變化的圖形 不變的規律
——2022年中考“圖形的變化”專題命題分析

蔣 梅，張 斌

（重慶市南岸區教師進修學院；重慶市教育科學研究院）

“圖形的變化”是初中數學“圖形與幾何”領域的重要組成部分，是在研究了圖形的性質之后對圖形的變化規律進行的研究.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）對“圖形的變化”部分的學業要求是：理解軸對稱、旋轉、平移這三類基本的圖形運動，知道這三類運動的基本特征，會用圖形的運動認識、理解和表達現實世界中相應的現象；理解幾何圖形的對稱性，感悟現實世界中的對稱美，知道可以用數學的語言表達對稱；知道直角三角形的邊角關系，理解銳角三角函數，能用銳角三角函數解決簡單的實際問題；了解圖形相似的意義，會判斷簡單的相似三角形；經歷從不同角度觀察立體圖形的過程，知道簡單立體圖形的側面展開圖.

一、考查內容分析

1.考查內容

從2022年全國各地區中考數學試卷中抽取118份，對這些試卷進行統計分析，發現“圖形的變化”內容考查的題型包括選擇題、填空題、操作題和解答題等.其中，有的試題需要直接用概念或性質進行識別或判斷；有的試題把圖形的變化置入數學情境、生活情境或科學情境中，考查學生分析和解決問題的能力及數學思維品質.通過設置不同層次的試題，考查學生的抽象能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、運算能力等，在解決實際問題的過程中考查學生的應用意識和創新意識.

2.分布和分值

在抽取的118份試卷中包含18份統考卷，對其中的“圖形的變化”相關試題按圖形的軸對稱、旋轉、平移、相似和投影進行分類統計，并計算這部分分值與該地區試卷總分的分值占比，統計結果如表1所示.由表1的統計數據可以看出，在抽取的18份統考卷中，“圖形的變化”試題在各份試卷中所占分值與全卷總分的比值在6%～29.2%.其中，分值比達到或超過10%的試卷有16份，占抽樣總數的88.9%.這說明全國各地區中考都比較重視對“圖形的變化”專題內容的考查.圖形的相似內容在各份試卷中出現的頻率和分值占比都比較高，其次是旋轉和軸對稱.

表1 “圖形的變化”試題在18份試卷中的分值占比

二、命題特點分析

從命題思路角度分析，2022年中考“圖形的變化”試題依標扣本，內容覆蓋面廣，通過對平移、旋轉、軸對稱變化過程中圖形變化規律的認識，感悟圖形變化中的不變規律，并要求學生應用這些規律解決簡單的問題.利用相似、三角函數等有關知識解決生活中的一些實際問題，體現了應用意識.試題呈現有梯度，考查平移、旋轉、軸對稱變化等內容，或獨立命題，或與其他知識綜合進行命題.除直接考查外，更多的是綜合性、應用性較強且具有創新性的試題.

1.直接識別，簡單應用

《標準》中“圖形的變化”這部分包含的內容比較多，要求也根據具體內容分為認識、了解、利用、會畫、掌握、能使用等層次.根據不同層次的要求，所設計的試題難度各異.直接識別，聚焦于理解平移、旋轉、軸對稱的基本性質，知道直角三角形的邊角關系，了解圖形的相似與投影在形狀不變大小改變后，相應元素變化或不變的關系，考查學生的幾何直觀和空間觀念.

（1）識別基本圖形.

例1（福建卷）美術老師布置同學們設計窗花，下列作品為軸對稱圖形的是（ ）.

答案：A.

考查目標：認識現實生活中的軸對稱圖形，考查學生的幾何直觀素養.

命題意圖：此題以窗花為載體，讓學生在多個窗花的圖形中識別軸對稱圖形.《標準》要求認識并欣賞自然界和現實生活中的軸對稱、中心對稱、平移變化.此題是對這一要求的具體呈現.

命題評價：此題考查的是日常生活中常見的基礎知識，以容易題的形式出現.類似地，天津卷第4題對漢字軸對稱進行辨別，山西卷第2題、青海卷第1題對軸對稱和中心對稱進行辨別，廣西北部灣經濟區卷第2題對平移變化進行識別，北京卷第7題則要求判斷基本圖形的對稱軸條數.

