跨學(xué)科視角下美英早期教科書三角學(xué)的應(yīng)用

石 城 汪曉勤

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

1 引言

在全球化的大背景下，社會(huì)產(chǎn)生了許多綜合性的問(wèn)題，傳統(tǒng)單一的分科教學(xué)難以獨(dú)自應(yīng)對(duì)，因而基礎(chǔ)教育需要更加重視創(chuàng)新型人才和復(fù)合型人才的培養(yǎng)．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017版2020年修改)》(簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力[1]．開(kāi)展跨學(xué)科教學(xué)已然成為國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的大趨勢(shì)．

雖然我國(guó)中小學(xué)愈發(fā)重視學(xué)生跨學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展，然而跨學(xué)科教學(xué)資源的匱乏仍然是橫亙?cè)谥行W(xué)一線教師面前的一大難題[2]．跨學(xué)科教學(xué)不僅僅是多個(gè)學(xué)科知識(shí)并置在一起，而是有效整合各個(gè)學(xué)科之間的知識(shí)來(lái)解決真實(shí)合理的復(fù)雜問(wèn)題情境．

三角學(xué)是在實(shí)踐中產(chǎn)生、發(fā)展、完善的學(xué)科，不僅有豐富的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值，更有許多可供開(kāi)展跨學(xué)科教學(xué)的豐富素材．在天文學(xué)中，早期三角學(xué)從屬于天文學(xué)，通過(guò)預(yù)測(cè)天體的運(yùn)動(dòng)路線和位置來(lái)報(bào)時(shí)和歷法推算[3]．在物理學(xué)中，現(xiàn)代三角學(xué)以其幾何作圖的形象性和算術(shù)計(jì)算的精準(zhǔn)性推動(dòng)著物理學(xué)各分支的進(jìn)步，在運(yùn)動(dòng)學(xué)、力學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都作出了杰出貢獻(xiàn)[4]．

本文從跨學(xué)科的角度出發(fā)，擬聚焦美英早期三角學(xué)教科書中三角學(xué)在天文、物理中的應(yīng)用，以試圖回答以下問(wèn)題：早期教科書呈現(xiàn)了三角學(xué)在天文、物理方面有哪些應(yīng)用？有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題有何特點(diǎn)？對(duì)今日的三角學(xué)跨學(xué)科教學(xué)有何啟示？

2 早期教科書的選取

艾倫·雷普克在《如何進(jìn)行跨學(xué)科研究》中提出：跨學(xué)科是以現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的研究和解決為依托，以多個(gè)學(xué)科為載體，關(guān)注復(fù)雜問(wèn)題或課題的全面分析與解決，希望掌握明確、整合的研究方法和思維方式[5]．本文研究以三角學(xué)為中心、天文學(xué)和物理學(xué)為背景的跨學(xué)科內(nèi)容．在詳細(xì)閱讀1800—1958年間出版的美英早期數(shù)學(xué)教科書的引言和正文部分后，從中選取三角學(xué)在天文、物理中的應(yīng)用作為研究對(duì)象，以40年為一個(gè)時(shí)間段進(jìn)行劃分，109本出版時(shí)間分布情況如 圖1所示．其中，對(duì)于同一作者再版的教科書，若內(nèi)容無(wú)顯著變化，則選取最早的版本，若內(nèi)容有顯著變化，則將其視為不同的教科書．

圖1 109種教科書的 出版年份和國(guó)家分布

三角學(xué)在天文方面的應(yīng)用主要體現(xiàn)在測(cè)量天體的大小和天體之間的遠(yuǎn)近，在物理方面的應(yīng)用主要體現(xiàn)在運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)，具體問(wèn)題見(jiàn)表1．

表1 三角學(xué)的應(yīng)用內(nèi)容及所屬類型

3 三角學(xué)在天文學(xué)中的應(yīng)用

3.1 計(jì)算地球半徑的三種方法

(1)弧度測(cè)量法

圖2 埃拉托色尼 測(cè)算地球半徑

這種方法是基于假設(shè)A,B兩地在同一條經(jīng)線上，并且兩地同在北回歸線上，才能有夏至日的太陽(yáng)直射，這與實(shí)際情況相差很大．但是在沒(méi)有精密測(cè)量?jī)x器的兩千多年前，人們對(duì)于地球外面的世界一無(wú)所知，這樣的發(fā)現(xiàn)已經(jīng)是一個(gè)奇跡，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的智慧．

(2)山頂測(cè)量法

圖3 山頂法 測(cè)算地球半徑

山頂法相較于之前的方法更為準(zhǔn)確．通過(guò)天體半徑可以計(jì)算出天體大致的體積和表面積，從而了解天體的大小．

(3)地平俯角測(cè)量法

Colenso通過(guò)反三角函數(shù)和地平俯角(地平線和視線水平線的夾角)表示出了地球半徑[9]：如 圖4，設(shè)地球球心為C，半徑為R，兩塊相距為d的海中巨型礁石分別為A,B，從它們的頂峰F和G測(cè)量的地平俯角分別為α和β．

