命制更多的是依據教材中的典型例題和習題進行改編，考查圖形在平面直角坐標系中平移運動的同時，適當融入旋轉運動的知識，試題的難度與教材保持一致.類似的中考試題有內蒙古赤峰卷第6題、四川內江卷第9題、山東臨沂卷第15題等.

⑤位似變化后點的坐標.

例5（廣西·河池卷）如圖10，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（4，1），B（2，3），C（1，2）．

圖10

（1）畫出與△ABC關于y軸對稱的△A1B1C1；

（2）以原點O為位似中心，在第三象限內畫一個△A2B2C2，使它與△ABC的相似比為2∶1，并寫出點B2的坐標．

答案：（1）如圖11，△A1B1C1為所作；

（2）如圖11，△A2B2C2為所作，點B2的坐標為（-4，-6）.

圖11

考查目標：作為解答題，該題綜合考查了“圖形的運動與坐標”單元的內容，命題緊扣《標準（2022年版）》中“在平面直角坐標系中，以坐標軸為對稱軸，能寫出一個已知頂點坐標的多邊形的對稱圖形的頂點坐標，知道對應頂點坐標之間的關系”“在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標（有一個頂點為原點）分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原圖形是位似的”兩個基礎知識，即考查對應點的變化規律.

命題意圖：試題融合了教材中的典型例題與習題（如北師大版教材九年級上冊“4.8圖形的位似”第2課時的“做一做”），以三角形這個簡單的封閉圖形為載體，通過“形”的變化探索“數”的變化，呈現了對《標準（2022年版）》中的“知道”“了解”層級試題命制的難度尺度的把握，較好地考查了學生對軸對稱變換中“對應頂點的坐標之間的關系”及位似變換中“圖形的頂點坐標放大或縮小后所對應的圖形與原圖形的關系”的理解是否達到學業水平考試的要求.同時，引導教師在教學中不要人為地放大《標準（2022年版）》的要求和范圍，加重學生的學業負擔.通過學生的動手畫圖完成試題的解答過程體現了對《標準（2022年版）》學業要求中要增強學生動手能力的考查.

命題評價：此類試題在近些年的中考試題中較為常見，難度不大，符合課程標準對學業水平考試的層級要求.類似的中考試題有廣西桂林卷第20題、山東棗莊卷第8題和黑龍江鶴崗卷第22題等.

（2）注重過程，感悟數學思想方法.

例6（山東·濟南卷）規定：在平面直角坐標系中，一個點作“0”變換表示將它向右平移一個單位，一個點作“1”變換表示將它繞原點順時針旋轉90°，由數字0和1組成的序列表示一個點按照上面描述依次連續變換.例如，如圖12，點O（0，0）按序列“011…”作變換，表示點O先向右平移一個單位得到O1（1，0），再將O1（1，0）繞原點順時針旋轉90°得到O2（0，-1），再將O2（0，-1）繞原點順時針旋轉90°得到O3（-1，0），……，依此類推.點（0，1）經過“011011011”變換后得到點的坐標為_______．

圖12

答案：（-1，-1）.

考查目標：《標準（2022年版）》在“圖形與坐標”的教學中指出：平面直角坐標系是數軸的拓展，是溝通幾何與代數的橋梁，核心內容是平面上的點與用數對表示的坐標的一一對應，引導學生經歷用坐標表達圖形的軸對稱、旋轉、平移變化，體會用代數方法表達圖形變化的意義，發展幾何直觀.

命題意圖：該題考查學生在按照題中規定探索點的平移和旋轉運動的過程中，是否能發現運動變化后的點與其一一對應的坐標存在規律的思維過程，進而在問題解決的過程中幫助學生感悟數與形在變化中的不變性，即變與不變的數學思想.學生通過點在平面直角坐標系中有規律的平移和旋轉位置變換，發現刻畫運動變化后的點的坐標存在的規律（即點（0，1）經過“011”變換得到點（-1，-1），點（-1，-1）經過“011”變換得到點（0，1），點（0，1）經過“011”變換得到點（-1，-1）），進而在數與形的結合中深刻感受變與不變的思想.這樣的命題方式有助于引導日常教學回歸對課程標準和教材的再思考.

