余金榮

(江蘇省錫山高級中學錫西分校 214186)

對于數學概念，通過定義能夠明確其內涵，通過分類，能夠明確其外延；從而能夠在事物與事物之間進行明確地區分.數學對象往往是變化的，數學性質則研究數學對象變化中的規律性與不變性，能夠幫助我們更深入地認識數學對象，更好地解決與其相關的問題[1].文[2]中提到，單元教學是通過圍繞某一單元，讓學生以單元相關的各類資源為載體，以各種探究活動為手段，使其發生知識遷移，提高其問題解決等高級思維能力以及養成主動探究精神的教學方式.

《普通高中教學課程標準(2017年版2020年修訂)》提倡教學過程中要突出主線，把握數學本質，整體把握教學內容，促進數學學科核心素養的連續性和階段性發展[3].教師教學要啟發學生思考，改變教學方式，促進學生學會學習.數學性質作為數學研究的重要內容，我們應該在學生現有認知基礎上，宏觀思考數學性質，把握其知識主線、方法主線和素養主線，挖掘知識的本質和育人價值，并引導學生開展探究互動，發揮數學性質培養學生的數學力量，將數學核心素養的培育落到實處[1].

本文將從單元教學的角度，比較兩節省級同課異構觀摩課(節選片斷)，內容是“兩角差的余弦公式”(人教A版必修第一冊5.5.1節)生成過程，學生來自江蘇省第一批四星級高中(生源較好)，同時交流筆者在單元教學視角下對數學性質生成的一些思考，與同行分享.

1 原案展示

限于篇幅，案例中略去學生具體活動內容.

1.1 案例一

師生活動 回顧角的定義及三角函數的定義，總結先前知識系統(圖1)．

圖1

引入1回顧公式(三)～(六)，這實際上是兩個特殊角的三角函數，如果進行一般化，那么α+β,α-β的三角函數呢？

引入2如圖2，某山頂有一座電視塔，塔底位于點C，塔頂B.在山腳下一點A，測得點B的仰角為60°，測得電視塔的張角為45°，點A距離塔底C的距離為50m，求AD的長度.

圖2

問題1如何求cos 15°？如何用三角板擺出15°?

學生活動 通過平面幾何的方法探討 cos 15°的值.

師：前面我們用單位圓推導誘導公式，能否借助以上方法對該公式進行證明呢？

學生有些犯難.

問題2由cos(45°-30°)=cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°，能否猜想一般性等式？

問題3如何在單位圓中證明以上等式？

學生活動 作出角α,β,α-β，指出cosα,cosβ,sinα,sinβ的意義，用兩種方法表示α-β，逐步利用單位圓證明公式(圖3).

圖3

1.2 案例二

問題1同角三角函數的基本關系是如何推導的？解決了什么問題？

問題2三角函數的誘導公式是如何推導的？解決了什么問題？

引導三角函數誘導公式中的角與α有怎樣的關系？

問題5我們如何解決呢？為此要解決哪些問題？

學生活動 利用平面幾何證明兩角和與差的余弦公式.

問題6以上證明過程中，α,β,α-β的范圍均為銳角，能否推廣到任意角呢？

2 聽課思考

2.1 立足原點之本：探究數學性質的經驗基礎

教材的編寫過程，對教學內容的安排以學生認知規律和數學知識的發生發展過程為依據.對一個數學對象的性質，教材中必然在邏輯層次進行了妥善安排.因此，對學生已有的經驗基礎進行回顧，有利于有層次地展開數學性質的研究過程.在學習兩角差的余弦的過程中，學生已有的知識基礎、方法基礎有哪些？已有的經驗對學生研究數學性質的影響是正面的還是負面的？以什么樣的形式強化經驗基礎？只有弄清這些問題，教師才能順暢地引導性質的建構過程，激發學生的原動力.

我們以圓周上點的運動為模型提出了任意角的概念，將角從0°～360°擴充到了任意角的范圍，角的定義從靜態定義轉變成了動態定義.同時，從形的角度對角的加法和減法運算進行了規定：把角α的終邊逆時針旋轉角β，這時終邊所對應的角是α+β，同時規定：α-β=α+(-β).

案例一回顧了角及三角函數的定義，總結了從特殊到一般再到特殊的處理過程，剖析了兩角和與差的三角函數與誘導公式之間的關系；從測量的案例出發，讓學生體會了研究兩角差的余弦的必要性.兩個引入分別從數學內部和數學外部展開，旨在激發學生的求知欲，同時為性質的探究提供知識基礎.案例二回顧同角三角函數關系，重點強調了單位圓在研究過程中的重要性，為本節課提供了工具基礎.隨后回顧了誘導公式及其推導過程，將其一般化則自然地引出了本節課的主題，同時也建立了誘導公式與兩角差的余弦公式的關系.從效果上來看，盡管案例二沒有過多地回顧解直角三角形的相關知識，課堂上學生還是比較自然地選擇了平面幾何的方法來推導兩角差的余弦公式.兩個案例中用單位圓這一研究工具及旋轉的觀點看角α,β,α-β均有些突然，教師若能在任意角的定義(動態)，以及加(減)法運算與形的關系兩個方面采用合適的方式進行鞏固，會使課堂更加自然.

