古今計時工具：從“漏壺”說起*

張維忠 李婉玥

(浙江師范大學教育學院 321004)

倪 明

(上海市核心數學與實踐重點實驗室 200062)

現在幾點了？你的第一反應是抬頭看鐘、抬起手腕看表或者點開手機查看時鐘……那么在遙遠的古代，古人是如何知道時間的呢？這里，我們說說一種古老的計時工具——“漏壺”．

1 “漏壺”是什么？

早在3 000多年前的商代，人們就發明了用漏壺來計時．漏壺也叫“漏刻”“漏箭”“滴漏”“水鐘”，它是根據漏壺中水量的變化來度量時間的．漏，指漏壺，是底部帶有一個小孔的容器；刻，指箭刻，是有刻度的箭桿；箭，是指標有時間刻度的標尺．

最早的漏壺形式較為簡單，是一個上面帶有提梁、底部開一個小口的盛水容器(壺)．漏壺的側邊壁上，刻有一些表示時刻的標記．使用時，首先在壺中裝滿水，然后讓水漏出，隨著壺中水量的減少，水面高度到達某一標記，即可讀取相應的時刻．漏壺可以重復使用，當壺中水漏完后，可以再在壺中裝水．

這種方法雖然可以粗略地讀出時間，但讀取的過程并不方便，人們對此進行了改進，比如在壺中加入“箭”，即有時間刻度的標尺．方法是，把一個木制的托片(箭舟)放到壺內的水面上，將一根刻有時刻標記的木條或竹竿(箭桿)從壺蓋上的孔插入，再插在箭舟上，這樣隨著水的流出，箭桿隨著箭舟下沉．通過察看箭桿被水面浸淹的部位，然后在壺蓋(或提梁)的上邊觀察箭桿上的標記，便可輕易地讀出時刻，這種方法被稱為“沉箭法”．

“箭”上的時間標記往往以時辰和刻為單位．古時候，人們將1日分成100刻或12個時辰．12時辰用十二地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥)來表示，每個時辰又被分為初、正兩個部分．每個時辰包含8刻，12個時辰共96刻，剩下的4刻分別分給上下半天．“箭”上一般是刻十二時辰，每時辰8刻(圖1)，“時刻”“一刻鐘”就來源于漏壺的刻度．大小不同的漏壺，其一壺水漏完所計的時長也不等．先秦時期的漏壺大多用于軍事活動相關，為了便于攜帶，它的尺寸不會很大．最常用的漏壺就是“一刻之漏”，即每漏完一壺水的時間為一刻(這里的一刻為古刻，大約相當于如今的14.4 min．和現代的一刻鐘略有偏差，現代的一刻鐘為15 min)．

圖1 元代漏壺在箭上的標記 圖2 西漢漏壺

圖2是西漢滿城銅漏，高22.4 cm，所計時長約為兩刻鐘到一個時辰．然而，漏壺里水量的變化會影響漏水的快慢——水位高時水流得快、水位低時水流得慢，這就影響了計時的精確度．因此，這類漏壺相對適用于對計時的精確性要求不太高的場合，一般只能作為日常生活的計時工具．這種由一個壺構成、箭桿隨水的泄漏逐步下沉的漏壺，被稱為單壺泄水型沉箭漏．

沉箭漏不僅會受到壺內水量大小的影響，還會受到環境中空氣濕度等因素的影響，導致計時的偏差．為此，東漢時，張衡(78—139)將單壺發展為雙壺，將沉箭發展為浮箭．這種漏壺由兩只漏壺組成，一只是泄水壺，另一只是受水壺．水由泄水壺流入受水壺，受水壺內水位逐步上升，箭桿隨之上浮，所以這種漏壺又稱作浮箭漏．這種方法通過盡量保持水滴入受水壺是均勻的，來達到提高計時精度的效果．

后來經過不斷改良，晉代出現三級漏壺，唐代出現了四級漏壺．這些多級漏壺是將兩個以上的漏壺自上而下放置，使最上面一個壺中的水流入第二壺，再由第二壺流入第三壺，以此類推，最后流入受水壺．這是通過增加壺的數量，以更大程度地保證最后一級壺中水位的穩定不變，從而提高計時的精度．如圖3所示的是一種四級漏壺(藏于國家博物館)．

圖3 元代銅壺滴漏 圖4 燕肅蓮花漏

但漏壺總不能無限地增加，到了宋代，出現了分水壺——把漏壺里多余的水分流出去，來保持水位穩定．比較著名的是燕肅(961—1040)創制的蓮花漏(圖4)，這種漏壺因最下層的壺和箭刻像蓮花形狀而得名．