命題評價：此類試題除了考查具有循環規律的內容外，近幾年還呈現出考查不具有循環規律的內容.運用不完全歸納法解決問題，思維含量較高、難度較大，經常在選擇題、填空題的最后一道題的位置出現.類似的中考試題有貴州畢節卷第20題、山東東營卷第18題、遼寧阜新卷第10題和山東菏澤卷第14題等.

（3）適度創新，提升理解運用能力.

例7（北京卷）在平面直角坐標系xOy中，已知點M（a，b），N.對于點P給出如下定義：將點P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|個單位長度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|個單位長度，得到點P′，點P′關于點N的對稱點為Q，稱點Q為點P的“對應點”．

（1）如圖13，點M（1，1），點N在線段OM的延長線上.若點P（-2，0），點Q為點P的“對應點”．

圖13

①在圖中畫出點Q；

（2）⊙O的半徑為1，M是⊙O上一點，點N在線段OM上，且ON=，若P為⊙O外一點，點Q為點P的“對應點”，連接PQ.當點M在⊙O上運動時，直接寫出PQ長的最大值與最小值的差（用含t的式子表示）．

答案：（1）①如圖14，點Q即為所求；②證明略.

圖14

（2）4t-2.

考查目標：《標準（2022年版）》在“圖形與坐標”的教學中指出：經歷借助平面直角坐標系的方法解決現實問題的過程，增強應用意識和創新意識.

命題意圖：該題作為“新定義”題型，以圖形與坐標及三角形和圓的相關知識為載體，定義出新的概念“對應點”，考查學生對平移、中心對稱的點的坐標特點等知識的理解，并能夠做到數學遷移，創造性地解決問題.在近幾年的中考試題中，命題越來越傾向于在“圖形與坐標”主題下融合函數、圖形的性質，定義新概念、新定理和新變換等綜合試題，以考查學生在較短的考試時間內的數學閱讀、數學理解和數學遷移能力，這樣有助于引導教師不斷改進教學行為、優化教學過程，培養學生的創新意識，體現試卷的公平性和創新性.

命題評價：在命制此類試題時常常引入新概念，有利于考查學生的數學探索能力，以及評價學生歸納、類比、概括和推理等思維活動的能力水平，試題難度較大，常以壓軸題的形式出現在填空題和解答題中.類似的中考試題有湖北荊州卷第16題、甘肅蘭州卷第27題、貴州遵義卷第22題、江蘇泰州卷第26題等.

2.命題導向分析

綜觀2022年中考“圖形與坐標”試題，堅持素養立意，綜合考查“四基”“四能”與核心素養；命題者努力創設試題的新背景、新形式，追求新立意，著力體現“圖形與坐標”試題的獨特作用.因此，未來中考，預計會有如下發展趨勢.

（1）立足課程標準，突出核心知識.

中考試題會繼續立足對“圖形與坐標”專題核心知識的全面考查.緊扣《標準（2022年版）》，圍繞“圖形的位置與坐標”“圖形的運動與坐標”進行設計.題型涉及選擇題、填空題和解答題.其中，選擇題和填空題占比較大，且多數為容易題和中檔題；而解答題雖然占比很少，但考查的知識點多數與其他知識點相結合，所以綜合性較強.

（2）關注解題過程，引導思維深化.

試題通過設置合理的實際背景，引導學生在具體現實情境中學會從幾何的角度發現問題和提出問題，使學生經歷用幾何直觀和邏輯推理分析問題和解決問題的過程，引導學生思維深化，培養學生的幾何直觀、空間觀念、抽象能力和推理能力等素養.

（3）創新加工，感悟數學思想.

通過“新定義”和問題解決等題型引導學生經歷解決現實問題的過程，使他們感悟數形結合的意義，發展推理能力和運算能力，增強學生的應用意識和創新意識.同時，體現試題背景的公平性.

（4）知識交會，強調能力提升.

