巧借坐標法，妙解空間角

■ 甘肅省金昌市第一中學 高 婷

立體幾何中的空間角(包括異面直線所成的角、直線和平面所成的角及二面角的平面角)問題,是歷年高考立體幾何解答題中必不可少的一個基本考點。此類問題借助相應的空間幾何體的情景創設,利用空間中直線、平面等元素之間的關系,合理構建對應的空間角,全面考查同學們的空間想象能力,以及邏輯推理與數學運算等核心素養。而其中,借助空間直角坐標系的構建,利用空間中點、向量的坐標表示與代數運算,可以將抽象的邏輯推理轉化為直接的數學運算,是解決空間角問題最為常見的一個基本技巧方法。

一、異面直線所成的角

合理構建恰當的空間直角坐標系,將對應的異面直線的方向向量用坐標表示出來,利用向量的數量積公式加以運算,進而確定異面直線所成的角。這里需要注意的是異面直線所成的角與向量的夾角這兩者之間的聯系與區別。

例1(2023 屆天津市九十五中高三(上)開學數學試卷)在如圖1所示的幾何體中,四邊形ABCD是正方形,四邊形ADPQ是 梯 形,PD∥QA,∠PDA=,平面ADPQ⊥平 面ABCD,且AD=PD=2QA=2。

圖1

(1)求證:QB∥平面PDC;

(2)求平面CPB與平面PBQ所成角的正弦值;

(3)已知點H在棱PD上,且異面直線AH與PB所成角的余弦值為,求線段DH的長。

解析:(1)由已知可知PD⊥AD,平面ADPQ⊥平面ABCD,PD?平面ADPQ,所以PD⊥平面ABCD。

因為AQ∥PD,AB∥CD,AQ∩AB=A,PD∩CD=D,AB?平面ABQ,AQ?平面ABQ,PD?平面PDC,CD?平面PDC,所以平面ABQ∥平面PDC。因為QB?平面ABQ,所以QB∥平面PDC。

圖2

關系歸納:設異面直線t1,t2的方向向量分別為a,b,則異面直線t1,t2所成角的余弦值等于|cos|。

二、直線與平面所成的角

合理構建恰當的空間直角坐標系,將對應直線的方向向量用坐標表示出來,同時確定相應平面的一個法向量,利用向量的數量積公式加以運算,進而確定直線與平面所成的角。這里需要注意的是直線所對應的方向向量與平面的一個法向量的夾角的余弦值的絕對值就是所求直線與平面所成角的正弦值,正確區分兩者之間的關系,不要混淆。

例2(2022 屆江蘇省七市高三下學期第三次調研考試數學試題)如圖3,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底 面ABCD,AD∥BC,AB⊥BC。點M在棱PB上,PM=2MB,點N在棱PC上,PA=AB=AD=BC=2。

圖3

(1)若CN=2NP,Q為PD的中點,求證:A,M,N,Q四點共面;

(2)求直線PA與平面AMN所成角的正弦的最大值。

圖4

圖5

三、二面角的平面角

圖6

合理構建恰當的空間直角坐標系,確定兩個半平面的法向量后,利用向量的數量積公式加以運算,進而確定二面角的平面角。這里需要注意的是兩個半平面的法向量之間的夾角與二面角的平面角可能相等,也可能互補,需要結合具體圖形加以直觀分析與判斷,不要盲目確定,導致錯誤。

例3(2022 屆江蘇省蘇錫常鎮四市高三下學期5 月教學情況調研(二)數學試題)如圖7,在四棱錐SABCD中,底面四邊形ABCD為菱形,∠BAD=60°,△SAD為正三角形,平面SAD⊥平面ABCD。

圖7

(1)求二面角S-BC-A的大小。

(2)在線段SC(端點S,C除外)上是否存在一點M,使得AM⊥BD? 若存在,指出點M的位置;若不存在,請說明理由。

解析:(1)取AD的中點O,連接SO,BO,因為SA=SD,OA=OD,所 以SO⊥AD。

又因為平面SAD⊥平面ABCD,平面SAD∩平面ABCD=AD,SO?平面SAD,所以SO⊥平面ABCD。

因為OB?平面ABCD,所以SO⊥OB。

因為BA=BD,OA=OD,所以OA⊥OB,所以OA,OB,OS兩兩垂直。

以O為坐標原點,OA,OB,OS所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖8 所示的空間直角坐標系Oxyz。

圖8

圖9

圖10

在解決立體幾何中的空間角問題時,除以上借助空間直角坐標系的構建,利用坐標法并通過代數運算來轉化與求解外,還經常借助幾何法的邏輯推理,向量法或基底法的向量運算與推理等其他方法來解決。而無論采取何種方法來破解立體幾何中的空間角問題,關鍵是要充分考慮題目條件,展開空間想象力,綜合數學運算與邏輯推理等來綜合分析與處理,借助巧妙運算,正確推理,從而輕松破解該類問題。