在宋代，漏壺的發展達到了一個高峰．宋代著名學者沈括(1031—1095)(圖5)在漏壺的研究上卓有成效．他擔任司天監提舉(相當于現在的國家天文臺臺長)時，花了十多年時間考驗漏壺．他改良的漏壺，能使受水壺的水面保持相對不變，提高了計時的精度．此外，他還經過長期的天文觀察，發現一天并非都是相等的24小時，這是世界科學史上的創舉．沈括將多年研究撰寫成一部學術專著——《熙寧晷漏》，可惜該書現已失傳．

圖5 沈括

發展到元代，漏壺上已經有了多樣的裝飾和寓意，頗具地方特色．圖3的元代銅壺滴漏是我國現存最大和最完整的漏壺．它鑄造于元延祐三年(1316)，距今已700多年，由大小不等的四個壺組成．壺身飾鑄云紋及北斗七星．除日、月、星、箭四個銅壺之外，還有一個龜蛇合體的玄武形銅蓋．玄武，又稱真武大帝，為司水之神，在中國南方受到人們的崇拜．日壺的外側鑄有銘文，上面列出的監造官員和工作人員共有20人．可見，當時對這件儀器的制作是一項大工程．銘文上還談到，大名鼎鼎的傳教士利瑪竇(Matteo Ricci,1552—1610)面對此銅壺滴漏，想仿制卻無從著手．這件銅壺滴漏原本放在廣州城的拱北樓上作為報時儀器，后經歷了遺失、損壞、多次修補和搬遷，現存于廣州博物館．詩人徐良琛(清朝人，生卒年不詳)曾作長篇《拱北樓銅壺歌》：“日轉樓角風凌凌，訪古直上層樓冬．樓中刻漏傳自昔，決制樸拙形彭亨……”對這件銅壺滴漏的設計、結構、功能、使用等有比較詳細的解說．從中我們也能看出它在當時人們心目中的重要地位[1]．

隨著科技的日漸發展，如今我們有更好的工具來替代“漏壺”進行計時，但對“漏壺”這一洋溢著中國古代人民智慧的發明創造，人們的關注并不少．試著用你常用的搜索工具，找一找有關“漏壺”的視頻、圖片和文字等信息，和你的同伴、老師及家人分享你的發現吧！

2 “漏壺”是怎么用來計時的？

漏壺是通過觀察水從一個容器通過小孔滴落到另一個容器中所需的時間來計時的．那為什么觀察水位的變化就可以知道時間的變化呢？或許水位和時間的變化存在某種必然的聯系．學過函數的同學可以發現，這似乎符合函數的定義．以泄水型沉箭漏為例，隨著時間的累積，水位會逐漸降低．漏壺中水位的變化是通過箭桿表現出來的．假設漏水量是均勻的情況下，隨著水位的均勻降低，箭桿也會均勻下沉．也就是說，箭桿下降的高度h與所經歷的時間t成正比h=kt(k為比例常數)．

可見，該容器泄水的流量是時間的一次函數．正因為漏壺中存在這一函數關系，所以它能夠用來計時．下面，我們看看數學教材中關于“漏壺”的內容．

2.1 數學教材中的“漏壺”

教材中的“數學文化”并不單獨設置，而是滲透到不同的知識內容中，學生在知識學習的同時，由不自覺地向自覺地繼承“數學傳統”，發展情感、態度與價值觀[2]．2013版人教版“義務教育教科書·數學”八年級下冊“函數”章節中有這樣一道習題[3]：“漏壺”是一種古代計時器(圖6)．在它內部盛一定量的水，水從壺下的小孔漏出．壺內壁有刻度，人們根據壺中水面的位置計算時間．用x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度．下面哪個圖象適合表示y與x的對應關系？(不考慮水量變化對壓力的影響)

圖6 漏壺

在這道題中可以發現，我國古代發明“漏壺”是源自生活中計時的需要，而這一偉大發明在本質上是函數思想的應用．實際上，通過前面的分析，我們可以直接選出選項(2)．由分析材料，我們也可以得出結果．隨著漏水的時間越來越長，壺中的水只會越來越少，即壺底到水面的高度y會隨著x的增加而減小，且壺內的水會有流完的一個時刻，即會出現y=0這一點，所以可排除選項(1)．“漏壺”作為一種計時工具，當不考慮水量變化對壓力的影響時，在均等的時間里，壺內流出的水量應是均等的，壺底到水面的高度減少的量也應是均等的，即可以排除選項(3)．聰明的你會發現，解這道題并不難，只要我們仔細閱讀和理解關于“漏壺”的信息，就可以很容易地將它轉化成對應的函數圖象．

