融史再創構情境 探邊尋角悟精神
——以“倍角公式”拓展探究教學為例

鮑佳麗 朱 哲

(浙江師范大學教育學院 321004)

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》中指出“高中數學課程的基本理念要以學生發展為本,落實立德樹人根本任務,培育科學精神和創新意識,提升數學學科核心素養”[1].而數學拓展性探究課程就如科學精神與創新意識培養的源頭活水,賦予數學課堂以生機.國務院辦公廳印發的《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》中也指出要“積極探索基于情境、問題導向的互動式、啟發式、探究式、體驗式等課堂教學,認真開展驗證性實驗和探究性實驗教學”[2].高中數學教學中應充分挖掘教材中的可拓展探究因子,借助數學史這一有力抓手,實現數學課堂中科學精神與創新意識的培育.

1 教學設計依據

1.1 內容與學情分析

倍角公式作為三角恒等變換中最常用的公式,往往能在解題中簡化過程、另辟蹊徑.教材中倍角公式的推導依賴于兩角和差公式的應用,在讓推導過程簡便的同時也使倍角公式的教學趨于單一,不能實現學生對數學知識的深層理解,使得倍角公式的學習偏向死記硬背,不利于學生靈活運用.運用“數形結合”實現倍角公式推導過程的直觀呈現,將有助于學生識記與理解公式.倍角公式的推導也不應局限于最常用的二倍角變換.當二倍角公式呈現后學生會自然產生三倍角變換的疑問,應當把握這恰當的教學時機,開展拓展性探究教學.同時,舊版人教版(A版)教材和現行蘇教版(2019年版)教材均將三倍角公式的證明放置在習題中,但并未給予明確定義.三倍角公式應用廣泛,可突破教材限制,適時開展基于數學史的拓展探究,將有助于學生提升數學學習體驗,感受數形結合的思想方法.

高一年級學生已學習過尺規作圖、三角函數的相關內容,會解直角三角形,會利用尺規作圖解決簡單的幾何作圖問題,具備相應的數學活動經驗和知識儲備;已接觸數形結合的思想方法并會簡單應用.本堂拓展探究課可根據學生具體學情增減“五倍角公式”的開放性探究活動,可設置在“兩角和差的三角函數”內容之后直接作為倍角公式的推導展開,也可以設置在“倍角公式”內容之后作復習鞏固使用.

1.2 三等分角問題中的三角學內涵

在數學史上,尺規作圖三等分角命題的探究經歷了曲折的過程,相傳阿基米德用一把標有固定長度的直尺解決了這一難題,卻因破壞尺規作圖約定又陷入了破解困局.之后帕普斯(Pappus)將三等分角問題轉化為“斜向問題”,其圖形繪制與阿基米德方法具有極大的相似性,其內在聯系已無從考據,但“斜向問題”中二倍角、三倍角的存在使得其中蘊涵著豐富的三角學內涵[3].解直角三角形過程中可直觀“發現”二倍角、三倍角公式,提升學生數學學習體驗,有豐富的教學意義.

1.3 弗賴登塔爾的HPM思想

弗賴登塔爾認為數學的根源是常識,人們往往需要通過實踐反思這些常識,再加以橫向或縱向“再創造”[4].其HPM思想在教學中主要體現為教師數學史素養的表達,即以歷史發生原理為指導引導學生沿著數學發展歷程“再創造”出所學知識,從學生的數學現實出發在教學過程中貫徹“有指導的再創造”以實現學生樂趣獲得與教學目標實現的微妙平衡,讓學生在學習過程的“再創造”中學習數學化,實現對數學現實的應用實踐.

2 教學過程

基于弗賴登塔爾的HPM思想[4],將本堂倍角公式拓展探究課分為四個基本流程:置身歷史情境,提出數學問題;借助名家方法,優化解題過程;探究邊角關系,發現倍角公式;合理外推結論,感悟數學精神.

2.1 置身歷史情境,提出數學問題

問題1 亞歷山大城郊正在為小公主修建圓形別墅.現有寢殿O、南門C、河流AB(圖1).需在河流AB上修建一座橋,使得尚未修建的北門到寢殿的距離與北門到橋的距離相等,且北門、橋、南門在同一直線上.據傳古希臘人為了邏輯思維能力的比拼,嚴格限制幾何作圖的工具.如果你是古希臘人,你將如何利用“尺規作圖”解決這個問題？

圖1 亞歷山大城 郊圓形別墅示意圖

學生繪制出草圖(圖2),發現隨意繪制出的草圖并不能讓北門E、橋D、南門C在同一直線上.

圖2 學生草圖 圖3 圓形別墅建造方案示意圖

教師引導學生繪制出別墅建設方案圖紙(圖3).

問題2 從邊的關系OE=DE出發無法找到符合條件的點D,如何解決？

問題3 不用量角器怎么把一個角三等分？

設計意圖這一環節要明確“尺規作圖”的作圖限制,有助于三等分角難題的引出,讓學生感受尺規作圖解三等分角何以困難、何以經久不衰、何以具有巨大的探究價值.

2.2 借助名家方法,優化解題過程

圖4 阿基米德 三等分角方法

說明：阿基米德三等分角方法僅是權宜之計,其標上半徑長度的行為已經破壞了“尺規作圖”約定.