例2（吉林卷）吉林松花石有“石中之寶”的美譽，用它制作的硯臺叫松花硯，能與中國四大名硯媲美.圖1是一款松花硯的示意圖，其俯視圖為（ ）.

圖1

答案：C.

考查目標：判斷空心圓柱的俯視圖，考查學生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：此題以吉林的松花硯為背景，體現了“會用數學的眼光觀察現實世界”這一素養.同時融入地方文化，激發學生以家鄉資源為傲的家國情懷.

命題評價：2022年多個地區的中考試卷中都出現了識別幾何體三視圖的試題.例如，天津卷第5題、江西卷第5題、海南卷第4題、福建卷第2題、安徽卷第3題要求直接判斷幾何體的三視圖，云南卷第7題、青海卷第13題、新疆卷第2題、河南卷第2題則是要求根據三視圖或展開圖推斷出幾何體.用這種方式考查生活中的數學常識.例2屬于容易題.

（2）直接運用性質.

例3（重慶A卷）如圖2，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，相似比為2∶3.若△ABC的周長為4，則△DEF的周長是（ ）.

圖2

（A）4 （B）6 （C）9 （D）16

答案：B.

考查目標：了解位似圖形，知道位似圖形的周長比等于相似比，考查學生的幾何直觀和推理能力.

命題意圖：位似是特殊的相似，是學生進一步學習和進入社會生活必備的基礎知識.此題以三角形為背景，考查位似圖形的周長比等于相似比這一性質.

命題評價：在2022年全國各地區中考試卷中，或直接給出兩個相似三角形的相似比，或給出對應邊的長要求學生求這兩個三角形的面積之比、對應線段之比，或要求學生直接寫出特殊角的三角函數值，等等.例如，云南卷第5題要求求出中位線分成的兩個三角形的面積比.例3直接用位似的性質即可完成求解，屬于容易題.

例4（河北卷）如圖3，將△ABC折疊，使邊AC落在邊AB上，展開后得到折痕l，則l是△ABC的（ ）.

圖3

（A）中線 （B）中位線

（C）高線 （D）角平分線

答案：D.

考查目標：理解軸對稱的概念，考查學生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：以折疊為背景，把折疊轉化為軸對稱，結合三角形的角平分線，考查學生綜合應用角平分線和軸對稱知識的能力.

命題評價：此題結合圖形考查軸對稱的性質.把圖形的變化與其他知識融合進行考查是全國各地區中考數學試卷中經常出現的試題類型.例如，吉林卷第11題把旋轉與正六邊形的角度問題融合在一起；福建卷第10題考查三角形平移前后所圍成的四邊形的面積.此題直接用軸對稱和三角形的角平分線性質即可得出結論，屬于容易題.

2.利用變化，關注思維品質

圖形的變化部分強調的是變化.但是在變化過程中，我們首先應該分析變化的類型，在變化過程中找到不變的關系、變化的規律，以及不變的數學本質.

（1）在變化中找到不變的關系.

例5（海南卷）如圖4，點A（0，3），B（1，0），將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，則點D的坐標是（ ）.

圖4

（A）(7，2) （B）(7，5)

（C）(5，6) （D）(6，5)

答案：D.

考查目標：認識平移，理解平移的性質，考查學生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：在線段平移的過程中，不變的關系是CD=AB，∠ABC=90°.此題把平移的性質與相似三角形、勾股定理和平面直角坐標系相融合.過點D作y軸的垂線，構造三角形相似，利用BC=2AB建立等式即可求解.

命題評價：此題把圖形的變化與平面直角坐標系相結合，與此題類似的還有河南卷第9題、云南卷第14題.除此之外，也有把圖形的變化與求特殊圖形陰影部分面積相結合進行考查的，如福建卷第10題；還有要求畫出平移、旋轉、軸對稱圖形的，如陜西卷第19題和安徽卷第16題.這些試題體現了中考考查知識的覆蓋面和對重點知識的考查情況.

例6（寧夏卷）如圖5，點B的坐標是（0，3），將△OAB沿x軸向右平移至△CDE，點B的對應點E恰好落在直線y=2x-3上，則點A移動的距離是_______.