2.2 中考試題中的“漏壺”

教材中的習題也被改編為2019年湖北武漢中考卷中的一道試題：“漏壺”是一種古代計時器(圖6)，在它內部盛一定量的水，不考慮水量變化對壓力的影響，水從壺底小孔均勻漏出，壺內壁有刻度．人們根據壺中水面的位置計算時間．用x表示漏水時間，y表示壺底到水面的高度，下列圖象適合表示y與x的對應關系的是( )．

這道中考試題在上述教科書習題的基礎上，多增加了一個選項．而這一選項通過上述對漏壺的分析就可以排除．

同學們可能會好奇，可以建立怎樣的數學模型來刻畫壺內水的高度(壺底到水面的高度/箭桿升高的高度)和時間的關系？或者說，壺內水的高度h和時間t的關系式到底是怎樣的？(不考慮水量變化對壓力的影響)

教材往往給我們預留了運用創造性思維的空間[4]，中考試題亦如此．在此基礎上，可以進一步創造性地思考．例如，壺底小孔中漏出的水真的是均勻的嗎？從前文中可以看到，古人注意到隨著泄水壺中水的減少，漏水速度會變慢，從而設置多級型漏壺，使水逐級下漏，以盡量保證最后漏入受水壺的水流是均勻的．也就是說，實際上壺內的漏水量不是均勻的，漏壺內水量的變化對水流速度會產生影響．在考慮這種情況時，“漏壺”裝置中漏水時間和壺內水量到底是什么樣的關系呢？能建立相關的模型解決該問題嗎？要想解決這一問題，我們或許需要用到物理中流體力學的相關知識[5]．同學們可以試著查閱相關資料解決該問題．又或許，想要讓小孔的水流是均勻的，可以通過改進漏壺裝置實現，這樣的漏壺應該做成什么樣呢？

3 如何制作一個自己的“漏壺”？

聰明的祖先早就發明了“漏壺”，它的原理是讓水從一個容器通過小孔滴落到另一個容器中所需的時間來計時．我們也可以沿著這一思路，利用塑料瓶等材料，制作一個簡易的“漏壺”模型．根據容器的大小和瓶蓋孔的大小，可以制作一個3分鐘或5分鐘等不同時長的“漏壺”模型．

材料準備 透明塑料瓶、剪刀、紙、膠帶、筆、秒表(或手機/計時器)、墨水．

制作步驟 (1)用剪刀把透明塑料瓶剪成上短(瓶a)下長(瓶b)的兩部分，剪下一段紙條貼在瓶b上(圖7)．(2)從瓶a上取下瓶蓋，在瓶蓋中心打個小孔．再將瓶蓋重新蓋回瓶a頂部，并擰緊．提示：孔的大小將決定水流的速度，即決定你的“漏壺”所計時長．建議先打個較小的孔，方便后期調整．(3)按住瓶a蓋上的小孔，往其內加水．后將瓶a放到瓶b上方，再將手指從瓶a蓋上的小孔下移開，保持瓶a放于底座(瓶b)上的狀態，讓水慢慢滴下．(4)當水開始往下滴時，通過手機、手表或其他計時工具開始計時，并用記號筆在瓶b上劃出單位時間內(10 s/30 s/1 min等)的水位線，直到所有的水滴完．提示：如果你對水滴的速度不滿意，可以通過改變瓶蓋上的小孔大小來調整．即如果太慢，應把小孔擴大；如果速度太快，應另取一個瓶蓋，在其中心再打一個比前面那個小一點的孔．另外，可以在水里加入幾滴墨水，讓實驗過程看得更清楚．

圖7

現在，你的“漏壺”就制作完成啦！在你沒有計時工具的時候，它可以作為臨時時鐘使用．試試看，用你的“漏壺”計時，讀一讀本節的內容，看看1分鐘你能讀多少個字．

講解視頻 掃描二維碼(圖8)，可以看到漏壺的制作過程．看看你的制作過程與視頻中的是否差不多？

圖8

過程記錄與自我評價 制作的過程不是一蹴而就的，你可以在“活動記錄單”上記錄你的制作過程、制作結果和感想(表1)，也可以通過“自我評價表”對你的制作進行評價(表2)．

若你選擇的塑料瓶為近似圓柱形的，那么你能根據漏壺中水的高度h和時間t的關系式，計算出這一漏壺中的函數模型嗎？提示：先測量出容器的高h2、容器底面圓半徑r，單位時間間隔內從小孔中流出的水量a，再進行計算．