在數學發展史上,三等分角問題的探索從未止步.教師將阿基米德方法中多余的線去除,通過添加輔助線、旋轉變換得到古希臘數學家帕普斯由三等分角問題轉化而來的“斜向問題”[5](圖5).

圖5 帕普斯斜向問題

設計意圖借助歷史背景,讓阿基米德和帕普斯“幫”學生優化解題步驟,讓學生感受到數學發展至今,離不開先輩的智慧凝練,我們都是“站在巨人的肩膀上”學習數學，這更有助于學生理解數學本質,培養科學精神和創新意識.

2.3 探究邊角關系,發現倍角公式

探究活動1 倍角公式推導

問題4 借助阿基米德和帕普斯的方法,如何求出各邊的長度？

學生回答解直角三角形,找出圖5中出現的所有直角三角形,設OD的長為1,∠OKL的大小為α,以小組為單位解直角三角形.

設計意圖學生在此學習階段未學習正、余弦定理,還不能將三角函數與任意三角形的邊聯系起來,需利用直角三角形搭建腳手架來表示邊的關系.三角函數的學習從銳角三角形出發,應有意識地回到三角形中去,深化數形結合的思想.

小組1:在Rt△DIK中,IK=2,DI=2sinα,DK=2cosα.

小組2:在Rt△DMK中,DM=2sinαcosα,MK=2cos2α.

小組3:在Rt△DMJ中,MJ=cos 2α.

小組4:在Rt△DIM中,IM=2sin2α.

小組5:在Rt△DOM中,DM=sin 2α.

教師根據小組2和小組5的計算結果引導學生“發現”sin 2α=2sinαcosα,并引出正弦的二倍角公式.

設計意圖這個教學過程中表面上看是在用數形結合的方法利用三角函數來表示邊的關系,實質上是通過邊長的表示來自然地“發現”倍角公式.

學生發現余弦的二倍角公式與邊MJ有關,據MJ=MK-KJ=JI-IM得到cos 2α=2cos2α- 1=1-2sin2α.

探究活動2 三倍角公式推導

問題5 我們已經得到了最常用的兩個倍角公式，那三倍角呢？

設計意圖正如古希臘人在作出角平分線后自然提出三等分角命題,學生也會在倍角公式教學中對三倍角產生疑惑.不妨讓學生自然提出疑問,再開展后續教學，如若學生沒有疑問,教師再進行適當引導.學生問題意識的培養在數學教學中是必要的.

學生繼續觀察圖5,教師引導其發現與三倍角有關的直角三角形與矩形,利用矩形的性質找到等長線段,得出以下結論：

說明:倍角公式推導過程也是方程思想的體現.

2.4 合理外推結論,感悟數學精神

開放探究活動 五倍角公式推導

教師借三等分角問題引出五等分角問題以推導五倍角公式.

類推斜向問題圖形,學生以OD的長為腰作出四個等腰三角形,畫出它們各自的底邊高線(圖6),設線段OD的長為1,∠ONL為α,利用這兩個值表示出圖上各邊.

圖6 五等分角問題

(2cos2α-1)=4sinαcosα(1-2sin2α).

說明:五倍角公式的推導是三等分角問題的開放拓展，可根據學生學情對這一環節適當增減內容.

3 課例簡析

弗賴登塔爾認為概念、公理定理的教學，都應使用“再創造”的方法，反對生吞活剝地灌輸[4].倍角公式的教學如果能從相關知識發生發展的脈絡出發，讓數學發展的歷程在學生身上重現，將更符合學生的認知發展規律，促進學生的理解與掌握.

3.1 歷史情境再現 增添課堂趣味

高中生能解決簡單的尺規作圖問題，但尺規作圖歷史久遠，正因其對邏輯思維能力的高要求才經久不衰.本節拓展探究課通過古希臘歷史情境的再現，使學生置身情境之中，重拾尺規作圖方法，感受三等分角難題，增添數學課堂趣味.

3.2 名家方法呈現 助推問題解決

就學生現有的數學活動經驗而言，解決古希臘三大幾何問題是困難的，本節課特呈現阿基米德、帕普斯的解決方案為學生搭建腳手架.不同于以往的教師提示，運用數學先輩們的方法能夠讓學生感受到古人的智慧，明白數學的發展歷程其實是一個不斷傳承發揚的過程.

3.3 邊角關系探究 發現倍角公式

數學史在數學課堂的融入是有指導的“再創造”，不必讓學生經歷三等分角的艱辛探索，不妨讓學生感受如果阿基米德和帕普斯當時掌握了三角函數的相關知識，將如何“創造”邊角關系公式進而“意外”推導出倍角公式.本節課中，倍角公式與其說是推導的，不如說是“發現”的，在了解掌握直角三角形的基礎上，利用數形結合的思想方法，列出等式，運用方程思想整理變形，“發現”倍角公式.這一推導將不再局限于兩角和差的簡單應用，而是讓學生置身于歷史情境中，站在巨人的肩膀上運用現有的數學活動經驗，數學地組織知識材料，自然地“發現”倍角公式；并可根據學生學情適當增減五倍角公式的開放探究活動，靈活組織課堂內容，培養學生的科學精神與創新意識.

本節拓展探究課著眼于倍角公式的推導過程的直觀呈現而忽視了應用，可適當加入相關例題習題.本節課對學生解直角三角形能力要求較高，需充分考慮學生的數學實際，靈活增加解直角三角形的復習內容，以確保輕負高效教學的完美實現.