圖5

答案：3.

考查目標：認識平移，理解平移的性質，考查學生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：在把△ABO向右平移的過程中，每個點的縱坐標保持不變，每個點向右移動的距離相等，即BE=AD.點B平移后對應點E的縱坐標在直線y=2x-3上，可求出點E的坐標，得點B平移的距離，即得到點A平移的距離.在此題的條件下，還可以求出點C的坐標.如果此題已知點A的坐標，也可以求出點D的坐標.

命題評價：此題涉及的知識點比較多，需要結合圖形厘清圖形變化前后不變的關系是對應點的連線相等.此題把平移的性質、點的坐標、一次函數等知識進行綜合考查，給出的數據簡單，屬于容易題.

（2）在變化中探尋規律.

例7（河南卷）如圖6，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，點D為AB的中點，點P在AC上，且CP=1，將CP繞點C在平面內旋轉，點P的對應點為點Q，連接AQ，DQ.當∠ADQ=90°時，AQ的長為______.

圖6

考查目標：旋轉的性質，把文字、符號轉化為圖形，考查學生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：CP繞點C在平面內旋轉，不變的條件是CQ=1.當∠ADQ=90°時，點Q在直線CD上，且點Q可以在△ABC內，也可以在△ABC外，分兩種情況考慮，在Rt△ADQ中，用勾股定理求解.

命題評價：此題把旋轉、等腰直角三角形的性質、勾股定理等知識進行綜合考查，需要考慮兩種不同的情形，考查學生數學思維的嚴謹性，有一定的難度.

例8（江西卷）綜合與實踐

問題提出：

某興趣小組在一次綜合與實踐活動中提出這樣一個問題：將足夠大的直角三角板PEF（∠P=90°，∠F=60°）的一個頂點放在正方形中心O處，并繞點O逆時針旋轉，探究直角三角板PEF與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況（已知正方形邊長為2）.

操作發現：

（1）如圖7（a），若將三角板的頂點P放在點O處，在旋轉過程中，當OF與OB重合時，重疊部分的面積為_____；當OF與BC垂直時，重疊部分的面積為______；一般地，若正方形面積為S，在旋轉過程中，重疊部分的面積S1與S的關系為_____.

類比探究：

（2）若將三角板的頂點F放在點O處，在旋轉過程中，OE，OP分別與正方形的邊相交于點M，N.

①如圖7（b），當BM=CN時，試判斷重疊部分△OMN的形狀，并說明理由；

②如圖7（c），當CM=CN時，求重疊部分四邊形OMCN的面積（結果保留根號）.

圖7

拓展應用：

（3）若將任意一個銳角的頂點放在正方形中心O處，該銳角記為∠GOH（設∠GOH=α），將∠GOH繞點O逆時針旋轉，在旋轉過程中，∠GOH的兩邊與正方形ABCD的邊所圍成的圖形的面積為S2，試直接寫出S2的最小值與最大值（分別用含α的式子表示）.（參考數據：

考查目標：此題考查旋轉過程中與正方形的性質相關的位置關系和數量關系的變化規律，以及學生的幾何直觀、空間觀念和推理能力.

命題意圖：此題把一個三角板的不同頂點與正方形的中心O重合，當與點O重合的是一個直角時，重合部分面積通過割補可得始終等于正方形面積的當與點O重合的是一個60°的銳角時，可以類比割補的方法，完成對重合部分三角形形狀的判別及四邊形面積的求解，體會重合部分面積的大小會隨著旋轉而發生變化，并通過推理得到重合部分面積最大、最小時的位置.當與點O重合的是任意一個銳角時，可以遷移已有的問題解決策略，猜想、歸納出重疊部分面積最大和最小時的位置，并通過推理得到結論.此題需要根據條件準確畫出圖形，結合猜想，運用所學知識進行推理論證，體現了對學生的空間觀念、幾何直觀和推理能力的考查.