或許你會發現，制作的簡易“漏壺”可能存在一些誤差，怎么讓你的“漏壺”更加精確？除了這種方法，你有更好的制作“漏壺”的方法嗎？

表1 活動記錄單

表2 自我評價表

4 形形色色的計時工具

4.1 早期的計時工具

在漏壺之前，中國古代最早主要用圭表(ɡuī biǎo)和日晷(rì ɡuǐ，意指“日影”)進行時間的計量．這兩者都以太陽為觀測對象．其中圭表(圖9)最為簡單，早在公元前20世紀就已經出現．它由“表”和“圭”兩個部件組成，圭是平臥的尺，表是直立的標竿，表放在圭的南、北端，與圭垂直．它是根據“表”的日影長短來確定時間的，這就是成語“立竿見影”的由來．用圭表測量正午時分的表影長度可以定節氣、定年長．我國古代人民正是用圭表測量和規定了二十四節氣，是我國重要的非物質文化遺產．日晷(圖10)起源于圭表，是利用表影的方位變化來測定時刻的計時儀器．日晷通常由晷針(表)和晷面(帶刻度的表座)組成，利用太陽的投影方向來測定并劃分時刻．人類使用日晷的歷史非常遙遠，古巴比倫在6 000年前的遠古時期就開始使用了，我國則在3 000多年前的周朝．

圖9 東漢袖珍銅圭表 圖10 日晷

圭表和日晷的使用都受陽光的限制，一旦遇到晨昏、陰雨，便失去效用．后來，漏壺的發明正是作為日晷的補充．為了確定滴水流速快慢，檢驗漏刻是否正確，通常是用日晷的刻度校準的．但漏壺和日晷的校準也時常出現不符的現象．另外，漏壺中水流速度還受到四季溫度變化等諸多因素的影響．約在12世紀，沙鐘(也叫做沙漏，圖11)作為夜間海上航行的儀器被發明．其制造原理與漏壺大體相同，它是根據流沙從一個容器漏到另一個容器的時間來計量時間．這種采用流沙代替水的方法，一定程度上彌補了日晷、圭表和漏壺的不足．

圖11 沙鐘 圖12 水運儀象臺

我國北宋時期，蘇頌(1020—1101)、韓公廉(北宋人，生卒年不詳，活躍于11世紀后期)等人發明制造了水運儀象臺(圖12)，它是以漏刻水力驅動的，集天文觀測、天文演示和報時系統為一體的大型自動化天文儀器．這臺儀器的制造水平堪稱一絕，充分體現了中國古代勞動人民的聰明才智和創造精神．其標志著中國古代天文儀器制造史上的高峰，被譽為是世界上最早的天文鐘．

13世紀，歐洲的修道院里出現了機械鐘，在明朝萬歷年間傳入我國．機械鐘是通過鐘聲來報時的一種計時器．機械鐘安裝上了鐘面和指針，這讓時間這一始終伴隨著人類社會發展進步的無形標準，第一次有了外在的形象．1335年，公共時鐘的出現，使機械鐘第一次進入人們的日常生活．較有代表性的是倫敦大本鐘(圖13)、上海海關的大鐘與莫斯科紅場大本鐘，它們為英國同一家公司定制生產，屬于真正意義上的“親哥們”．這類機械鐘的結構復雜、體積相當龐大，還不能進入家庭．

圖13 英國倫敦大本鐘 圖14 惠更斯鐘擺

17世紀，荷蘭天文學家、數學家克里斯蒂安·惠更斯(1629—1695)發明了有擺的掛鐘(圖14)．他是以伽利略發現的“擺”的等時性原理為基礎，將“擺”作為鐘表調速器發明的．自此以后，人類掌握了比較精準的測量時間的方法．

4.2 現代的計時工具

1967年7月，瑞士發明和制成了石英表．它利用周期性持續“發振”的水晶，為我們帶來準確的時間．一天之內的誤差率也不會超過1秒．它比傳統機械表輕薄、精準，同時避免了使用機械表時需要上發條的繁瑣而受到普及．如今，石英表的使用相當普遍，圖15是某品牌的石英表．

圖15 石英表 圖16 標準化考場里的電波鐘表 圖17 智能手表

21世紀，出現了電波鐘表和智能手表．電波鐘表(圖16)是一種通過接受國家授時中心的無線信號以確保時間準確性的計時工具．它能使所有接收標準時間信號的電波鐘表都與標準時間授時中心的標準時間保持高度同步，進而全部電波鐘表顯示嚴格一致的時間．我國高考考場中配備的就是這種電波鐘表．智能手表(圖17)能夠連接網絡，在功能上更為齊全和多樣，是時下流行的鐘表．