圖4 地平俯角 測(cè)量地球半徑

3.2 測(cè)量日地距離

如圖5，Durell介紹了測(cè)量太陽(yáng)到地球的距離(簡(jiǎn)稱日地距離)的方法[10]：

圖5 測(cè)量日地距離

第一步 先畫一條與地球軌道直徑大致相等的線段AB作為基準(zhǔn)線，確定一個(gè)方便觀測(cè)的行星P的位置，從A,B兩點(diǎn)觀測(cè)P，連結(jié)AP,BP，觀測(cè)∠BAP和∠ABP的度數(shù)．已知等腰三角形的底邊和兩鄰角，根據(jù)解三角形法則可以求得地球到行星P的距離．

此方法后來(lái)被稱為“金星凌日法”．

3.3 測(cè)量月地距離和月球半徑

圖6 測(cè)量月地距離 圖7 測(cè)量月地半徑

事實(shí)上，對(duì)圖6的模型稍加修改，就可以求得月球半徑[11]：如圖7，設(shè)地球半徑為EO，月球半徑為NM，當(dāng)已知∠EMO，計(jì)算得到月地距離OM后，只需要用同樣的方法測(cè)量∠NOM，在Rt△NOM中，由MN=OMcos∠EMO可以得到月球的半徑．

3.4 測(cè)量任意一顆行星到地球距離

圖8 測(cè)量行星到地球

4 三角學(xué)在物理中的運(yùn)用

4.1 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

物理學(xué)中存在大量周而復(fù)始的運(yùn)動(dòng)，如單擺、潮汐、電磁波、音叉振動(dòng)、交流電等等，而三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象最典型的數(shù)學(xué)模型，一般周期現(xiàn)象都可以用正余弦函數(shù)來(lái)表示．

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，它對(duì)研究周期現(xiàn)象起著關(guān)鍵作用．簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可用生活中的簡(jiǎn)單物品來(lái)演示．如圖9，一根細(xì)繩一端系在振動(dòng)的音叉上，另一端同鋼筆固定在煙色玻璃上．如果玻璃不動(dòng)，那么鋼筆P畫出的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線．而如果玻璃勻速向右運(yùn)動(dòng)，則P會(huì)呈現(xiàn)波浪式的軌跡，這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的軌跡，可以看作是簡(jiǎn)諧曲線的圖象[13]．圖10則將細(xì)繩一端系在鐘擺上，另一端隨著鐘擺的上下規(guī)律擺動(dòng)在紙上畫出簡(jiǎn)諧曲線y=Asin(ωt+φ)[14]．

圖9 音叉的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng) 圖10 鐘擺的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

許多不同的簡(jiǎn)諧曲線可以組成一般諧波曲線．但是反過(guò)來(lái)，一條給定曲線，如氣溫計(jì)、氣壓表上的數(shù)據(jù)畫出的曲線，如果有周期性，是否可以認(rèn)為是若干條簡(jiǎn)諧曲線合成的呢？該問(wèn)題的解決過(guò)程就是調(diào)和分析的主要內(nèi)容，可以使用三角插值，利用計(jì)算數(shù)學(xué)中的逼近思想來(lái)求解,這在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域有著相當(dāng)重要的地位．

正是這種將任何周期函數(shù)用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)來(lái)表示，將復(fù)雜過(guò)程看成簡(jiǎn)單模式疊加的想法，成為了傅里葉級(jí)數(shù)理論建立的基礎(chǔ)，后者在物理的熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)、聲學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)物理這門學(xué)科作出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)[15]．

4.2 兩個(gè)力的合成

對(duì)于兩個(gè)力的合成，根據(jù)平行四邊形法則，將力AB和AC合成為力AD．因?yàn)榱κ鞘噶浚瑸榱饲蟪龊狭Φ拇笮『头较颍枰褂媒馊切蔚南嚓P(guān)知識(shí)[16]．

(1)平行四邊形法則

圖11 力合成的 平行四邊形法則

(2)三角形法則

圖12 力的合成 三角形法則

4.3 多個(gè)力的合成

更為一般的，如果有兩個(gè)以上力作用于同一點(diǎn)P，那么合力可以按照復(fù)數(shù)的加法來(lái)運(yùn)算：如圖13，假設(shè)四個(gè)力fi(i=1,2,3,4)作用在P點(diǎn)，ri和θi(i=1,2,3,4)分別表示每個(gè)力的大小和方向，則每個(gè)力可以用fi=ri(cosθi=isinθi)(i=1,2,3,4)來(lái)表示．