命題評價：此題以正方形為命題背景，從熟悉的直角頂點繞著正方形中心旋轉過渡到特殊的60°角或一般角（多種版本的教材中都安排了把三角板直角頂點繞著正方形中心旋轉的情境），滲透了從特殊到一般的探究思路，體現了“探究—歸納—應用”的數學學習過程.這個過程中既有合情推理，又有演繹推理，具有較高的思維含量，屬于較難題.與此題類似的有四川成都卷第26題、湖南湘潭卷第25題、湖南岳陽卷第23題等.

（3）在變化中歸納不變的本質.

例9（天津卷）如圖8，在△ABC中，AB=AC，若M是邊BC上任意一點，將△ABM繞點A逆時針旋轉得到△ACN，點M的對應點為點N，連接MN，則下列結論一定正確的是（ ）.

圖8

（A）AB=AN （B）AB∥NC

（C）∠AMN=∠ACN （D）MN⊥AC

答案：C.

考查目標：旋轉的性質和圖形的相關性質，考查學生的幾何直觀和空間觀念.

命題意圖：在旋轉過程中，始終有△ABM≌△ACN，且對應邊相等、對應角相等，這是變化中不變的本質.找到旋轉前后的對應邊和對應角，并由邊角的關系得到其他結論，考查學生對圖形相關知識的儲備.數學知識不是孤立的，在復習時，教師要注重幫助學生構建知識網絡體系.

命題評價：在變化的過程中找到不變的本質是解決此類問題的關鍵.

例10（河南卷）綜合與實踐

綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形的折疊”為主題開展數學活動.

（1）操作判斷.

操作1：對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；

操作2：在AD上選一點P，沿BP折疊，使點A落在矩形內部點M處，把紙片展平，連接PM，BM.

根據以上操作，當點M在EF上時，寫出圖9（a）中一個30°的角：_______.

（2）遷移探究.

小華將矩形紙片換成正方形紙片，繼續探究，過程如下：

將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作，并延長PM交CD于點Q，連接BQ.

①如圖9（b），當點M在EF上時，∠MBQ的度數為______，∠CBQ的度數為_______；

②改變點P在AD上的位置（點P不與點A，D重合），如圖9（c），判斷∠MBQ與∠CBQ的數量關系，并說明理由.

圖9

（3）拓展應用.

在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長為8cm，當FQ=1cm時，直接寫出AP的長.

答案：（1）∠BME或∠ABP或∠PBM或∠MBC.

（2）①15°，15°；②∠MBQ=∠CBQ，理由略.

考查目標：理解軸對稱的概念與基本特征，考查學生的幾何直觀、空間觀念和推理能力.

命題意圖：第（1）小題要求學生直接寫出結論即可，圖形中的30°角不唯一，為了降低難度，只要求寫出其中的一個即可.當EF是AB，CD中點的連線時，利用軸對稱性質可得當點M在線段EF上時，一定存在“BE=AE=”，這是解決問題的關鍵，即抓住變化中不變的本質.對于第（2）小題，當紙片是正方形時，在移動點M的過程中，根據軸對稱性，始終有△BPA≌△BPM，△BMQ≌△BCQ，因此可以得到∠MBQ=∠CBQ.設置的第（3）小題能夠較好地考查學生的數學嚴謹性，點Q可能在線段DF上，也可能在線段CF上，體現的是對學生空間觀念和思維的完備性的考查，要求較高.畫出圖形后，要根據線段的對應關系，在Rt△PDQ中利用勾股定理求出線段的長.

命題評價：此題以折紙為背景，考查軸對稱（翻折）性質，矩形、正方形性質，直角三角形全等，以及勾股定理的綜合應用.從矩形到正方形，體現的是從一般到特殊，將圖形不斷特殊化是學習數學常用的一種思維路徑.此題設有3道小題，從易到難，分層設計，充分考慮了學生的個性化需求，實現了對學生進行分層考查的目標.這種有操作、分多個層次的試題命制方式是近年來多地中考壓軸題經常采用的.

3.解決問題，滲透學科素養

數學試題常與情境相聯系，在圖形變化的數學情境中滲透幾何直觀，在生活情境中抽象出數學問題，在科學情境中培養創新意識.

（1）在數學情境中滲透幾何直觀.

例11（上海卷）如圖10，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，的值為______.

圖10

考查目標：旋轉的性質隱藏在文字中，體現了文字、符號與圖形的相互轉化，考查了學生的幾何直觀、空間觀念和推理能力.