與本專題交會的知識點多數為函數與幾何圖形（性質、運動）.例如，三角形、四邊形的面積最值及存在性，圖形的平移、旋轉和折疊等運動變化問題，引導學生經歷借助平面直角坐標系解決現實問題的過程，發展推理能力和運算能力.此類問題難度較大，多數試題在試卷中處在壓軸題的位置.

三、復習教學建議

結合上述對2022年全國各地區中考數學試卷中“圖形與坐標”試題的分析，針對2023年“圖形與坐標”專題的復習備考，提出如下建議.

1.在新課程理念下深化課堂教學改革

隨著《標準（2022年版）》的發布，課程理念、目標、內容等方面都發生了明顯的變化，主要體現為突出素養導向、實行主題學習、注重學業質量評價、加強學段銜接，彰顯了數學學科的育人價值，進一步凸顯了數學教育在促進學生發展中的作用.這些變化必將影響2023年中考命題的指導思想和命題思路.雖然《標準（2022年版）》中“圖形與坐標”專題的內容與《標準（2011年版）》變化不大（在“圖形的位置與坐標”單元中將“結合實例進一步體會用有序數對可以表示物體的位置”刪除，內容由原來的5條變為4條；在“圖形的運動與坐標”單元中將第4條中“有一個頂點為原點，有一條邊在橫坐標軸上”修改為“有一個頂點為原點”），但是《標準（2022年版）》對該部分內容的學業要求和教學提示都給出了明確的要求，即學到什么程度、怎樣教.這必將進一步促使課堂教學指向以發展學生核心素養為本的教學行為，學業質量評價也必然根據學生核心素養的發展水平進行評價.

2.在深度研究和深刻理解教材中復習核心內容

“圖形與坐標”專題的核心內容是：會用坐標描述簡單幾何圖形的位置；會用坐標表達圖形的變化、簡單圖形的性質，感悟通過幾何建立直觀、通過代數得到數學表達的過程.深刻理解圖形本身的性質與坐標中的“數”與“形”是學習的關鍵.近些年，全國各地中考試題的命制更多地以教材中的典型例題和習題為載體進行改編或者再創造，既考查了學生對核心知識的整體理解，也增強了試卷的效度、信度和區分度.因此，在復習備考中，要重視對教材中典型例題和習題的剖析與改編，深度挖掘其中蘊含的數學思想方法，讓學生在復習過程中完成對教材內容的再認識、思想方法的再理解、應用能力的再提升，即夯實基礎，強化“四基”，避免掉進做繁、難、偏、怪題目的陷阱.

3.在數學實踐過程中感悟思想提升能力

《標準（2022年版）》在“圖形與坐標”內容的學業要求部分強調，在具體現實情境中學會從幾何的角度發現問題和提出問題，經歷用幾何直觀和邏輯推理分析問題和解決問題的過程，培養應用意識和創新意識，提升幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等.平面直角坐標系是溝通代數與幾何的橋梁，這使得該部分中考試題常常是以函數知識為載體搭配幾何圖形及其運動變化的綜合題，甚至是壓軸題.試題通過設置探索圖形變換中的點的坐標與位置規律問題，或者通過探索圖形變換全過程來實現對學生數學思想和基本活動經驗的考查.這幾乎涵蓋了數形結合、分類、轉化、特殊到一般、方程、變中不變等初中數學常用的思想方法.基于此，在復習備考中，教師在關注數學學習結果的同時，更應該關注學生在數學實踐探索過程中對數學思想的感悟與理解，對問題解決方法的提煉與歸納，即讓學生由“知其所以然”達到“何由以知其所以然”.任何包辦、代替學生學習的行為都是不適當的，任何以過多的模仿練習為主要模式、剝奪學生自身的思考和活動以達到提高學習成績的做法都是不值得提倡的.只有讓學生親身經歷數學問題的提出過程、解決方法的探索過程、問題結論的深化過程、方法能力的遷移過程，才能使學生無論遇到什么樣的新問題和新題型，都能用數學的眼光、數學的思維、數學的語言從容應對，才能使《標準（2022年版）》所倡導的“圖形與坐標”教學目標“培養應用意識和創新意識，提升幾何直觀、空間觀念、抽象能力、推理能力等”得到真正落實.