以往的鐘表基本上是圓盤式，隨著社會的信息化和數字化的推進，如今的計時工具以數字式更為常見．我們常常看到政府機關的大廳、公園的門口都設置有數字式的計時工具．在手機、電腦上所顯示的時間更多地采用數字式．一般而言，數字式的時間顯示更為準確、更為精細．百米賽跑國際比賽采用的是電子紅外線計時器，對計時有相當高的要求．

也有計時器是采用倒計時的，這往往是為了完成某一個確定的目標而設置的，如會議發言的時間控制、廚房間燒菜時設定的倒計時等．圖18里的節氣數碼歷顯示有二十四個節氣，并設置了節氣的倒計時，方便農耕的安排．

圖18 節氣數碼歷

為了照顧到各地區使用時間的方便，又能使其他地方的人容易將本地的時間換算到別的地方時間上去，有關國際會議決定將地球表面按經線從東到西劃成一個個區域，并且規定相鄰區域的時間相差1小時．在同一區域內的東端和西端的人看到太陽升起的時間最多相差不過1小時．當人們跨過一個區域，就將自己的時鐘校正1小時(向西減1小時，向東加1小時)，跨過幾個區域就加或減幾小時．這樣使用起來就很方便．現今全球共分為24個時區[6]．曾經以格林威治天文臺向世界提供標準時間，由于傳統的方法確認時間存在一定的誤差，現在的標準時間由原子鐘提供．實際上，常常1個國家或1個省份同時跨著2個或更多時區，為了照顧到行政上的方便，常將1個國家或1個省份劃在一起．所以時區并不嚴格按南北直線來劃分，而是按自然條件來劃分．由于世界各地存在時差，隨著人們的國際交往增多，為了方便掌握時間，不少計時工具會設置兩個地方的時間，有手表的，也有手機的．

4.3 鐘表與文化

隨著計時需要得到滿足，計時工具不僅具備計時的功能，還逐漸被賦予了多樣的文化內涵和寓意．周朝初期出現了以編鐘為主要形式的時樂鐘，弱化了計時的功能，是主要用于王朝貴族的禮樂器，成為一種等級的象征．清朝的御用宮廷鐘表用料考究、制作工藝多樣，外表多用珍貴的紫檀木雕刻出亭、臺、樓、閣、塔等建筑式樣，越發精美．清朝的鐘表也成為了外交上的重要禮物．18世紀中期，江南一帶殷實人家流行在中堂條幾中央擺放一座鐘，東側擺放瓷瓶，西側擺放一面鏡子，寓意“終生平靜”，這時的鐘表成為了徽派建筑中最為常見的家居陳設．

有一篇美文《找懷表》，是一個很有影響的勵志故事．雖然主題是告訴人們在努力工作的時候，需要有正確的工作方法和努力的方向，但是文章以懷表的丟失為問題導向，足見作為計時工具的懷表在當時人們心目中的地位，彌足珍貴．

20世紀70年代末，年輕人結婚三件套成為富裕的標志，其中一件就是手表(另兩件是自行車和縫紉機)．而現在單獨佩戴手表的人在減少．作為個人物品的計時工具——手表，對部分人而言成為了奢侈品，價格為數萬元以上，已經改變了作為計時工具的原意．人們也將時鐘與工藝品結合，作為家庭里的一種裝飾，圖19即是一例．

圖19 作為裝飾品 的時鐘

計時工具，作為工具是為時間服務的．有了這個工具，我們可以很好地把握時間．生活也好，學習也罷，需要有目標、有所追求，自己得制定完整而周密的計劃，然后根據時間節點努力去完成，才能實現自己所期望的目標．

曾有作文題——《做時間的主人》，此時此刻，如果要你來完成作文，你是如何考慮的？現代社會免不了與人交往，無論是當面約談還是線上交流，往往是預約好的，很重要的一點是守時．現在的時間工具為我們提供了很大的便利，想守時應當是有很多辦法．守時、誠信是成功的前提．圖11樣子的沙漏，在現在一些餐廳里也會見到，餐廳承諾在一定的時間內(沙漏完之前)上完菜．這是一種承諾，守信的象征．

我們從“漏壺”說起，介紹了很多的計時工具．我們只有把握好時間、用好計時工具，才無愧于這些創造者們．