命題意圖：若點D是AB的中點，點E在線段AC上，當成立時，點E可能是AC的中點.點E一定是AC的中點嗎？如圖11，以點D為圓心、DE為半徑畫弧，發現還存在點E′.結合條件分析，可得△DEE′是等邊三角形.此題要找出所有滿足條件的點E，需要結合已知條件進行推理，考查學生思維的嚴謹性.

圖11

命題評價：此題文字簡潔、圖形簡單，但綜合了特殊直角三角形的性質、等邊三角形的性質、三角形的中位線等知識，綜合性較強.要正確解答此題，需要根據題意準確畫出不同情況的圖形，這對學生來說是有一定難度的.

例12（浙江·寧波卷）【基礎鞏固】

（1）如圖12（a），在△ABC中，D，E，F分別為AB，AC，BC上的點，DE∥BC，BF=CF，AF交DE于點G，求證：DG=EG.

【嘗試應用】

（2）如圖12（b），在（1）的條件下，連接CD，CG.若CG⊥DE，CD=6，AE=3，求的值.

【拓展提高】

（3）如圖12（c），在?ABCD中，∠ADC=45°，AC與BD交于點O，E為AO上一點，EG∥BD交AD于點G，EF⊥EG交BC于點F.若∠EGF=40°，FG平分∠EFC，FG=10，求BF的長.

圖12

考查目標：在數學情境中，綜合運用多種圖形的性質和變化來解決問題，考查學生的幾何直觀、邏輯推理，以及綜合分析問題的能力.

命題意圖：以平行線分線段成比例為背景，不斷強化條件，得到結論.在DE∥BC的條件下，若BF=CF，則DG=EG；若CG⊥DE，則CD=CE.在第（3）小題中，如圖13，利用已發現的結論，延長GE交AB于點H，連接HF.可得HF=GF.由∠EGF=40°，可推出∠BFH=30°.在△BHF中，∠FBH=45°，∠BFH=30°，HF=10，問題變成解含特殊角的三角形.此題應用的知識主要有平行線分線段成比例定理、線段的垂直平分線和三角函數.

圖13

命題評價：此題綜合了多個知識點，很好地體現了知識之間的縱橫聯系.因知識點多、綜合性強，為了正確解答，要注意把條件不斷標注在圖形中，結合圖形進行分析和思考.這是解答這類試題的一個重要方式.

（2）在生活情境中滲透數學抽象.

例13（安徽卷）如圖14，為了測量河對岸A，B兩點間的距離，數學興趣小組在河岸南側選定觀測點C，測得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測點D，測得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上.求A，B兩點間的距離.（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.）

圖14

答案：96米.

考查目標：運用銳角三角函數解決簡單的實際問題，考查學生的抽象能力、幾何直觀和推理能力.

命題意圖：此題根據實際問題抽象出數學問題.由題意可得△ACD是直角三角形，根據已知條件可求出AC的長，再證明△BCD是直角三角形，求出BC的長，根據AB=AC-BC可得結論.此題綜合應用了方位角、銳角三角函數等知識.

命題評價：因為解直角三角形很容易與實際問題聯系起來，所以此類試題在全國各地區中考試卷中出現的頻率很高.山西卷第22題、上海卷第22題、河北卷第24題、天津卷第22題與此類似，主要考查學生從實際問題中抽象出數學問題，并對數學問題進行解答的能力.在教學中，要重視培養學生從實際問題中抽象出數學問題的能力.

例14（重慶A卷）如圖15，三角形花園ABC緊鄰湖泊，四邊形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.經測量，點C在點A的正東方向，AC=200米.點E在點A的正北方向.點B，D在點C的正北方向，BD=100米.點B在點A的北偏東30°，點D在點E的北偏東45°.

圖15

（1）求步道DE的長度（精確到個位）；

（2）點D處有直飲水，小紅從A出發沿人行步道去取水，可以經過點B到達點D，也可以經過點E到達點D.試計算說明他走哪一條路較近？（參考數據：≈ 1.414，≈1.732.）

答案：（1）283米；（2）經過點B到達點D較近.