2.2 走向遠點之源：生成數學性質的知識主線

知識的主線也就是知識的來龍去脈，能體現知識發展的過程.教材按照“背景—概念—性質—應用”的順序給出了三角函數的研究路徑和主要內容，我們在教學中應該厘清知識主線，以知識為載體、以知識發生發展過程為基本線索展開，使學生在教師的指導下體會發現和提出問題、分析和解決問題的過程，給學生呈現數學知識再發現、再創造的過程.分析三角函數知識發展脈絡，兩角差的余弦位于任意角及其三角函數、誘導公式、三角函數的圖象與性質之后，后續內容則是兩角和的余弦及其他恒等變換公式.教材采用的“單位圓定義法”、同角三角函數及誘導公式都是原點的對稱性在代數上的表現；從任意角定義的角度來說，誘導公式正是角的終邊在旋轉變換的過程中的不變性，即三角函數的性質.旋轉對稱性也是圓的重要特性，兩角差的余弦正是單位圓旋轉對稱性的代數表示，也可視為三角函數的性質.從物體運動來說，兩角差的余弦建立了兩個旋轉運動疊加后的狀態與疊加前兩個運動之間的關系.

案例一以任意角三角函數、誘導公式、解直角三角形為前序知識，對猜想的等式一般化，利用單位圓，結合平面知識進行推導，充分尊重學生的思維.從課堂上學生的表現來看，其思維得到了充分的碰撞，主動參與到了性質的推導過程中來.案例二從任意角三角函數的定義和誘導公式出發，一般化提出問題，以單位圓為工具，引導學生結合平面幾何的知識進行探究.學生在教師的引導下逐步得到兩角差的余弦這一公式，其素質和能力得到了培育.兩位教師在教學過程中都大膽地“放權”由學生自主探討，把突破重點、難點的任務交給學生自主完成.他們為什么都敢如此大膽地這么做呢？這與教師對學生知識系統的把握不無關系.從學生參與的程度對比來看，利用平面幾何探索兩角差的余弦的過程，案例一更順暢一些，這是因為教師設置了三角板這一學生所熟悉的情境作為鋪墊.不過，兩個案例在利用圓的對稱性來推導一般情況下的兩角差的余弦公式時都顯得有些突然.如果教師能夠將兩角差的余弦與誘導公式一起從幾何的角度進行剖析，將代數上的性質逐步轉化到幾何上，興許能使證明的推進更流暢.

2.3 探尋遠點之緣：建構數學性質的方法主線

兩個案例在數學性質生成的過程中，均將以上四種思想方法滲透于課堂全過程，幫助教師啟發和引導學生分析問題、解決問題，這能很好地發展學生的核心素養.但是，在方法的選擇上，兩個案例均以平面幾何探究數學性質為第一出發點，并引導學生深入探究，當由圓的旋轉對稱性探討數學性質時，由于時間原因略顯倉促.實際上，縱觀整個章節，將圓的性質代數化，進而研究三角函數的性質，這是很重要的一條數形結合的暗線.本節課，在提出證明問題后，如果教師能夠引導學生將研究的路徑進行整理，再分別研究，最后對比不同研究方法的優劣，則能夠進一步提升學生的元認知水平.

2.4 感受遠點之味：析出數學性質的素養主線

從學生學習的角度看，兩角差的余弦這一數學性質建構過程主要體現了數學建模、直觀想象、邏輯推理等關鍵能力.這是核心素養的重要成分，教學中應該著力提升這幾種關鍵能力.

(1)數學建模

三角函數是刻畫圓周上動點位置的一個重要的數學模型.任意角采用動態方式進行定義、三角函數以單位圓為工具進行定義、利用單位圓研究三角函數的性質等，都是三角函數這一數學模型建立和研究的過程.兩角差的余弦以單位圓為工具開展研究，有利于進一步鞏固這一建模思想，同時有助于理解兩個圓周運動疊加的過程.

(2)直觀想象

在證明兩角差的余弦的過程中，是通過幾何圖形、利用圓的性質開展研究的.其中建立α,β,α-β這三個角終邊關系及坐標關系的過程正是借助幾何直觀.因此，本數學性質生成的過程充分利用幾何圖形描述問題、直觀理解、探索關系，這正是發展直觀想象核心素養所需要的.

(3)邏輯推理

本數學性質生成過程中的邏輯推理主要表現在通過對α,β,α-β終邊位置的分類討論，將各種可能的情形進行推理、簡化；將圖形的幾何特性代數化，建立代數恒等式.實際上，限于條件，第一個邏輯推理過程不能給出嚴格的演繹推理證明，因而借助幾何直觀進行了合情推理.

案例一借助三角板，從特殊到一般，幫助學生建立了α,β,α-β三者之間的關系，并以平面幾何推理經驗為基礎，建構了三角函數的數學性質.以學生熟悉的情境激活其認知系統，在類比的基礎上，流暢地進入了兩角差的余弦公式證明過程.案例二直接以單位圓為背景，建立α,β,α-β三者之間的關系并進行幾何證明.從學生思維的角度來說，第一種處理方式相對順暢，但是也有降低思維力度之嫌，應當根據學情選擇合適的處理方式.從效果上來說，兩種處理方式在直觀想象和邏輯推理兩種關鍵能力的培養上都有較大收獲.對于數學建模素養，還需要教師在問題的發現與提出過程中進行滲透，對整個章節的數學模型進行階段性的提升，在問題解決后能夠將成果“翻譯”到對應的模型中.這樣一方面可落實數學建模關鍵能力的培養；另一方面可將大單元的核心問題貫穿于整章教學的始終.

3 結語

單元教學能夠幫助我們整體規劃學生核心素養的發展，有利于借助大框架、大問題、大背景進行高觀點思想駕馭、結構關聯，能夠規避傳統教學中課時教學整體感不強、知識碎片化等現象.對數學性質的研究，既要有受數學性質的一般性認識所指引的整體架構，又要有能洞察具體實例共性特征的敏銳直覺和抽象能力.教學中，應該挖掘數學性質的經驗基礎，找準原點，站在單元的視角下剖析生成數學性質的知識主線、方法主線、素養主線，看到遠點，設計教學.使學生經歷數學性質的生成過程，發揮數學性質應有的育人功能，才能使數學學科核心素養的培育落在實處.