圖13 復(fù)數(shù)加法求合力

按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，將fi(i=1,2,3,4)的 實(shí)部和虛部對(duì)應(yīng)相加得F=r1cosθ1+r2cosθ2+r3cosθ3+r4cosθ4+i(r1sinθ1+r2sinθ2+r3sinθ3+r4sinθ4)=R(cosφ+isinφ)，其中R表示合力的長(zhǎng)度，φ表示合力與x軸所成的夾角．引入復(fù)數(shù)將原來(lái)的矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，不光適用于力學(xué)，也適用于運(yùn)動(dòng)學(xué)中的合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)，因而在理論物理中發(fā)揮著重要作用[17]．

5 教學(xué)啟示

早期教科書中以三角學(xué)為中心的跨學(xué)科內(nèi)容十分豐富，不僅涉及數(shù)學(xué)的諸多分支，如計(jì)算數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)，還涵蓋物理、天文等方面的專業(yè)知識(shí)．這給我們今日的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富的素材和寶貴經(jīng)驗(yàn)．

(1)以素養(yǎng)為導(dǎo)向，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)．跨學(xué)科教學(xué)的目標(biāo)是利用知識(shí)的遷移促進(jìn)學(xué)科理解，提升學(xué)科核心素養(yǎng)．而數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的生成離不開(kāi)問(wèn)題解決．三角學(xué)是在天文學(xué)應(yīng)用中產(chǎn)生，最終又可以廣泛運(yùn)用到各學(xué)科的實(shí)踐中的學(xué)科，這其中產(chǎn)生了大量復(fù)雜真實(shí)且科學(xué)的問(wèn)題情景．在求解天文學(xué)中地球半徑問(wèn)題時(shí)，早期三角學(xué)教科書呈現(xiàn)出了豐富多彩的方法，這些模型不僅是孕育數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)的天然搖籃，還是鍛煉學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的良好素材．問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，也是數(shù)學(xué)課程中跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)項(xiàng)目的關(guān)鍵．跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)項(xiàng)目中的問(wèn)題設(shè)置，可以以“問(wèn)題鏈”為依托，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性，使得學(xué)生在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下更有效地獲得知識(shí)．以“天文學(xué)中測(cè)量天體之間的遠(yuǎn)近”為例，從測(cè)量日地距離、月地距離到任意一顆行星到地球的距離，從特殊到一般，層層遞進(jìn)，充分體現(xiàn)問(wèn)題情境的現(xiàn)實(shí)性、復(fù)雜性和開(kāi)放性．

(2)重視學(xué)科交叉，培養(yǎng)跨學(xué)科思維．?dāng)?shù)學(xué)以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)、純粹的形式公理化體系以及獨(dú)特的符號(hào)語(yǔ)言系統(tǒng)而具有不容置疑的科學(xué)性,但是其抽象性使許多人望而卻步．日新月異的社會(huì)發(fā)展使學(xué)科之間的交互融合越來(lái)越重要，開(kāi)展以數(shù)學(xué)為中心的跨學(xué)科教學(xué)，可以打破學(xué)科壁壘，豐富教學(xué)內(nèi)容，開(kāi)闊學(xué)生視野，擺脫數(shù)學(xué)是被束之高閣的抽象理論的錯(cuò)誤觀念，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值、科學(xué)價(jià)值．另一方面，數(shù)學(xué)的融入使得學(xué)生跳出原有的思維束縛,多角度、多方位思考問(wèn)題．以物理學(xué)中力的合成問(wèn)題為例，數(shù)學(xué)思想方法的介入為解決多個(gè)力的合成問(wèn)題注入了新的活力．

(3)設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，理論實(shí)踐相結(jié)合．跨學(xué)科教學(xué)不是知識(shí)的被動(dòng)接受，而是經(jīng)驗(yàn)的自主建構(gòu)[18]．因而以學(xué)生為中心的發(fā)現(xiàn)式、探究式或建構(gòu)式學(xué)習(xí)是開(kāi)展跨學(xué)科教學(xué)的抓手．三角學(xué)巧妙地聯(lián)系起了天文、物理和數(shù)學(xué)，適合開(kāi)展綜合性的數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．從生活中振動(dòng)的音叉和搖晃的鐘擺出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律性運(yùn)動(dòng)的特征，再探究物理學(xué)中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特性，從而建立其與三角函數(shù)的自然聯(lián)系．這樣不僅加深了對(duì)物理學(xué)中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)，同時(shí)也有助于把握三角函數(shù)的本質(zhì)屬性——周期性．在課堂教學(xué)中可以使用現(xiàn)代化的教育技術(shù)，利用VR技術(shù)播放教育科普短片，讓學(xué)生身臨其境地體會(huì)到三角學(xué)在社會(huì)生產(chǎn)中發(fā)揮的作用．還可以通過(guò)角色扮演活動(dòng)，讓學(xué)生分角色扮演天文學(xué)家和物理學(xué)家，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決曾困擾古人數(shù)百年的問(wèn)題，如地球到底有多大、太陽(yáng)離我們到底有多遠(yuǎn)等．