考查目標：用銳角三角形函數解決簡單的實際問題，考查學生的數學抽象、幾何直觀、邏輯推理和運算能力.

命題意圖：此題把解直角三角形和方位角融入實際生活情境中.第（1）小題是學生比較熟悉的，根據已知條件可求出DE=第（2）小題設計了兩條路線，需比較兩條路線的長短.路線A—B—D，需要先求AB的長；路線A—E—D，需要先求AE的長.要正確解答，首先需要讀懂題意，即從實際問題中抽象出數學問題，知道方位角的含義，然后再把要求的線段放進直角三角形中求解.

命題評價：相比學生熟悉的與實際生活問題相結合的求物體的高，或在海面上是否有觸礁的危險等情境，例14的情境看起來更加真實.同時，對學生而言，這種情境在平時練習中較少出現，在一定程度上體現了公平性.兩道小題有區分度，體現了對學生個性化的考查.

（3）在科學情境中滲透創新意識.

例15（四川·涼山州卷）如圖16，CD是平面鏡，光線從點A出發經CD上點O反射后照射到點B，若入射角為α，反射角為 β（反射角等于入射角），AC⊥CD于點C，BD⊥CD于點D，且AC=3，BD=6，CD=12，則tanα的值為________.

圖16

考查目標：能用銳角三角函數解決簡單的實際問題，考查學生的抽象能力和幾何直觀素養.

命題意圖：首先，根據已知條件和光學知識，判斷△ACO∽△BDO；然后，根據相似三角形的性質建立等式，求出CO的長；最后，用三角函數的定義求出結果.物理中的光學知識在此題中主要是數學中的軸對稱性質.

命題評價：為了避免對物理知識掌握的差異影響學生對此題的解答情況，試題題干中特別用括號的方式備注了物理知識，體現了對數學學科知識考查的公平性.《標準》提倡跨學科融合，整合數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科領域的知識和思想方法.如何通過創設科學的情境考查學生的認知水平和生活經驗，是今后中考命題努力探索的方向.

三、復習教學建議

1.建構體系，形成網絡

數學復習的主要任務之一就是幫助學生把已經學習的知識形成結構化的體系.復習時，回歸教材，從一個知識點出發，不斷把這個知識點和與之相近的知識聯系起來形成知識網絡，是一種有效的復習方式.

（1）在同一主題內形成鏈式結構.

“圖形的變化”專題內容的學習，需要在掌握圖形性質的基礎上，對圖形變化前后對應元素的數量關系和位置關系進行研究，把這種變化置入平面直角坐標系內是一種重要的方式，即圖形與坐標.這是“圖形與幾何”這一領域的鏈式結構.在“圖形的變化”這一主題下，包含有圖形的軸對稱、圖形的旋轉、圖形的平移、圖形的相似、圖形的投影等內容.不同版本的教材在安排這幾部分內容學習的順序時有微小的區別，可能是“平移—軸對稱—旋轉”，也可能是“軸對稱—平移—旋轉”，但旋轉一定安排在平移和軸對稱之后.學習了這三大變化后，再學習圖形的相似和圖形的投影，這是“圖形的變化”部分的鏈式結構.形成知識的鏈式結構，可以讓學生了解知識的來龍去脈.

（2）在同一領域內形成網狀結構.

初中階段，主要要求學生對線段、角、相交線與平行線、三角形及特殊平行四邊形的性質、變化、坐標進行網狀結構的研究.如果在復習時能通過不斷改變一道習題的條件，把這些知識前瞻后聯、上串下聯，引導學生把知識形成網狀結構，對學生的學習能力將會起到極大的促進作用.

（3）在不同領域內形成立體體系.

為了實現有效的復習，僅僅在“圖形與幾何”領域內對圖形進行研究是不夠的，還需要在解決問題的過程中把這部分知識與其他數學知識聯系起來，以及與其他學科的知識聯系起來.例如，勾股定理是溝通圖形的變化和“數與代數”的橋梁；相似往往可以與物理學科中的光學相聯系；等等.為了實現會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界的核心素養培養目標，讓學生對所學的數學知識形成立體的知識體系是非常有必要的.

2.解題教學，重在反思

“圖形的變化”專題內容在全國各地區的中考試卷中都占有相當的比重，理解概念的本質和各類變化的特征很重要.在解題教學中，引導學生理解題意、厘清思路、寫出解答，教師都做得很好，但解題教學的最后一個環節——回顧與反思，是各位教師最容易忽視的.數學解題的目的是引導學生獲得“四基”，提升“四能”，養成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神.通過回顧與反思，進而讓學生自己梳理學過的數學知識，思考解題過程中有效的思維路徑，感悟數學思想，對解題中出現的經驗進行總結歸納，可以提升復習的有效性.針對“圖形的變化”部分解題教學的回顧與反思環節，可以通過一題多變、一題多解、多題一解等方式來提升復習的有效性.

（1）一題多變，拓寬思維.

一題多變，對“圖形的變化”這部分內容特別適用.在復習時，可以找一道典型的題目，這道題目可以來源于教材，也可以是中考試題、競賽題等.對這道題目進行改編，可以把它的已知條件與結論互換，可以把它的已知條件換一種說法推導相同的結論，可以在已知條件不變的情況下推導其他的結論，等等.例如，原題是平移，可以把平移改成軸對稱，或把平移改成旋轉，通過這種方式，能實現舉一反三、觸類旁通.

（2）一題多解，尋找規律.

對于同一道題，結合已知條件，從不同的角度思考，可以得到不同的解法.教師可以引導學生分析這道題目多種解法之間的聯系，進而發現這些解法中隱藏的規律，并把發現的規律表達出來.當然，需要引導學生自己去發現和歸納規律，這也是提升學生發現和提出問題、分析和解決問題能力的重要方式.

（3）多題一解，提煉方法.

為了不讓學生淹沒在茫茫題海中，教師需要先進入“題?！?，精選例題和習題，讓學生在求解教師精選的例題和習題的過程中發現并提煉出這些習題共同的解答方法，從而實現“會一題，通一類”.在這個過程中，除了能培養學生發現和提出問題的能力，更能培養學生的分類、歸納能力，這是創新能力培養的有效方式之一，也能在一定程度上提升學生的數學表達能力.

在分析2022年全國各地區中考“圖形的變化”試題的過程中，發現很多試題可以在教材習題中找到影子，如前述例3、例8、例10、例13、例15等.因此，復習時回歸教材，并把教材上的經典題目承載的數學思想和育人價值充分挖掘出來，是在復習過程中值得做且具有重要意義的事情.

四、典型模擬題

1.如圖17，以點O為位似中心，將△ABC縮小后得到△A′B′C′，若OB=3OB′，則△A′B′C′與△ABC的面積比為_______.

圖17

（A）1∶3 （B）1∶4

（C）1∶5 （D）1∶9

答案：D.

2.如圖18，∠BAC=45°，AB=5 cm，D為AC上一點，AD=2 cm，DE∥AB，交BC于點E，點F為直線DE上一點，則FA+FB的最小值為_______.

圖18

3.如圖19，在一條平坦的道路盡頭，有一個塔CD，在點A處測得D的仰角為α，行走s m到達點B處，測得D的仰角為β，BC處是一條小溪，不能穿過去.

圖19

（1）如果 α=30°，β=60°，s=50 m，則塔CD高是多少？

（2）試用含α，β，s的代數式表示塔CD的高度.

4.已知△ABC是等腰三角形，BA=BC.

（1）如圖20（a），D是△ABC的內一點，∠ABC=60°，DA=3，DB=4，DC=5，求∠ADB的度數.

（2）如圖20（b），∠ABC=90°，DA=1，DB=2，DC=3，求∠ADB的度數和△ABC的面積.

圖20

5.已知△ABC和△ADE，∠BAC=∠DAE.

發現解決問題：

（1）如圖21（a），AB=AC，AD=AE，可得到BD=CE；如圖21（b），當A，D，E三點在同一直線上，AB=AC=5，AD=AE=∠BAC=∠DAE=90°時，求CE的長；

類比探究拓展：

（2）如圖21（c），若△ABC∽△ADE，求證：△ABD∽△ACE.

（3）如圖21（d），D是△ABC內一點，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=3，AC=，求AD的長.

圖21